بين أن العدد \( A = 3^{2016} - 3^{2014} \) يقبل القسمة على 8
الفكرة الأساسية هي إخراج العامل المشترك. لاحظ أن \(3^{2016}\) يمكن كتابتها بدلالة \(3^{2014}\). تذكر القاعدة: \(a^{n+m} = a^n \times a^m\).
1. نخرج أصغر قوة للعدد 3 كعامل مشترك، وهي \(3^{2014}\).
\( A = 3^{2014} \times (3^2 - 1) \)
2. الآن، قم بحساب القيمة داخل القوسين. ماذا تلاحظ؟
بتطبيق الطريقة المذكورة:
\( A = 3^{2014} \times (3^2 - 1) = 3^{2014} \times (9 - 1) = 3^{2014} \times 8 \)
بما أن العدد \(A\) هو جداء عدد صحيح في 8، فإنه يقبل القسمة على 8.
بين أن العدد \( B = 5^{48} + 3 \times 5^{47} \) يقبل القسمة على 8
كما في التمرين السابق، ابحث عن أكبر عامل مشترك يمكنك إخراجه من الحدين \(5^{48}\) و \(3 \times 5^{47}\).
1. العامل المشترك هو \(5^{47}\).
\( B = 5^{47} \times (5^1 + 3) \)
2. بسّط التعبير داخل القوسين لإيجاد العامل العددي.
بإخراج العامل المشترك:
\( B = 5^{47} \times (5 + 3) = 5^{47} \times 8 \)
العدد \(B\) هو مضاعف للعدد 8، وبالتالي يقبل القسمة على 8.
بين أن \( C = 10 \times 2^{49} - 2^{52} \) قوة للعدد 2
لإثبات أن العدد هو قوة للعدد 2، يجب أن نكتبه على الشكل \(2^n\). ابدأ بإخراج أصغر قوة للعدد 2 كعامل مشترك. لاحظ أن \(2^{52} = 2^{49} \times 2^3\).
1. نخرج \(2^{49}\) كعامل مشترك.
\( C = 2^{49} \times (10 - 2^3) \)
2. احسب قيمة ما بداخل القوسين أولاً.
التحليل الكامل هو:
\( C = 2^{49} \times (10 - 8) = 2^{49} \times 2 = 2^{49+1} = 2^{50} \)
النتيجة \(2^{50}\) هي بالفعل قوة للعدد 2.
بين أن العدد \( D = 10^{53} + 4 \times 10^{52} \) يقبل القسمة على 14
استخدم نفس استراتيجية التحليل بإخراج العامل المشترك. ما هو أكبر عامل مشترك بين الحدين؟
1. نخرج العامل المشترك \(10^{52}\).
\( D = 10^{52} \times (10 + 4) \)
2. ما هو ناتج الجمع داخل القوسين؟
التحليل الكامل يوضح:
\( D = 10^{52} \times (10 + 4) = 10^{52} \times 14 \)
بما أن العدد \(D\) هو مضاعف للعدد 14، فإنه يقبل القسمة عليه.
بين أن العدد \( E = 2^{29} + 2^{30} + 2^{31} \) يقبل القسمة على 7
هنا لدينا ثلاثة حدود. أخرج أصغر قوة للعدد 2 كعامل مشترك من الحدود الثلاثة.
1. نخرج العامل المشترك \(2^{29}\).
\( E = 2^{29} \times (1 + 2^1 + 2^2) \)
2. قم بحساب مجموع الأعداد داخل القوسين.
التحليل يعطي:
\( E = 2^{29} \times (1 + 2 + 4) = 2^{29} \times 7 \)
العدد \(E\) هو مضاعف للعدد 7، وبالتالي يقبل القسمة على 7.
بين أن العدد \( F = 5^{24} - 4 \times 5^{22} \) يقبل القسمة على 7
أخرج أصغر قوة للعدد 5 كعامل مشترك. هل العدد الناتج داخل القوسين من مضاعفات 7؟
1. نخرج العامل المشترك \(5^{22}\).
\( F = 5^{22} \times (5^2 - 4) \)
2. احسب قيمة التعبير داخل القوسين.
التحليل الكامل هو:
\( F = 5^{22} \times (25 - 4) = 5^{22} \times 21 \)
بما أن \(21 = 3 \times 7\)، فإن \(F\) يمكن كتابته على الشكل \(F = 5^{22} \times 3 \times 7\). إذن، \(F\) يقبل القسمة على 7.
