قابلية القسمة 9 أساسي

تصحيح التمرين 1

مثال لتصحيح خطوة بخطوة:

1. لإثبات أن $36n + 48$ يقبل القسمة على 6:

$$36n + 48 = 6 \times 6n + 6 \times 8$$

$$= 6(6n + 8)$$

إذن، $36n + 48$ هو مضاعف للعدد 6.

تصحيح التمرين 2

مثال لتصحيح خطوة بخطوة:

1. لإثبات المساواة:

$$(n - 2)(n^2 - 3) + 8 = n(n^2 - 3) - 2(n^2 - 3) + 8$$

$$= n^3 - 3n - 2n^2 + 6 + 8$$

$$= n^3 - 2n^2 - 3n + 14$$

هناك خطأ في نص التمرين الأصلي: "$n^3 - n + 14 = (n - 2)(n^2 - 3) + 8$" يجب أن تكون "$n^3 - 2n^2 - 3n + 14 = (n - 2)(n^2 - 3) + 8$"

2. لكي يكون $\frac{n^3 - n + 14}{n + 2}$ عددًا صحيحًا طبيعيًا، يجب أن يقبل $n^3 - n + 14$ القسمة على $n + 2$.

باستخدام القسمة المطولة أو التعويض بـ $n = -2$ في البسط (بما أن $-2$ هو جذر المقام):

$$(-2)^3 - (-2) + 14 = -8 + 2 + 14 = 8$$

إذن، الباقي هو 8. لكي يكون العدد صحيحًا، يجب أن يكون 8 من مضاعفات $(n+2)$.

أي أن $n+2$ يجب أن يكون قاسمًا للعدد 8.

قواسم 8 هي: $1, 2, 4, 8$.

الحالات الممكنة لـ $n+2$: $1, 2, 4, 8$

إذا $n+2 = 1 \implies n = -1$ (ليس عددًا طبيعيًا)

إذا $n+2 = 2 \implies n = 0$ (عدد طبيعي)

إذا $n+2 = 4 \implies n = 2$ (عدد طبيعي)

إذا $n+2 = 8 \implies n = 6$ (عدد طبيعي)

القيم الممكنة لـ $n$ هي $0, 2, 6$.

تصحيح التمرين 3

مثال لتصحيح خطوة بخطوة:

1. الأعداد المتتالية هي $a, a+1, a+2, a+3$.

مجموعها هو $S = a + (a+1) + (a+2) + (a+3) = 4a + 6$.

بما أن $a$ يقبل القسمة على 9 هو 6، هذا يعني أن $a$ عند القسمة على 9 يعطي باقي 6. أي $a = 9k + 6$.

$$S = 4(9k + 6) + 6$$

$$= 36k + 24 + 6$$

$$= 36k + 30$$

بما أن $36k$ مضاعف للعدد 6 و $30$ مضاعف للعدد 6، فإن $36k + 30$ مضاعف للعدد 6.

إذن، $a+b+c+d$ يقبل القسمة على 6.

2. لدينا $108 < 4a + 6 < 48$ هذا غير منطقي حيث أن $108 > 48$. سنفترض أن $48 < 4a + 6 < 108$.

$$48 < 4a + 6 < 108$$

$$42 < 4a < 102$$

$$10.5 < a < 25.5$$

بما أن $a = 9k + 6$:

إذا $k=1$, $a = 9(1) + 6 = 15$. هذا يقع ضمن المجال ($10.5 < 15 < 25.5$).

إذا $k=2$, $a = 9(2) + 6 = 24$. هذا يقع ضمن المجال ($10.5 < 24 < 25.5$).

الحالة الأولى: $a=15$. الأعداد هي $15, 16, 17, 18$.

مجموعها $15+16+17+18 = 66$. وهو بين 48 و 108.

الحالة الثانية: $a=24$. الأعداد هي $24, 25, 26, 27$.

مجموعها $24+25+26+27 = 102$. وهو بين 48 و 108.

