هما عددان صحيحان طبيعيان فرديان a و b:
للجزء الأول: استخدم تمثيل العدد الفردي $a = 2k + 1$ واحسب $3a^2 + 45$.
للجزء الثاني: اكتب $a = 2p + 1$ و $b = 2q + 1$، ثم احسب $a^2 + b^2 + 1 + n$ وحدد متى يكون مضاعفاً لـ 4.
الجزء الأول:
الجزء الثاني:
الجزء الأول: قابلية القسمة على 24
المعطى: $a$ عدد صحيح طبيعي فردي
المطلوب: بيان أن $(3a^2+45)$ يقبل القسمة على 24
الخطوة 1: تمثيل العدد الفردي
بما أن $a$ فردي، يمكن كتابته على الشكل: $a = 2k + 1$ حيث $k \in \mathbb{Z}$
الخطوة 2: حساب $a^2$
$a^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1$
الخطوة 3: حساب $3a^2 + 45$
$3a^2 = 3(4k^2 + 4k + 1) = 12k^2 + 12k + 3$
$3a^2 + 45 = 12k^2 + 12k + 3 + 45 = 12k^2 + 12k + 48 = 12(k^2 + k + 4)$
الخطوة 4: إثبات قابلية القسمة على 24
لإثبات أن $12(k^2 + k + 4)$ يقبل القسمة على 24، نحتاج إثبات أن $(k^2 + k + 4)$ يقبل القسمة على 2.
نلاحظ أن: $k^2 + k = k(k + 1)$ (جداء عددين متتاليين، أحدهما زوجي)
إذن: $k^2 + k + 4 = \text{(عدد زوجي)} + 4 = \text{عدد زوجي}$
النتيجة: $(k^2 + k + 4)$ زوجي، إذن $12(k^2 + k + 4)$ يقبل القسمة على $12 \times 2 = 24$ ✓
الجزء الثاني: إيجاد قيم $n$
المعطى: $a$ و $b$ عددان صحيحان طبيعيان فرديان
المطلوب: إيجاد $n$ بحيث $(a^2+b^2+1+n)$ مضاعف لـ 4
الخطوة 1: تمثيل الأعداد الفردية
$a = 2p + 1$ و $b = 2q + 1$ حيث $p, q \in \mathbb{Z}$
الخطوة 2: حساب $a^2$ و $b^2$
$a^2 = (2p + 1)^2 = 4p^2 + 4p + 1$
$b^2 = (2q + 1)^2 = 4q^2 + 4q + 1$
الخطوة 3: حساب $a^2 + b^2$
$a^2 + b^2 = 4p^2 + 4p + 1 + 4q^2 + 4q + 1 = 4(p^2 + p + q^2 + q) + 2$
الخطوة 4: حساب $a^2 + b^2 + 1 + n$
$a^2 + b^2 + 1 + n = 4(p^2 + p + q^2 + q) + 2 + 1 + n = 4(p^2 + p + q^2 + q) + 3 + n$
الخطوة 5: الشرط للمضاعف
لكي يكون العدد مضاعفاً لـ 4، يجب أن يكون $(3 + n)$ مضاعفاً لـ 4:
🎯 الإجابة النهائية:
$n = 4k + 1$ حيث $k \in \mathbb{Z}$
أي: $n \in \{..., -7, -3, 1, 5, 9, 13, ...\}$
مثال للتحقق:
إذا كان $a = 3, b = 5, n = 1$:
$a^2 + b^2 + 1 + n = 9 + 25 + 1 + 1 = 36 = 4 \times 9$ ✓