بين أن العدد \( G = 2^{523} + 2^{524} + 2^{525} \) يقبل القسمة على 28
ابدأ بنفس طريقة التمرين 5. بعد التحليل، تحقق مما إذا كان الناتج يقبل القسمة على 28. تذكر أن \(28 = 4 \times 7\).
1. نخرج العامل المشترك \(2^{523}\).
\( G = 2^{523} \times (1 + 2^1 + 2^2) = 2^{523} \times 7 \)
2. هل العدد \(2^{523}\) يقبل القسمة على 4؟ إذا كان الأمر كذلك، فإن العدد \(G\) يقبل القسمة على \(4 \times 7\).
لقد وجدنا أن \(G = 2^{523} \times 7\).
يمكننا إعادة كتابة \(2^{523}\) كـ \(2^{521} \times 2^2 = 2^{521} \times 4\).
\( G = (2^{521} \times 4) \times 7 = 2^{521} \times (4 \times 7) = 2^{521} \times 28 \)
إذن، العدد \(G\) هو مضاعف للعدد 28 ويقبل القسمة عليه.
بين أن رقمي آحاد وعشرات العدد \( H = 5^{73} - 5^{71} \) هما 00
لإثبات أن رقمي الآحاد والعشرات هما 00، يجب أن نثبت أن العدد يقبل القسمة على 100. ابدأ بتحليل التعبير كما فعلت سابقًا.
1. نخرج العامل المشترك \(5^{71}\).
\( H = 5^{71} \times (5^2 - 1) = 5^{71} \times 24 \)
2. الآن، يجب أن نرى كيف يمكن أن يكون هذا العدد من مضاعفات 100. تذكر أن \(100 = 4 \times 25\). هل يمكنك إيجاد هذين العاملين في التعبير؟
لقد وجدنا أن \(H = 5^{71} \times 24\).
نعيد كتابة التعبير:
\( H = (5^{69} \times 5^2) \times (4 \times 6) \)
\( H = (5^{69} \times 25) \times (4 \times 6) = 5^{69} \times 6 \times (25 \times 4) = (5^{69} \times 6) \times 100 \)
بما أن \(H\) هو مضاعف للعدد 100، فإن رقمي الآحاد والعشرات هما حتمًا 00.
بين أن العدد \( I = 3^{50} + 3^{48} \) يقبل القسمة على 90
لإثبات أن العدد يقبل القسمة على 90، يجب أن نثبت أنه يقبل القسمة على 9 وعلى 10 في نفس الوقت (لأن 9 و 10 أوليان فيما بينهما). ابدأ بالتحليل.
1. نخرج العامل المشترك \(3^{48}\).
\( I = 3^{48} \times (3^2 + 1) = 3^{48} \times 10 \)
2. من الواضح أن العدد يقبل القسمة على 10. هل يقبل القسمة على 9؟ انظر إلى العامل \(3^{48}\).
وجدنا أن \(I = 3^{48} \times 10\).
- العدد يقبل القسمة على 10 بسبب وجود العامل 10.
- العدد يقبل القسمة على 9 لأن \(3^{48} = 3^{2 \times 24} = (3^2)^{24} = 9^{24}\), وهو من مضاعفات 9.
بما أن العدد يقبل القسمة على 9 و 10، فإنه يقبل القسمة على \(9 \times 10 = 90\).
أ- بين أن العدد \( A = 3 \times 8^{20} - 5 \times 4^{29} \) يقبل القسمة على 7
لتبسيط هذا التعبير، حاول كتابة كل الحدود بدليل القوة مشترك. الدليل القوة المناسب هنا هو 2، لأن \(8 = 2^3\) و \(4 = 2^2\).
1. نُعوّض الأسات:
\( A = 3 \times (2^3)^{20} - 5 \times (2^2)^{29} = 3 \times 2^{60} - 5 \times 2^{58} \)
2. الآن، أخرج أصغر قوة للعدد 2 كعامل مشترك، وهي \(2^{58}\).
\( A = 2^{58} \times (3 \times 2^2 - 5) \)
3. احسب ما بداخل القوسين.
باتباع الخطوات:
\( A = 2^{58} \times (3 \times 4 - 5) \)
\( A = 2^{58} \times (12 - 5) = 2^{58} \times 7 \)
بما أن العدد \(A\) هو مضاعف للعدد 7، فإنه يقبل القسمة على 7.