تركز هذه التمارين على إيجاد القاسم المشترك الأكبر (ق.م.أ) والمضاعف المشترك الأصغر (م.م.أ) باستخدام خوارزمية إقليدس أو التفكيك إلى عوامل أولية. استخدم الخطوات التالية:
الصيغ المستخدمة:
الجزء أ: إيجاد عددين بناءً على ق.م.أ وم.م.أ
الجزء ب: تحديد بواقي القسمة
الجزء الأول: ق.م.أ وم.م.أ لـ 720 و315
الجزء الثاني: ق.م.أ وم.م.أ لـ 1890 و3528
الجزء أ:
الجزء ب:
ليكن n عدداً صحيحاً طبيعياً.
للجزء أ: استخدم العلاقة $PPCM(a,b) \times PGCD(a,b) = a \times b$. للجزء ب: ادرس الحالات الثلاث الممكنة لباقي n على 3 (0, 1, 2) ثم احسب باقي $n^2+1$ في كل حالة.
أ.2) ليكن $d = PGCD(a,b)$ و $m = PPCM(a,b)$. لدينا $a=da'$ و $b=db'$ حيث $a', b'$ أوليان فيما بينهما. نعلم أن $m = da'b'$. عوض في العلاقة $m \times d = a \times b$ لإيجاد $a'b'$.
ب.2) الحالة 1: $n=3k \implies n^2+1 = 9k^2+1$. الحالة 2: $n=3k+1 \implies n^2+1 = (3k+1)^2+1$. الحالة 3: $n=3k+2 \implies n^2+1 = (3k+2)^2+1$.
أ.1) $m-d=187=11 \times 17$. نضع $d=11$ و $m=198$. $a'b' = m/d=18$. الأزواج (a',b') الممكنة هي (1,18) و (2,9). الحلول (a,b) هي (11,198) و (22,99).
أ.2) $d=24$, $m=1344$. $a'b' = m/d = 1344/24 = 56$. الأزواج (a',b') الأولية فيما بينها هي (1,56) و (7,8). الحلول (a,b) هي (24,1344) و (168,192).
ب.1) البواقي الممكنة هي 0, 1, 2.
ب.2) إذا كان باقي n هو 0، باقي $n^2+1$ هو 1. إذا كان باقي n هو 1، باقي $n^2+1$ هو 2. إذا كان باقي n هو 2، باقي $n^2+1$ هو 2. إذن البواقي الممكنة هي 1 و 2.
لخوارزمية إقليدس، قم بقسمات متتالية. لاستنتاج PPCM، استخدم علاقة $PGCD \times PPCM = a \times b$. للتفكيك، حلل كل عدد إلى عوامله الأولية ثم طبق قواعد PGCD و PPCM.
1) $720 = 2 \times 315 + 90$; $315 = 3 \times 90 + 45$; $90 = 2 \times 45 + 0$.
2) $PPCM = (720 \times 315) / PGCD$.
3) $1890 = 2 \times 3^3 \times 5 \times 7$. $3528 = 2^3 \times 3^2 \times 7^2$. $PGCD$ يأخذ أصغر قوة للعوامل المشتركة. $PPCM$ يأخذ أكبر قوة لجميع العوامل.
1) آخر باق غير منعدم هو 45. إذن ق.م.أ(720, 315) = 45.
2) م.م.أ(720, 315) = (720 × 315) / 45 = 5040.
3) ق.م.أ(1890, 3528) = $2 \times 3^2 \times 7 = 126$. م.م.أ(1890, 3528) = $2^3 \times 3^3 \times 5 \times 7^2 = 52920$.