التمرين 9: مسائل في قابلية القسمة

تطبيقات على التحليل وإخراج العامل المشترك في القوى
قابلية القسمة على 15
تمرين 1

بين أن العدد $3^{2015} + 3^{2013}$ قابل للقسمة على 15.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

تذكر أن $15 = 3 \times 5$. أخرج أصغر قوة للعدد 3 كعامل مشترك وحاول إظهار العامل 5.

📝 الطريقة

1. أخرج العامل المشترك $3^{2013}$.

2. بسّط القوس الناتج: $3^{2013}(3^2 + 1)$.

3. احسب ما بداخل القوس وأعد كتابة التعبير لإظهار العامل 15.

✅ الحل الكامل

$$ 3^{2015} + 3^{2013} = 3^{2013}(3^2 + 1) = 3^{2013}(10) $$
$$ = 3^{2012} \times 3 \times (2 \times 5) = (3^{2012} \times 2) \times (3 \times 5) = (3^{2012} \times 2) \times 15 $$

إذن العدد يقبل القسمة على 15.

قابلية القسمة على 15 (ب)
تمرين 2

بين أن العدد $9^{1020} + 3^{2038}$ قابل للقسمة على 15.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

ابدأ بتوحيد دليل القوة . اكتب العدد 9 كقوة للعدد 3، ثم أخرج أصغر قوة للعدد 3 كعامل مشترك.

📝 الطريقة

1. حوّل 9 إلى قوة للعدد 3: $9^{1020} = (3^2)^{1020} = 3^{2040}$.

2. يصبح التعبير: $3^{2040} + 3^{2038}$.

3. أخرج العامل المشترك $3^{2038}$ واتبع نفس خطوات التمرين السابق.

✅ الحل الكامل

$$ (3^2)^{1020} + 3^{2038} = 3^{2040} + 3^{2038} = 3^{2038}(3^2+1) = 3^{2038}(10) $$
$$ = 3^{2037} \times 3 \times (2 \times 5) = (3^{2037} \times 2) \times 15 $$

إذن العدد يقبل القسمة على 15.

قابلية القسمة على 82
تمرين 3

بين أن العدد $9^{100} + 3^{204}$ قابل للقسمة على 82.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

تذكر أن $42 = 6 \times 7 = 2 \times 3 \times 7$. وحّد دليل القوة إلى 3 ثم أخرج العامل المشترك.

📝 الطريقة

1. حوّل الدليل القوة 9: $9^{100} = (3^2)^{100} = 3^{200}$.

2. يصبح التعبير: $3^{200} + 3^{204}$.

3. أخرج العامل المشترك $3^{200}$.

4. بسّط القوس الناتج: $3^{200}(1+3^4) = 3^{200}(82)$.

5. فكك النتيجة لإظهار العامل 42.

✅ الحل الكامل

$$ (3^2)^{100} + 3^{204} = 3^{200} + 3^{204} = 3^{200}(1+3^4) = 3^{200}(82) $$
$$ = 3^{200} \times 2 \times 41 = 3^{200} \times 82 $$
قابلية القسمة على 11
تمرين 4

بين أن العدد $5^{336} + 7 \times 125^{111}$ قابل للقسمة على 11.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لاحظ أن $125 = 5^3$. وحّد دليل القوة إلى 5.

📝 الطريقة

1. حوّل الدليل القوة 125: $125^{111} = (5^3)^{111} = 5^{333}$.

2. يصبح التعبير: $5^{336} + 7 \times 5^{333}$.

3. أخرج العامل المشترك $5^{333}$ وبسّط القوس.

✅ الحل الكامل

$$ 5^{336} + 7 \times (5^3)^{111} = 5^{336} + 7 \times 5^{333} $$
$$ = 5^{333}(5^3 + 7) = 5^{333}(125+7) = 5^{333}(132) $$
$$ = 5^{333} \times 12 \times 11 $$

إذن العدد يقبل القسمة على 11.

قابلية القسمة على 17
تمرين 5

بين أن العدد $2 \times 7^{121} + 3 \times 49^{60}$ قابل للقسمة على 17.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

تذكر أن $49=7^2$ و $51 = 3 \times 17$. وحّد دليل القوة إلى 7.

📝 الطريقة

1. حوّل الدليل القوة 49: $49^{60} = (7^2)^{60} = 7^{120}$.

2. أخرج العامل المشترك $7^{120}$ وبسّط القوس.

✅ الحل الكامل

$$ 2 \times 7^{121} + 3 \times (7^2)^{60} = 2 \times 7^{121} + 3 \times 7^{120} $$
$$ = 7^{120}(2 \times 7 + 3) = 7^{120}(14+3) = 7^{120} \times 17 $$
قابلية القسمة على 29
تمرين 6

بين أن العدد $2^{3014} + 4^{1506} + 3 \times 8^{1005}$ قابل للقسمة على 29.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

تذكر أن $29$ عدد أوّلي، وأنّ $44 = 4 \times 11$. وحّد جميع دليل القوة إلى 2 ثم أخرج أصغر قوة للعدد 2 كعامل مشترك.

📝 الطريقة

1. حوّل دليل القوة : $4^{1506}=2^{3012}$ و $8^{1005}=2^{3015}$.

2. أخرج العامل المشترك $2^{3012}$ وبسّط القوس.

✅ الحل الكامل

$$ 2^{3014} + (2^2)^{1506} + 3 \times (2^3)^{1005} = 2^{3014} + 2^{3012} + 3 \times 2^{3015} $$
$$ = 2^{3012}(2^2 + 1 + 3 \times 2^3) = 2^{3012}(4+1+24) = 2^{3012}(29) $$

هناك خطأ في التمرين، العدد لا يقبل القسمة على 29.