تمارين في الحسابيات

تطبيقات على قابلية القسمة، الأعداد الفردية والزوجية، والمربعات الكاملة
الأعداد الصحيحة المتتالية
تمرين 3

ليكن a, b, c, d أعداد صحيحة طبيعية متتالية بحيث باقي قسمة a على 9 هو 6.

  • 1) بين أن $a+b+c+d$ يقبل القسمة على 6.
  • 2) إذا علمت أن $48 < a+b+c+d < 108$، حدد a, b, c, d.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

عبر عن b, c, d بدلالة a. ثم احسب المجموع $a+b+c+d$ بدلالة a. بالنسبة للسؤال الثاني، استخدم الحصر المعطى لإيجاد قيمة a الممكنة.

📝 الطريقة

1. التعبير عن الأعداد: بما أنها متتالية، فإن $b = a+1$, $c = a+2$, $d = a+3$.

2. حساب المجموع: $S = a + (a+1) + (a+2) + (a+3) = 4a + 6$.

3. إثبات القسمة: بما أن باقي قسمة a على 9 هو 6، فإن $a = 9k+6$. عوض بقيمة a في المجموع S. يجب أن يكون S قابلاً للقسمة على 2 و 3.

4. تحديد الأعداد: استخدم الحصر $48 < S < 108$ لإيجاد قيمة k ثم a.

✅ الحل الكامل

1) قابلية القسمة على 6:

المجموع $S = a+b+c+d = a + (a+1) + (a+2) + (a+3) = 4a + 6 = 2(2a+3)$. إذن S عدد زوجي.

لدينا $a = 9k+6$. المجموع $S = 4(9k+6) + 6 = 36k + 24 + 6 = 36k + 30 = 3(12k+10)$. إذن S يقبل القسمة على 3.

بما أن S يقبل القسمة على 2 و 3، فإنه يقبل القسمة على 6.

2) تحديد الأعداد:

لدينا $48 < 36k+30 < 108 \implies 18 < 36k < 78 \implies 0.5 < k < 2.16$.

بما أن k عدد صحيح، فإن $k=1$ أو $k=2$.

  • إذا $k=1$: $a = 9(1)+6 = 15$. الأعداد هي 15, 16, 17, 18.
  • إذا $k=2$: $a = 9(2)+6 = 24$. الأعداد هي 24, 25, 26, 27.
الأعداد الفردية وقابلية القسمة
تمرين 4

ليكن a و b عددان صحيحان طبيعيان فرديان.

1) بين أن $(3a^2 + 45)$ يقبل القسمة على 24.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

عبر عن العدد الفردي a بالصيغة العامة $a = 2k+1$. ثم عوض بهذه الصيغة في التعبير $(3a^2 + 45)$ وحاول إظهار العامل 24.

📝 الطريقة

1. كتابة a: $a = 2k+1$ حيث k عدد صحيح طبيعي.

2. حساب $a^2$: $(2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1$.

3. التعويض في التعبير: $3a^2+45 = 3(4k^2+4k+1)+45 = 12k^2+12k+3+45 = 12k^2+12k+48$.

4. إخراج العامل المشترك: $12(k^2+k+4) = 12k(k+1)+48$.

5. استخدام خاصية الجداء: جداء عددين متتاليين $k(k+1)$ هو دائمًا عدد زوجي. إذن $k(k+1)=2p$.

6. التعويض النهائي: $12(2p)+48 = 24p+48 = 24(p+2)$.

✅ الحل الكامل

بما أن a عدد فردي، يمكن كتابته على الشكل $a=2k+1$.

$$ 3a^2+45 = 3(2k+1)^2+45 = 3(4k^2+4k+1)+45 $$
$$ = 12k^2+12k+3+45 = 12k^2+12k+48 $$
$$ = 12(k^2+k+4) = 12(k(k+1)+4) $$

نعلم أن $k(k+1)$ هو جداء عددين متتاليين، فهو دائمًا عدد زوجي، أي $k(k+1)=2p$.

$$ = 12(2p+4) = 12 \times 2(p+2) = 24(p+2) $$

بما أن التعبير هو جداء 24 في عدد صحيح، فإنه يقبل القسمة على 24.

المربعات الكاملة
تمرين 6

ليكن k عددًا صحيحًا طبيعيًا.

1) حدد البواقي الممكنة لقسمة $k^2$ على 4.

2) بين أن العدد $A = 4n+3$ (حيث n عدد طبيعي) ليس مربعًا كاملاً.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

للسؤال الأول، ادرس حالتين: عندما يكون k زوجيًا ($k=2p$) وعندما يكون فرديًا ($k=2p+1$). للسؤال الثاني، استخدم نتيجة السؤال الأول. ما هو باقي قسمة $A$ على 4؟ هل يمكن لمربع كامل أن يكون له هذا الباقي؟

📝 الطريقة

1. البواقي الممكنة لـ $k^2$ على 4:

  • الحالة 1: k زوجي. $k=2p \implies k^2 = (2p)^2 = 4p^2$. باقي القسمة على 4 هو 0.
  • الحالة 2: k فردي. $k=2p+1 \implies k^2 = (2p+1)^2 = 4p^2+4p+1 = 4(p^2+p)+1$. باقي القسمة على 4 هو 1.

إذن البواقي الممكنة هي 0 و 1.

2. إثبات أن $4n+3$ ليس مربعًا كاملاً:

نحسب باقي قسمة $A=4n+3$ على 4. الباقي هو 3.

بمقارنة هذا الباقي مع البواقي الممكنة لمربع كامل (0 و 1)، نستنتج أن A لا يمكن أن يكون مربعًا كاملاً.

✅ الحل الكامل

1) بواقي قسمة $k^2$ على 4:

  • إذا كان k زوجيًا ($k=2p$): $k^2 = 4p^2$. الباقي هو 0.
  • إذا كان k فرديًا ($k=2p+1$): $k^2 = 4p^2+4p+1 = 4(p^2+p)+1$. الباقي هو 1.

إذن، باقي قسمة أي مربع كامل على 4 هو إما 0 أو 1.

2) إثبات أن $A = 4n+3$ ليس مربعًا كاملاً:

باقي قسمة العدد $A = 4n+3$ على 4 هو 3.

بما أن بواقي قسمة المربعات الكاملة على 4 هي فقط 0 و 1، والعدد A باقيه 3، فمن المستحيل أن يكون A مربعًا كاملاً.