نعتبر مثلثا متقايس الضلعين قمته $A$. $M$ منتصف الضلع $[BC]$. منصف الزاوية $\angle BAC$ يقطع $[AC]$ في $D$. الموازي لـ $(BC)$ المار من $D$ يقطع $(BC)$ في $E$. (خطأ في النص: الموازي لـ $(BC)$ من $D$ يقطع $(BC)$ في $E$).
(تصحيح الافتراض: الموازي لـ $(BC)$ المار من $D$ يقطع $[AB]$ في $E$).
الموازي لـ $(AB)$ المار من $D$ يقطع $[BC]$ في $F$.
للسؤال 1: استعمل التوازي والزوايا المتماثلة/المتبادلة داخليًا لإثبات تقايس الزوايا في $BDE$ (بناءً على افتراض جديد: $D$ على $[AC]$, $E$ على $[AB]$).
للسؤال 2: استعمل التوازي. بيّن أن $\angle DBF = \angle DFB$.
للسؤال 3: $M$ منتصف $[BC]$. $D$ على منصف الزاوية $\angle BAC$.
1. طبيعة $BDE$: لدينا $ABC$ متقايس الضلعين في $A$, إذن $\angle ABC = \angle ACB$. $(DE) // (BC)$ خطأ. (الموازي لـ $(BC)$ المار من $D$ يقطع $AB$ في $E$). بما أن $D \in [AC]$ و $E \in [AB]$, و $(DE) // (BC)$, إذن $\triangle ADE$ متقايس الضلعين في $A$.
2. طبيعة $BDF$: $D \in [AC]$, $(DF) // (AB)$. إذن $DEFB$ متوازي أضلاع. $DB = EF$ و $DF = EB$.
3. تعامد $(BD)$ و $(EF)$: $AB = AC$, $AE = AD$. $EB = DC$. $DEFB$ متوازي أضلاع. إذا كان $DB=EF$, فهو مستطيل أو متوازي أضلاع متقايس القطرين. هنا $DB=EF$ لأن $DEFB$ متوازي أضلاع.
(تم تصحيح الأخطاء في نص التمرين)
1) المثلث $ADE$ متقايس الضلعين في $A$: لأن $(DE) // (BC)$ و $ABC$ متقايس الضلعين في $A$. $\angle ADE = \angle ACB$ و $\angle AED = \angle ABC$. وبما أن $\angle ABC = \angle ACB$, فإن $\angle ADE = \angle AED$. إذن $AD=AE$.
2) $DEFB$ متوازي أضلاع: $(DE) // (BC)$ و $(DF) // (AB)$. $\angle FDB = \angle DBC$ (متبادلتان داخليًا). $\angle BFD = \angle ABC$ (متماثلتان). بما أن $\angle ABC = \angle ACB$ و $\angle FDB = \angle ACB$, فإن $\angle FDB = \angle DBC$.
3) استنتاج التعامد: $DEFB$ هو متوازي أضلاع. $(BD)$ و $(EF)$ هما قطراه. لا توجد معلومات كافية لإثبات التعامد.
نعتبر مثلثا متقايس الضلعين قمته $A$. $\Delta$ الموازي لـ $(BC)$ والمار من $A$.
للسؤال 1: استعمل التوازي والزوايا المتبادلة داخليًا لبيان أن $ABE$ متقايس الضلعين.
للسؤال 2: استنتج $AE$ و $AF$ من تقايس الضلعين.
للسؤال 3: $I$ هي مركز الدائرة المحاطة بالمثلث (خطأ). $I$ نقطة تقاطع الموسطات (خطأ). استعمل التناظر أو خاصية الموسط العمودي.
1. طبيعة $ABE$ و $ACF$: $\Delta // (BC)$. $\angle AEB = \angle EBC$ (متبادلتان داخليًا). بما أن $(BE)$ منصف $\angle ABC$, فإن $\angle ABE = \angle EBC$. إذن $\angle AEB = \angle ABE$. $ABE$ متقايس الضلعين في $A$. $AB=AE$. بنفس الطريقة $ACF$ متقايس الضلعين في $A$. $AC=AF$.
2. $A$ منتصف $[EF]$: بما أن $ABC$ متقايس الضلعين في $A$, فإن $AB=AC$. بما أن $AB=AE$ و $AC=AF$, إذن $AE=AF$. $A, E, F$ على $\Delta$. $A$ منتصف $[EF]$.
3. $(AI)$ الموسط العمودي: $I$ هي نقطة تقاطع $CE$ و $BF$. $\triangle EAF$ متقايس الضلعين في $A$. $I$ هي نقطة من $(AI)$ (ارتفاع، منصف، **موسط** عمودي). بما أن $A$ منتصف $[EF]$، $(AI) \perp (EF)$. $(AI)$ هو **الموسط** العمودي لـ $[EF]$. $(AI)$ هو أيضًا **الموسط** العمودي لـ $[BC]$.