إذن، القيم الممكنة لـ $(a, b, c, d)$ هي $(15, 16, 17, 18)$ أو $(24, 25, 26, 27)$.

تصحيح التمرين 4

مثال لتصحيح خطوة بخطوة:

1. النص غير مكتمل. السؤال يتطلب افتراضات حول $a$ و $b$ غير مجرد أنهما فرديان.

2. بين أن $(a+3b)^2$ يقبل القسمة على 24: (هذا يتطلب شروط إضافية على $a$ و $b$)

إذا كان $a$ و $b$ فرديين، فإن $a \equiv 1 \pmod 2$ و $b \equiv 1 \pmod 2$.

$3b \equiv 1 \pmod 2$ (لأن 3 فردي و $b$ فردي)

$a+3b \equiv 1+1 \equiv 0 \pmod 2$. إذن $a+3b$ زوجي.

ليكن $a+3b = 2k$.

$(a+3b)^2 = (2k)^2 = 4k^2$.

هذا يضمن فقط أن يقبل القسمة على 4. لقبوله على 24، نحتاج أن يقبل $k^2$ القسمة على 6.

(هذا السؤال يتطلب شروطًا إضافية لم تُذكر، على سبيل المثال $a \equiv 3 \pmod 6$ و $b \equiv 1 \pmod 6$ أو غير ذلك).

3. حدد الأعداد الصحيحة $n$ بحيث $n^2 + 2n + 1 + b^2$ مضاعف لـ 4.

$$n^2 + 2n + 1 + b^2 = (n+1)^2 + b^2$$

بما أن $b$ عدد فردي، فإن $b^2$ سيكون أيضًا فرديًا.

إذا كان $n+1$ زوجيًا، فإن $(n+1)^2$ سيكون مضاعفًا لـ 4.

إذا كان $n+1$ فرديًا، فإن $(n+1)^2$ سيكون فرديًا.

ليكن $b = 2m+1$. إذن $b^2 = (2m+1)^2 = 4m^2 + 4m + 1 = 4(m^2+m) + 1$.

إذن $b^2 \equiv 1 \pmod 4$.

نحن نريد $(n+1)^2 + b^2 \equiv 0 \pmod 4$.

$(n+1)^2 + 1 \equiv 0 \pmod 4$.

$(n+1)^2 \equiv -1 \pmod 4$.

$(n+1)^2 \equiv 3 \pmod 4$.

مربعات الأعداد الصحيحة modulo 4 هي $0^2 \equiv 0$, $1^2 \equiv 1$, $2^2 \equiv 0$, $3^2 \equiv 1 \pmod 4$.

لا يوجد عدد مربع يعطي باقي 3 عند القسمة على 4.

إذن، لا توجد قيم لـ $n$ تحقق هذا الشرط.

تصحيح التمرين 5

مثال لتصحيح خطوة بخطوة:

1. بين أنه مهما يكن العدد الصحيح الطبيعي $n$ المخالف للصفر فإن $\frac{n(n+1)}{2}$ هو عدد صحيح طبيعي:

حاصل ضرب عددين متتاليين $n(n+1)$ هو دائماً عدد زوجي (إما $n$ زوجي أو $n+1$ زوجي).

إذا كان $n(n+1)$ زوجيًا، فإنه يقبل القسمة على 2.

إذن $\frac{n(n+1)}{2}$ هو عدد صحيح طبيعي.

2. بين أنه مهما يكن العدد الصحيح الطبيعي $n$ المخالف للصفر فإن $n(n+1)(2n+1)$ هو عدد مضاعف لـ 6:

نحن نعلم أن حاصل ضرب 3 أعداد متتالية $n(n+1)(n+2)$ هو مضاعف لـ 6.

يمكن كتابة $2n+1 = (n-1) + (n+2)$.

