مثال لتصحيح خطوة بخطوة:
1. لإثبات أن $36n + 48$ يقبل القسمة على 6:
$$36n + 48 = 6 \times 6n + 6 \times 8$$
$$= 6(6n + 8)$$
إذن، $36n + 48$ هو مضاعف للعدد 6.
مثال لتصحيح خطوة بخطوة:
1. لإثبات المساواة:
$$(n - 2)(n^2 - 3) + 8 = n(n^2 - 3) - 2(n^2 - 3) + 8$$
$$= n^3 - 3n - 2n^2 + 6 + 8$$
$$= n^3 - 2n^2 - 3n + 14$$
هناك خطأ في نص التمرين الأصلي: "$n^3 - n + 14 = (n - 2)(n^2 - 3) + 8$" يجب أن تكون "$n^3 - 2n^2 - 3n + 14 = (n - 2)(n^2 - 3) + 8$"
2. لكي يكون $\frac{n^3 - n + 14}{n + 2}$ عددًا صحيحًا طبيعيًا، يجب أن يقبل $n^3 - n + 14$ القسمة على $n + 2$.
باستخدام القسمة المطولة أو التعويض بـ $n = -2$ في البسط (بما أن $-2$ هو جذر المقام):
$$(-2)^3 - (-2) + 14 = -8 + 2 + 14 = 8$$
إذن، الباقي هو 8. لكي يكون العدد صحيحًا، يجب أن يكون 8 من مضاعفات $(n+2)$.
أي أن $n+2$ يجب أن يكون قاسمًا للعدد 8.
قواسم 8 هي: $1, 2, 4, 8$.
الحالات الممكنة لـ $n+2$: $1, 2, 4, 8$
إذا $n+2 = 1 \implies n = -1$ (ليس عددًا طبيعيًا)
إذا $n+2 = 2 \implies n = 0$ (عدد طبيعي)
إذا $n+2 = 4 \implies n = 2$ (عدد طبيعي)
إذا $n+2 = 8 \implies n = 6$ (عدد طبيعي)
القيم الممكنة لـ $n$ هي $0, 2, 6$.
1) $a$ و $b$ و $c$ و $d$ أعداد صحيحة طبيعية متتالية بحيث $a$ يقبل القسمة على 9 هو 6
1) بين أن $a+b+c+d$ يقبل القسمة على 6
2) إذا علمت أن $108 < a+b+c+d < 48$ حدد $a$ و $b$ و $c$ و $d$
مثال لتصحيح خطوة بخطوة:
1. الأعداد المتتالية هي $a, a+1, a+2, a+3$.
مجموعها هو $S = a + (a+1) + (a+2) + (a+3) = 4a + 6$.
بما أن $a$ يقبل القسمة على 9 هو 6، هذا يعني أن $a$ عند القسمة على 9 يعطي باقي 6. أي $a = 9k + 6$.
$$S = 4(9k + 6) + 6$$
$$= 36k + 24 + 6$$
$$= 36k + 30$$
بما أن $36k$ مضاعف للعدد 6 و $30$ مضاعف للعدد 6، فإن $36k + 30$ مضاعف للعدد 6.
إذن، $a+b+c+d$ يقبل القسمة على 6.
2. لدينا $108 < 4a + 6 < 48$ هذا غير منطقي حيث أن $108 > 48$. سنفترض أن $48 < 4a + 6 < 108$.
$$48 < 4a + 6 < 108$$
$$42 < 4a < 102$$
$$10.5 < a < 25.5$$
بما أن $a = 9k + 6$:
إذا $k=1$, $a = 9(1) + 6 = 15$. هذا يقع ضمن المجال ($10.5 < 15 < 25.5$).
إذا $k=2$, $a = 9(2) + 6 = 24$. هذا يقع ضمن المجال ($10.5 < 24 < 25.5$).
الحالة الأولى: $a=15$. الأعداد هي $15, 16, 17, 18$.
مجموعها $15+16+17+18 = 66$. وهو بين 48 و 108.
الحالة الثانية: $a=24$. الأعداد هي $24, 25, 26, 27$.
مجموعها $24+25+26+27 = 102$. وهو بين 48 و 108.
إذن، القيم الممكنة لـ $(a, b, c, d)$ هي $(15, 16, 17, 18)$ أو $(24, 25, 26, 27)$.
مثال لتصحيح خطوة بخطوة:
1. النص غير مكتمل. السؤال يتطلب افتراضات حول $a$ و $b$ غير مجرد أنهما فرديان.
2. بين أن $(a+3b)^2$ يقبل القسمة على 24: (هذا يتطلب شروط إضافية على $a$ و $b$)
إذا كان $a$ و $b$ فرديين، فإن $a \equiv 1 \pmod 2$ و $b \equiv 1 \pmod 2$.
$3b \equiv 1 \pmod 2$ (لأن 3 فردي و $b$ فردي)
$a+3b \equiv 1+1 \equiv 0 \pmod 2$. إذن $a+3b$ زوجي.
ليكن $a+3b = 2k$.
$(a+3b)^2 = (2k)^2 = 4k^2$.
هذا يضمن فقط أن يقبل القسمة على 4. لقبوله على 24، نحتاج أن يقبل $k^2$ القسمة على 6.
(هذا السؤال يتطلب شروطًا إضافية لم تُذكر، على سبيل المثال $a \equiv 3 \pmod 6$ و $b \equiv 1 \pmod 6$ أو غير ذلك).
