تمارين في الحساب وقابلية القسمة

8 أساسي دفواراتي
تمرين 1

التحليل إلى عوامل

بين أن العدد $2^{18}-2^{15}$ قابل للقسمة على 7.

لم تبدأ بعد

💡 مؤشر الحل

حاول إخراج القوة الأصغر للعدد 2 كعامل مشترك، وهي $2^{15}$.

📝 طريقة الحل

  1. نحدد العامل المشترك بين الحدين $2^{18}$ و $2^{15}$. العامل المشترك هو $2^{15}$.
  2. نكتب العبارة في شكل جذاء: $2^{18}-2^{15} = 2^{15} \times (2^{18-15} - 1) = 2^{15} \times (2^3 - 1)$.
  3. نحسب قيمة القوس: $2^3 - 1 = 8 - 1 = 7$.
  4. يصبح العدد $2^{15} \times 7$. بما أن أحد عوامله هو 7، فالعدد بأكمله قابل للقسمة على 7.

✅ الحل الكامل

ليكن $A = 2^{18}-2^{15}$.

باستخراج $2^{15}$ كعامل مشترك، نجد:

$A = 2^{15} \times (2^3 - 1)$

$A = 2^{15} \times (8 - 1)$

$A = 2^{15} \times 7$

بما أن $A$ يكتب على شكل $7 \times k$ حيث $k = 2^{15}$ عدد صحيح طبيعي، فإن $A$ قابل للقسمة على 7.

تمرين 2

قابلية القسمة على 4 و 5

بين أن العدد $2^{18}+2^{16}$ قابل للقسمة على 4 و 5 في نفس الوقت.

لم تبدأ بعد

💡 مؤشر الحل

أخرج العامل المشترك $2^{16}$. تذكر أن العدد القابل للقسمة على 4 و 5 معاً يجب أن يكون قابلاً للقسمة على $4 \times 5 = 20$.

📝 طريقة الحل

  1. أخرج العامل المشترك: $2^{18}+2^{16} = 2^{16} \times (2^2 + 1)$.
  2. احسب قيمة القوس: $2^2 + 1 = 4 + 1 = 5$.
  3. يصبح العدد $2^{16} \times 5$.
  4. لإثبات قابلية القسمة على 4: العدد $2^{16}$ هو $2^2 \times 2^{14} = 4 \times 2^{14}$، إذن هو مضاعف لـ 4.
  5. لإثبات قابلية القسمة على 5: العدد $2^{16} \times 5$ هو مضاعف لـ 5.
  6. بما أن العدد مضاعف لـ 4 و 5 وهما عددان أوليان فيما بينهما، فهو مضاعف لجدائهما 20.

✅ الحل الكامل

ليكن $B = 2^{18}+2^{16}$.

$B = 2^{16} \times (2^2 + 1) = 2^{16} \times (4 + 1) = 2^{16} \times 5$.

قابلية القسمة على 4:

$B = (2^2 \times 2^{14}) \times 5 = 4 \times (2^{14} \times 5)$.

إذن $B$ قابل للقسمة على 4.

قابلية القسمة على 5:

$B = 2^{16} \times 5$.

إذن $B$ قابل للقسمة على 5.

بما أن العدد $B$ يقبل القسمة على 4 و 5 في نفس الوقت، فهو قابل للقسمة عليهما.

تمرين 3

الجمع المتكرر والقوى

بين أن العدد $3^{4}+3^{4}+3^{4}+3^{4}$ قابل للقسمة على 9 و 4 في نفس الوقت.

لم تبدأ بعد

💡 مؤشر الحل

لاحظ أن الجمع المتكرر لنفس العدد يمكن التعبير عنه كعملية ضرب. كم مرة تم جمع العدد $3^4$؟

📝 طريقة الحل

  1. حوّل الجمع المتكرر إلى ضرب: $3^{4}+3^{4}+3^{4}+3^{4} = 4 \times 3^4$.
  2. تفحص قابلية القسمة على 4: العدد مكتوب على شكل $4 \times k$ حيث $k=3^4$. إذن هو قابل للقسمة على 4.
  3. تفحص قابلية القسمة على 9: نعلم أن $3^4 = 3^2 \times 3^2 = 9 \times 9 = 81$. إذن العدد هو $4 \times 81$. بما أن 81 من مضاعفات 9، فالعدد بأكمله قابل للقسمة على 9.

✅ الحل الكامل

ليكن $C = 3^{4}+3^{4}+3^{4}+3^{4}$.

$C = 4 \times 3^4$.

قابلية القسمة على 4:

العبارة $4 \times 3^4$ هي بوضوح من مضاعفات 4، إذن $C$ قابل للقسمة على 4.

قابلية القسمة على 9:

$C = 4 \times 3^4 = 4 \times (3^2 \times 3^2) = 4 \times (9 \times 9) = 4 \times 81$.

يمكن كتابة $C$ على شكل $C = 4 \times (9 \times 9) = 9 \times (4 \times 9) = 9 \times 36$.

إذن $C$ قابل للقسمة على 9.

بما أن العدد $C$ يقبل القسمة على 4 و 9 في نفس الوقت، فقد بينا المطلوب.

تمرين 4

تبسيط القوى

بين أن العدد $5^{103}-2\times25^{50}$ قابل للقسمة على 3.

لم تبدأ بعد

💡 مؤشر الحل

لاحظ أن $25 = 5^2$، إذن $25^{50} = (5^2)^{50} = 5^{100}$. حاول توحيد الأساسات.

📝 طريقة الحل

  1. أعد كتابة $25^{50}$: $25^{50} = (5^2)^{50} = 5^{100}$.
  2. يصبح العدد: $5^{103} - 2 \times 5^{100}$.
  3. أخرج العامل المشترك $5^{100}$: $5^{100}(5^3 - 2)$.
  4. احسب قيمة القوس: $5^3 - 2 = 125 - 2 = 123$.
  5. تحقق من قابلية القسمة على 3: مجموع أرقام 123 هو $1+2+3=6$، وهو مضاعف لـ 3، إذن 123 قابل للقسمة على 3.

✅ الحل الكامل

ليكن $D = 5^{103}-2\times25^{50}$.

نكتب $25^{50} = (5^2)^{50} = 5^{100}$.

إذن $D = 5^{103} - 2 \times 5^{100}$.

باستخراج $5^{100}$ كعامل مشترك:

$D = 5^{100}(5^3 - 2) = 5^{100}(125 - 2) = 5^{100} \times 123$.

للتحقق من أن 123 قابل للقسمة على 3، نحسب مجموع أرقامه:

$1 + 2 + 3 = 6$، وبما أن 6 قابل للقسمة على 3، فإن 123 قابل للقسمة على 3.

إذن $D = 5^{100} \times 123 = 5^{100} \times (3 \times 41) = 3 \times (5^{100} \times 41)$.

بما أن $D$ يكتب على شكل $3 \times k$ حيث $k = 5^{100} \times 41$، فإن $D$ قابل للقسمة على 3.

تمرين 5

قوى وقابلية القسمة

بين أن العدد $243^{1001}-13\times3^{5000}$ قابل للقسمة على 3 و 2 في نفس الوقت.

لم تبدأ بعد

💡 مؤشر الحل

لاحظ أن $243 = 3^5$. حاول توحيد الأساسات وإخراج العامل المشترك.

📝 طريقة الحل

سيتم توفير طريقة الحل هنا.

✅ الحل الكامل

سيتم توفير الحل الكامل هنا.