إذن $n(n+1)(2n+1) = n(n+1)((n-1) + (n+2))$

$$= n(n+1)(n-1) + n(n+1)(n+2)$$

$$= (n-1)n(n+1) + n(n+1)(n+2)$$

بما أن $(n-1)n(n+1)$ هو حاصل ضرب ثلاثة أعداد متتالية، فهو مضاعف للعدد 6.

وبما أن $n(n+1)(n+2)$ هو حاصل ضرب ثلاثة أعداد متتالية، فهو مضاعف للعدد 6.

إذن، مجموعهما $(n-1)n(n+1) + n(n+1)(n+2)$ هو مضاعف للعدد 6.

هناك طريقة أخرى: $n(n+1)(2n+1)$

**قابلية القسمة على 2:** $n(n+1)$ زوجي، إذن $n(n+1)(2n+1)$ زوجي (يقبل القسمة على 2).

**قابلية القسمة على 3:**

- إذا كان $n \equiv 0 \pmod 3$, فإن $n(n+1)(2n+1)$ يقبل القسمة على 3.

- إذا كان $n \equiv 1 \pmod 3$, فإن $2n+1 \equiv 2(1)+1 = 3 \equiv 0 \pmod 3$. إذن يقبل القسمة على 3.

- إذا كان $n \equiv 2 \pmod 3$, فإن $n+1 \equiv 2+1 = 3 \equiv 0 \pmod 3$. إذن يقبل القسمة على 3.

بما أن العدد يقبل القسمة على 2 وعلى 3 (وهما أوليان فيما بينهما)، فإنه يقبل القسمة على $2 \times 3 = 6$.

تصحيح التمرين 6

مثال لتصحيح خطوة بخطوة:

1. حدد البواقي الممكنة لـ $k^2$ على 4:

- إذا كان $k$ زوجيًا، ليكن $k = 2m$.

$$k^2 = (2m)^2 = 4m^2$$

الباقي على 4 هو 0.

- إذا كان $k$ فرديًا، ليكن $k = 2m+1$.

$$k^2 = (2m+1)^2 = 4m^2 + 4m + 1 = 4(m^2+m) + 1$$

الباقي على 4 هو 1.

إذن، البواقي الممكنة لـ $k^2$ على 4 هي 0 أو 1.

2. بين أن العدد $4n+3 = A$ (حيث $n$ عدد طبيعي) ليس مربعاً كاملاً:

إذا كان $A = 4n+3$ مربعاً كاملاً، فإنه يجب أن يكون له باقي 0 أو 1 عند القسمة على 4.

ولكن $4n+3$ عند القسمة على 4 يعطي باقي 3.

بما أن 3 ليس من البواقي الممكنة للمربعات الكاملة على 4، فإن العدد $4n+3$ لا يمكن أن يكون مربعاً كاملاً.

تصحيح التمرين 1 (صفحة 2)

2565:

- يقبل القسمة على 3 لأن مجموع أرقامه $2+5+6+5 = 18$ وهو مضاعف لـ 3.

- يقبل القسمة على 5 لأن آحاده 5.

- لا يقبل القسمة على 4 لأن العدد المتكون من رقميه الأخيرين (65) لا يقبل القسمة على 4.

- يقبل القسمة على 15 لأنه يقبل القسمة على 3 و 5 (و 3 و 5 أوليان فيما بينهما).

- لا يقبل القسمة على 12 لأنه لا يقبل القسمة على 4.

تصحيح التمرين 2 (صفحة 2)

54264:

- يقبل القسمة على 3 لأن مجموع أرقامه $5+4+2+6+4 = 21$ وهو مضاعف لـ 3.

- لا يقبل القسمة على 7 (تحقق بالقسمة المطولة).

- يقبل القسمة على 4 لأن العدد المتكون من رقميه الأخيرين (64) يقبل القسمة على 4 ($64 = 4 \times 16$).

- يقبل القسمة على 12 لأنه يقبل القسمة على 3 و 4 (و 3 و 4 أوليان فيما بينهما).