3. حدد الأعداد الصحيحة $n$ بحيث $n^2 + 2n + 1 + b^2$ مضاعف لـ 4.
$$n^2 + 2n + 1 + b^2 = (n+1)^2 + b^2$$
بما أن $b$ عدد فردي، فإن $b^2$ سيكون أيضًا فرديًا.
إذا كان $n+1$ زوجيًا، فإن $(n+1)^2$ سيكون مضاعفًا لـ 4.
إذا كان $n+1$ فرديًا، فإن $(n+1)^2$ سيكون فرديًا.
ليكن $b = 2m+1$. إذن $b^2 = (2m+1)^2 = 4m^2 + 4m + 1 = 4(m^2+m) + 1$.
إذن $b^2 \equiv 1 \pmod 4$.
نحن نريد $(n+1)^2 + b^2 \equiv 0 \pmod 4$.
$(n+1)^2 + 1 \equiv 0 \pmod 4$.
$(n+1)^2 \equiv -1 \pmod 4$.
$(n+1)^2 \equiv 3 \pmod 4$.
مربعات الأعداد الصحيحة modulo 4 هي $0^2 \equiv 0$, $1^2 \equiv 1$, $2^2 \equiv 0$, $3^2 \equiv 1 \pmod 4$.
لا يوجد عدد مربع يعطي باقي 3 عند القسمة على 4.
إذن، لا توجد قيم لـ $n$ تحقق هذا الشرط.
مثال لتصحيح خطوة بخطوة:
1. بين أنه مهما يكن العدد الصحيح الطبيعي $n$ المخالف للصفر فإن $\frac{n(n+1)}{2}$ هو عدد صحيح طبيعي:
حاصل ضرب عددين متتاليين $n(n+1)$ هو دائماً عدد زوجي (إما $n$ زوجي أو $n+1$ زوجي).
إذا كان $n(n+1)$ زوجيًا، فإنه يقبل القسمة على 2.
إذن $\frac{n(n+1)}{2}$ هو عدد صحيح طبيعي.
2. بين أنه مهما يكن العدد الصحيح الطبيعي $n$ المخالف للصفر فإن $n(n+1)(2n+1)$ هو عدد مضاعف لـ 6:
نحن نعلم أن حاصل ضرب 3 أعداد متتالية $n(n+1)(n+2)$ هو مضاعف لـ 6.
يمكن كتابة $2n+1 = (n-1) + (n+2)$.
إذن $n(n+1)(2n+1) = n(n+1)((n-1) + (n+2))$
$$= n(n+1)(n-1) + n(n+1)(n+2)$$
$$= (n-1)n(n+1) + n(n+1)(n+2)$$
بما أن $(n-1)n(n+1)$ هو حاصل ضرب ثلاثة أعداد متتالية، فهو مضاعف للعدد 6.
وبما أن $n(n+1)(n+2)$ هو حاصل ضرب ثلاثة أعداد متتالية، فهو مضاعف للعدد 6.
إذن، مجموعهما $(n-1)n(n+1) + n(n+1)(n+2)$ هو مضاعف للعدد 6.
هناك طريقة أخرى: $n(n+1)(2n+1)$
**قابلية القسمة على 2:** $n(n+1)$ زوجي، إذن $n(n+1)(2n+1)$ زوجي (يقبل القسمة على 2).
**قابلية القسمة على 3:**
- إذا كان $n \equiv 0 \pmod 3$, فإن $n(n+1)(2n+1)$ يقبل القسمة على 3.
- إذا كان $n \equiv 1 \pmod 3$, فإن $2n+1 \equiv 2(1)+1 = 3 \equiv 0 \pmod 3$. إذن يقبل القسمة على 3.
- إذا كان $n \equiv 2 \pmod 3$, فإن $n+1 \equiv 2+1 = 3 \equiv 0 \pmod 3$. إذن يقبل القسمة على 3.
بما أن العدد يقبل القسمة على 2 وعلى 3 (وهما أوليان فيما بينهما)، فإنه يقبل القسمة على $2 \times 3 = 6$.
ليكن $k$ عدداً صحيحاً طبيعياً
مثال لتصحيح خطوة بخطوة:
1. حدد البواقي الممكنة لـ $k^2$ على 4:
- إذا كان $k$ زوجيًا، ليكن $k = 2m$.
$$k^2 = (2m)^2 = 4m^2$$
الباقي على 4 هو 0.
- إذا كان $k$ فرديًا، ليكن $k = 2m+1$.
$$k^2 = (2m+1)^2 = 4m^2 + 4m + 1 = 4(m^2+m) + 1$$
الباقي على 4 هو 1.
إذن، البواقي الممكنة لـ $k^2$ على 4 هي 0 أو 1.
2. بين أن العدد $4n+3 = A$ (حيث $n$ عدد طبيعي) ليس مربعاً كاملاً:
إذا كان $A = 4n+3$ مربعاً كاملاً، فإنه يجب أن يكون له باقي 0 أو 1 عند القسمة على 4.
ولكن $4n+3$ عند القسمة على 4 يعطي باقي 3.
بما أن 3 ليس من البواقي الممكنة للمربعات الكاملة على 4، فإن العدد $4n+3$ لا يمكن أن يكون مربعاً كاملاً.