التمرين 8: مسائل متنوعة في الحسابيات

تطبيقات شاملة على قابلية القسمة، الأعداد الأولية، والقواسم
مسائل في قابلية القسمة
أسئلة 1-8
1) بين أن العدد $2^{18} - 2^{15}$ قابل للقسمة على 7.
الحل

$2^{15}(2^3-1) = 2^{15}(7)$

2) بين أن العدد $2^{18} + 2^{16}$ قابل للقسمة على 4 و 5 في نفس الوقت.
الحل

$2^{16}(2^2+1) = 2^{16}(5)$. يقبل القسمة على 5. وبما أن $16>2$ فهو يقبل القسمة على $2^2=4$.

3) بين أن العدد $3^4 + 3^4 + 3^4 + 3^4$ قابل للقسمة على 9 و 4 في نفس الوقت.
الحل

$4 \times 3^4 = 4 \times 81$. يقبل القسمة على 4 و 9.

4) بين أن العدد $5^{103} - 2 \times 25^{50}$ قابل للقسمة على 3.
الحل

$5^{103} - 2 \times 5^{100} = 5^{100}(5^3-2) = 5^{100}(123)$. بما أن $1+2+3=6$ يقبل القسمة على 3، فإن 123 يقبل القسمة على 3.

5) بين أن العدد $243^{1001} - 13 \times 3^{5000}$ قابل للقسمة على 3 و 2 في نفس الوقت.
الحل

$(3^5)^{1001} - 13 \times 3^{5000} = 3^{5005} - 13 \times 3^{5000} = 3^{5000}(3^5-13)=3^{5000}(230)$. يقبل القسمة على 3 و 2 (لأن 230 زوجي).

6) بين أن العدد $8^{666} + 5 \times 2^{2000}$ قابل للقسمة على 21 و 4 في نفس الوقت.
الحل

$2^{1998} + 5 \times 2^{2000} = 2^{1998}(1+5\times 2^2) = 2^{1998}(21)$. يقبل القسمة على 21 و 4 (لأن $1998>2$).

7) بين أن العدد $27^{2022} + 5 \times 3^{6064}$ قابل للقسمة على 7.
الحل

$3^{6066} + 5 \times 3^{6064} = 3^{6064}(3^2+5) = 3^{6064}(14)=3^{6064} \times 2 \times 7$.

8) بين أنه إذا كان n عدد صحيح طبيعي فإن $6n+3$ و $3n+6$ أوليان فيما بينهما.
الحل

خطأ. مثال مضاد: n=1. العددان هما 9 و 9. ق.م.أ=9.

الأعداد الأولية والأعداد المتتالية
سؤال 9

9) هل عدد صحيح زوجي و عدد صحيح فردي يكونان أوليان فيما بينهما؟

10) نعتبر العدد الصحيح الفردي n.

  • حدد البواقي الممكنة لقسمة n على 3.
  • بين أن جداء ثلاثة أعداد صحيحة طبيعية متتالية هو مضاعف لـ 3.
  • بين أن $n^2-1 = (n-1)(n+1)$. استنتج أن $n^3-n$ يقبل القسمة على 12. (ملاحظة: السؤال الأصلي به خطأ، تم تصحيحه).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

للسؤال الأول، ابحث عن مثال مضاد. للبواقي، تذكر أن العدد الفردي لا يمكن أن يكون من مضاعفات 3. للأعداد المتتالية، أحدها بالتأكيد مضاعف لـ3. لـ $n^3-n$، فككه إلى جداء ثلاثة أعداد متتالية ثم ادرس قابليته للقسمة على 3 و 4.

📝 الطريقة

زوجي وفردي: هل ق.م.أ(6, 9) يساوي 1؟

بواقي n على 3: إذا كان n فردي، فلا يمكن أن يكون باقي قسمته 0 (وإلا كان $n=3k$، زوجي إذا k زوجي). البواقي الممكنة هي 1 أو 2.

جداء 3 أعداد متتالية: $k(k+1)(k+2)$. ادرس الحالات: $k=3p$, $k=3p+1$, $k=3p+2$.

$n^3-n$: $n(n^2-1) = n(n-1)(n+1)$. هذا جداء 3 أعداد متتالية. بما أن n فردي، فإن $n-1$ و $n+1$ عددان زوجيان متتاليان، أحدهما مضاعف لـ4.

✅ الحل الكامل

9) لا، مثال مضاد: 6 (زوجي) و 9 (فردي) ليسا أوليين فيما بينهما (ق.م.أ=3).

10)

  • بما أن n فردي، فهو ليس من مضاعفات 3 (لأن 3k فردي فقط إذا كان k فردي، لكننا نعتبر كل الحالات). الصحيح هو أن n يمكن أن يكون أي عدد فردي. البواقي الممكنة لأي عدد على 3 هي 0, 1, 2. إذا كان فردي، يبقى البواقي 0 (مثل 3, 9), 1 (مثل 1, 7), 2 (مثل 5, 11).
  • جداء ثلاثة أعداد متتالية دائماً يحتوي على مضاعف لـ3، إذن الجداء مضاعف لـ3.
  • $n^3-n = n(n^2-1) = (n-1)n(n+1)$. هذا جداء 3 أعداد متتالية، فهو يقبل القسمة على 3. وبما أن n فردي، فإن $n-1$ و $n+1$ عددان زوجيان متتاليان. أحدهما يقبل القسمة على 2 والآخر على 4، إذن جداؤهما يقبل القسمة على 8. وبما أنه يقبل القسمة على 3 و 8، فإنه يقبل القسمة على 24 (وليس فقط 12).
مسائل أخرى
أسئلة 11-15
11) بين أن كل عدد صحيح متكون من 3 أرقام متتالية يقبل القسمة على 3.
الحل

العدد يكتب $100n + 10(n+1) + (n+2) = 111n+12 = 3(37n+4)$.

12) إذا كان $x=8y+7$، حدد باقي وخارج قسمة x على 4.
الحل

$x = 8y+4+3 = 4(2y+1)+3$. الخارج هو $2y+1$ والباقي 3.

13) بين أن $(2^{53}+2^{50})(2^{53}-2^{50})$ يقبل القسمة على 63.
الحل

$2^{50}(2^3+1) \times 2^{50}(2^3-1) = 2^{100}(9)(7) = 2^{100} \times 63$.

14) أوجد كل القيم الممكنة لعددين a و b بحيث a+b=90 و ق.م.أ(a,b) هو 6.
الحل

$a=6k, b=6k'$. $6(k+k')=90 \implies k+k'=15$. الأزواج (k,k') الأولية فيما بينها هي (1,14), (2,13), (4,11), (7,8). ينتج عن ذلك الأزواج (a,b).

15) أ) بين أن $8^{n+1}+8^n = 8^n \times 9$. ب) استنتج القواسم الأولية.
الحل

أ) $8^n(8+1)=8^n \times 9$. ب) $8^n \times 9 = (2^3)^n \times 3^2 = 2^{3n} \times 3^2$. القواسم الأولية هي 2 و 3.