- لا يقبل القسمة على 21 لأنه لا يقبل القسمة على 7.

تصحيح التمرين 3 (صفحة 2)

6460:

- يقبل القسمة على 4 لأن 60 يقبل القسمة على 4.

- لا يقبل القسمة على 6 لأنه لا يقبل القسمة على 3 ($6+4+6+0 = 16$ ليس مضاعفًا لـ 3).

- لا يقبل القسمة على 24 لأنه لا يقبل القسمة على 3.

1248:

- يقبل القسمة على 4 لأن 48 يقبل القسمة على 4.

- يقبل القسمة على 6 لأنه زوجي ($1248/2 = 624$) ومجموع أرقامه $1+2+4+8 = 15$ وهو مضاعف لـ 3.

- يقبل القسمة على 24 لأنه يقبل القسمة على 3 و 8 (العدد المتكون من آخر 3 أرقام 248 يقبل القسمة على 8 لأن $248 = 8 \times 31$).

تصحيح (القسم العلوي من صفحة 3)

3564:

- يقبل القسمة على 3 لأن $3+5+6+4 = 18$ وهو مضاعف لـ 3.

- يقبل القسمة على 2 لأنه زوجي.

- يقبل القسمة على 6 لأنه يقبل القسمة على 2 و 3.

5465:

- لا يقبل القسمة على 3 لأن $5+4+6+5 = 20$ ليس مضاعفًا لـ 3.

- يقبل القسمة على 5 لأن آحاده 5.

- لا يقبل القسمة على 15 لأنه لا يقبل القسمة على 3.

تصحيح (القسم الأوسط الأيسر من صفحة 3)

6464:

- لا يقبل القسمة على 3 لأن $6+4+6+4 = 20$ ليس مضاعفًا لـ 3.

- يقبل القسمة على 4 لأن 64 يقبل القسمة على 4.

- لا يقبل القسمة على 12 لأنه لا يقبل القسمة على 3.

7576:

- لا يقبل القسمة على 3 لأن $7+5+7+6 = 25$ ليس مضاعفًا لـ 3.

- يقبل القسمة على 4 لأن 76 يقبل القسمة على 4 ($76 = 4 \times 19$).

- لا يقبل القسمة على 12 لأنه لا يقبل القسمة على 3.

تصحيح (القسم الأوسط الأيمن من صفحة 3)

4165512644:

- لا يقبل القسمة على 3 لأن مجموع أرقامه $4+1+6+5+5+1+2+6+4+4 = 38$ ليس مضاعفًا لـ 3.

- لا يقبل القسمة على 5 لأن آحاده 4.

- لا يقبل القسمة على 15 لأنه لا يقبل القسمة على 3 ولا على 5.

654698928:

- يقبل القسمة على 3 لأن مجموع أرقامه $6+5+4+6+9+8+9+2+8 = 57$ وهو مضاعف لـ 3 ($57 = 3 \times 19$).

- يقبل القسمة على 2 لأنه زوجي.

- يقبل القسمة على 6 لأنه يقبل القسمة على 2 و 3.

تصحيح التمرين 4 (صفحة 3)

$m = 374a$. هنا $a$ يمثل رقم الآحاد (القيمة الأخيرة في العدد). النص الأصلي في الصورة يقول "حيث a رقم عشراته" وهذا غير منطقي بالنظر إلى شكل العدد 374a، حيث a هو رقم الآحاد. سنفترض أن $a$ هو رقم الآحاد.

قابلية القسمة على:

أ) 12: يجب أن يقبل القسمة على 3 و 4.

- على 3: $3+7+4+a = 14+a$ يجب أن يكون مضاعفًا لـ 3. $14+a \in \{15, 18, 21, ...\}$.

$a$ يمكن أن يكون 1 (15), 4 (18), 7 (21).

- على 4: العدد المتكون من رقمين الأخيرين $4a$ يجب أن يقبل القسمة على 4. $40+a$ يقبل القسمة على 4. يعني $a$ يجب أن يقبل القسمة على 4.

$a$ يمكن أن يكون 0, 4, 8.

القيم المشتركة لـ $a$ هي 4.

ب) 6: يجب أن يقبل القسمة على 2 و 3.

- على 2: $a$ يجب أن يكون زوجيًا. $a \in \{0, 2, 4, 6, 8\}$.

- على 3: $14+a$ يجب أن يكون مضاعفًا لـ 3. $a \in \{1, 4, 7\}$.

القيم المشتركة لـ $a$ هي 4.

ج) 4: العدد المتكون من رقمين الأخيرين $4a$ يجب أن يقبل القسمة على 4.

$a \in \{0, 4, 8\}$.

د) 9: $3+7+4+a = 14+a$ يجب أن يكون مضاعفًا لـ 9.

$14+a \in \{18\}$.

$a = 4$.

س) 8: العدد المتكون من آخر 3 أرقام $74a$ يجب أن يقبل القسمة على 8.

- $740 + a$ يقبل القسمة على 8.

- $740 / 8 = 92.5$. $740 \equiv 4 \pmod 8$.

- إذن $4+a$ يجب أن يقبل القسمة على 8.

- $a$ يمكن أن يكون 4.

تصحيح التمرين 5 (صفحة 3)

العدد هو $x = 6591ab$.

مجموع أرقام $x = 6+5+9+1+a+b = 21+a+b$.

أ) 15: يقبل القسمة على 3 و 5.

- على 5: $b$ يجب أن يكون 0 أو 5.

- على 3: $21+a+b$ يجب أن يكون مضاعفًا لـ 3.

إذا $b=0$: $21+a$ يقبل القسمة على 3. $a \in \{0, 3, 6, 9\}$.

القيم: $(a,b) \in \{(0,0), (3,0), (6,0), (9,0)\}$.

إذا $b=5$: $21+a+5 = 26+a$ يقبل القسمة على 3. $26+a \in \{27, 30, ...\}$.

$a$ يمكن أن يكون 1 (27), 4 (30), 7 (33).

القيم: $(a,b) \in \{(1,5), (4,5), (7,5)\}$.

ب) 12: يقبل القسمة على 3 و 4.

- على 4: العدد $ab$ يجب أن يقبل القسمة على 4.

- على 3: $21+a+b$ يقبل القسمة على 3. بما أن 21 مضاعف لـ 3، فإن $a+b$ يجب أن يكون مضاعفًا لـ 3.

نبدأ من قابلية القسمة على 4 للعدد $ab$ (الأعداد من 00 إلى 99 التي تقبل القسمة على 4): 00, 04, 08, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, 96.

الآن نطبق شرط $a+b$ مضاعف لـ 3 لكل زوج $(a,b)$:

- $ab=00 \implies a=0, b=0 \implies a+b=0$ (يقبل). $(0,0)$

- $ab=04 \implies a=0, b=4 \implies a+b=4$ (لا يقبل)

- $ab=08 \implies a=0, b=8 \implies a+b=8$ (لا يقبل)

- $ab=12 \implies a=1, b=2 \implies a+b=3$ (يقبل). $(1,2)$

- $ab=16 \implies a=1, b=6 \implies a+b=7$ (لا يقبل)

- $ab=20 \implies a=2, b=0 \implies a+b=2$ (لا يقبل)

- $ab=24 \implies a=2, b=4 \implies a+b=6$ (يقبل). $(2,4)$

- $ab=28 \implies a=2, b=8 \implies a+b=10$ (لا يقبل)

- $ab=32 \implies a=3, b=2 \implies a+b=5$ (لا يقبل)

- $ab=36 \implies a=3, b=6 \implies a+b=9$ (يقبل). $(3,6)$

- $ab=40 \implies a=4, b=0 \implies a+b=4$ (لا يقبل)

- $ab=44 \implies a=4, b=4 \implies a+b=8$ (لا يقبل)

- $ab=48 \implies a=4, b=8 \implies a+b=12$ (يقبل). $(4,8)$

- $ab=52 \implies a=5, b=2 \implies a+b=7$ (لا يقبل)

- $ab=56 \implies a=5, b=6 \implies a+b=11$ (لا يقبل)

- $ab=60 \implies a=6, b=0 \implies a+b=6$ (يقبل). $(6,0)$

- $ab=64 \implies a=6, b=4 \implies a+b=10$ (لا يقبل)

- $ab=68 \implies a=6, b=8 \implies a+b=14$ (لا يقبل)

- $ab=72 \implies a=7, b=2 \implies a+b=9$ (يقبل). $(7,2)$

- $ab=76 \implies a=7, b=6 \implies a+b=13$ (لا يقبل)

- $ab=80 \implies a=8, b=0 \implies a+b=8$ (لا يقبل)

- $ab=84 \implies a=8, b=4 \implies a+b=12$ (يقبل). $(8,4)$

- $ab=88 \implies a=8, b=8 \implies a+b=16$ (لا يقبل)

- $ab=92 \implies a=9, b=2 \implies a+b=11$ (لا يقبل)

- $ab=96 \implies a=9, b=6 \implies a+b=15$ (يقبل). $(9,6)$

القيم الممكنة لـ $(a,b)$ هي: $\{(0,0), (1,2), (2,4), (3,6), (4,8), (6,0), (7,2), (8,4), (9,6)\}$.

ج) 6: يقبل القسمة على 2 و 3.

- على 2: $b$ يجب أن يكون زوجيًا. $b \in \{0, 2, 4, 6, 8\}$.

- على 3: $a+b$ يجب أن يكون مضاعفًا لـ 3.

نختار أزواج $(a,b)$ حيث $b$ زوجي و $a+b$ مضاعف لـ 3.

- If $b=0$: $a \in \{0,3,6,9\}$. $(0,0), (3,0), (6,0), (9,0)$.

- If $b=2$: $a+2$ is mult of 3. $a \in \{1,4,7\}$. $(1,2), (4,2), (7,2)$.

- If $b=4$: $a+4$ is mult of 3. $a \in \{2,5,8\}$. $(2,4), (5,4), (8,4)$.

- If $b=6$: $a+6$ is mult of 3. $a \in \{0,3,6,9\}$. $(0,6), (3,6), (6,6), (9,6)$.

- If $b=8$: $a+8$ is mult of 3. $a \in \{1,4,7\}$. $(1,8), (4,8), (7,8)$.

هذه هي كل القيم الممكنة لـ $(a,b)$.

تصحيح التمرين 6 (صفحة 3)

ملاحظة: "شجرة الاختيار" تعني عادة إنشاء شجرة قرارات أو قائمة منظمة للقيم الممكنة. هنا سأقوم بسرد الشروط والقيم بدلاً من رسم الشجرة فعلياً داخل HTML.

1) العدد $4xyz$ قابلا للقسمة على 15: (يقبل القسمة على 3 و 5)

- على 5: $z \in \{0, 5\}$.

- على 3: $4+x+y+z$ يجب أن يكون مضاعفًا لـ 3.

إذا $z=0$: $4+x+y$ يجب أن يكون مضاعفًا لـ 3.

إذا $z=5$: $4+x+y+5 = 9+x+y$ يجب أن يكون مضاعفًا لـ 3 (أي $x+y$ مضاعفًا لـ 3).

يجب سرد أزواج $(x,y)$ لكل حالة $z$. (مثال: إذا $z=0$, و $4+x+y=6 \implies x+y=2$. الأزواج هي $(0,2), (1,1), (2,0)$).

2) العدد $2xy$ قابلا للقسمة على 6: (يقبل القسمة على 2 و 3)

- على 2: $y$ يجب أن يكون زوجيًا. $y \in \{0, 2, 4, 6, 8\}$.

- على 3: $2+x+y$ يجب أن يكون مضاعفًا لـ 3.

يجب سرد أزواج $(x,y)$ حيث $y$ زوجي و $2+x+y$ مضاعف لـ 3.

(مثال: إذا $y=0$, $2+x$ مضاعف لـ 3. $x \in \{1,4,7\}$. الأزواج هي $(1,0), (4,0), (7,0)$).

3) العدد $24xy$ قابلا للقسمة على 15: (يقبل القسمة على 3 و 5)

- على 5: $y \in \{0, 5\}$.

- على 3: $2+4+x+y = 6+x+y$ يجب أن يكون مضاعفًا لـ 3 (أي $x+y$ مضاعفًا لـ 3).

إذا $y=0$: $x$ يجب أن يكون مضاعفًا لـ 3. $x \in \{0, 3, 6, 9\}$.

إذا $y=5$: $x+5$ يجب أن يكون مضاعفًا لـ 3. $x \in \{1, 4, 7\}$.

4) العدد $3xy$ قابلا للقسمة على 6: (يقبل القسمة على 2 و 3)

- على 2: $y$ يجب أن يكون زوجيًا. $y \in \{0, 2, 4, 6, 8\}$.

- على 3: $3+x+y$ يجب أن يكون مضاعفًا لـ 3 (أي $x+y$ مضاعفًا لـ 3).

يجب سرد أزواج $(x,y)$ حيث $y$ زوجي و $x+y$ مضاعف لـ 3.

5) العدد $35xy$ قابلا للقسمة على 12: (يقبل القسمة على 3 و 4)

- على 4: العدد $xy$ يجب أن يقبل القسمة على 4.

- على 3: $3+5+x+y = 8+x+y$ يجب أن يكون مضاعفًا لـ 3.

يجب سرد أزواج $(x,y)$ حيث $xy$ يقبل القسمة على 4 و $8+x+y$ مضاعف لـ 3.

(مثال: إذا $xy=00$, $x=0, y=0$. $8+0+0=8$ لا يقبل على 3. لا ينطبق).

(مثال: إذا $xy=12$, $x=1, y=2$. $8+1+2=11$ لا يقبل على 3. لا ينطبق).

(مثال: إذا $xy=24$, $x=2, y=4$. $8+2+4=14$ لا يقبل على 3. لا ينطبق).

(مثال: إذا $xy=36$, $x=3, y=6$. $8+3+6=17$ لا يقبل على 3. لا ينطبق).

(مثال: إذا $xy=48$, $x=4, y=8$. $8+4+8=20$ لا يقبل على 3. لا ينطبق).

(مثال: إذا $xy=60$, $x=6, y=0$. $8+6+0=14$ لا يقبل على 3. لا ينطبق).

(مثال: إذا $xy=72$, $x=7, y=2$. $8+7+2=17$ لا يقبل على 3. لا ينطبق).

(مثال: إذا $xy=84$, $x=8, y=4$. $8+8+4=20$ لا يقبل على 3. لا ينطبق).

(مثال: إذا $xy=96$, $x=9, y=6$. $8+9+6=23$ لا يقبل على 3. لا ينطبق).

هذه التمارين تتطلب اختبار كل حالة لـ $xy$ الذي يقبل القسمة على 4، ثم اختبار شرط القسمة على 3.

6) العدد $50xy$ قابلا للقسمة على 15: (يقبل القسمة على 3 و 5)

- على 5: $y \in \{0, 5\}$.

- على 3: $5+0+x+y = 5+x+y$ يجب أن يكون مضاعفًا لـ 3.

إذا $y=0$: $5+x$ يجب أن يكون مضاعفًا لـ 3. $x \in \{1, 4, 7\}$.

إذا $y=5$: $5+x+5 = 10+x$ يجب أن يكون مضاعفًا لـ 3. $x \in \{2, 5, 8\}$.