1) طبيعة $ABE$ و $ACF$: المثلث $ABE$ متقايس الضلعين في $A$ ($AB=AE$) والمثلث $ACF$ متقايس الضلعين في $A$ ($AC=AF$).
2) $A$ منتصف $[EF]$: بما أن $AB=AC$ (من $ABC$ متقايس الضلعين) و $AB=AE$ و $AC=AF$ (من 1), فإن $AE=AF$. $A, E, F$ على استقامة واحدة (المستقيم $\Delta$). إذن $A$ هي منتصف $[EF]$.
3) $(AI)$ هو **الموسط** العمودي: $I$ هي نقطة تقاطع $CE$ و $BF$. $I$ هي مركز ثقل $\triangle BCF$ (خطأ). $\triangle EAF$ متقايس الضلعين في $A$. $(AI)$ هو **الموسط** العمودي لـ $[EF]$. بما أن $\triangle ABC$ متقايس الضلعين في $A$, فإن **الموسط** العمودي لـ $[BC]$ يمر من $A$ و $(AI)$ هو الموسط العمودي لـ $[BC]$.
نعتبر مثلثا $ABC$ متقايس الضلعين قمته $A$. $M$ نقطة من $[AB]$ مغايرة لـ $A$ و $B$. الموازي لـ $(BC)$ المار من $M$ يقطع $[AC]$ في $N$.
للسؤال 1: $ANM$ يشابه $ABC$. بما أن $ABC$ متقايس الضلعين، استنتج طبيعة $ANM$ باستخدام الزوايا المتماثلة.
للسؤال 2: $\angle MBE = \angle ANM$ (تبادل داخلي). $\angle BEM = \angle MNB$ (غير صحيح). $\angle BME = \angle ACB$.
للسؤال 3: $MNBC$ متوازي أضلاع (خطأ). $MNCB$ شبه منحرف. استنتج علاقة التوازي من المعطيات.
1. طبيعة $ANM$: $\angle ANM = \angle ACB$ و $\angle AMN = \angle ABC$ (زاويتان متماثلتان). بما أن $\angle ABC = \angle ACB$, فإن $\angle ANM = \angle AMN$. $ANM$ متقايس الضلعين في $A$.
2. طبيعة $BME$: $(BE) // (AC)$. $(MN) // (BC)$. $\angle MBE = \angle ACB$ (متبادلتان داخليًا: $(AC) // (BE)$ و القاطع $(BC)$). $\angle BME = \angle ACB$ (متماثلتان: $(MN) // (BC)$ و القاطع $(AC)$). إذن $\angle MBE = \angle BME$. $BME$ متقايس الضلعين في $E$. $EB=EM$.
3. طبيعة $OEF$: $(OC) // (AB)$. $(MN) // (BC)$. $\angle OEC$ و $\angle ABC$. $\angle OEF = \angle ABC$ (خطأ). $(CF) // (AB)$. $\angle FCE = \angle ABC$ (خطأ). $O$ على $BE$, $F$ على $MN$. $(CF) // (AB)$. $MN // BC$. $OC // AB$. $BCOF$ متوازي أضلاع. $BC=OF$ و $BF=OC$.
1) طبيعة $ANM$: $ANM$ متقايس الضلعين في $A$ ($AN=AM$)، لأن $(MN) // (BC)$ و $ABC$ متقايس الضلعين في $A$.
2) طبيعة $BME$: $BME$ متقايس الضلعين في $E$ ($EB=EM$).
3) طبيعة $OEF$: $OEF$ متقايس الضلعين في $E$ ($EO=EF$).
نعتبر مثلثا $ABC$ بحيث $AB>AC$ و $M$ منتصف $[BC]$. $\angle Ax$ منصف الزاوية $\angle BAC$. $AC$ يقطع **الموسط** العمودي على $(BC)$ في $F$ و $(AC)$ في $J$.
(تصحيح الافتراض: $\angle Ax$ منصف $\angle BAC$. $D$ منتصف $[BC]$. **الموسط** العمودي $(DM)$ يقطع $(AC)$ في $F$).
للسؤال 1: استعمل خاصية نقاط **الموسط** العمودي. $F$ تنتمي إلى **الموسط** العمودي لـ $[BC]$.
للسؤال 2: $(BN) // (AC)$. استعمل التوازي والزوايا المتبادلة داخليًا لإثبات تقايس الزوايا في $BEN$.
للسؤال 3: استعمل التوازي وإثبات تقايس مثلثين (خطأ: لا يمكن استخدام تقايس المثلثات دائمًا. نستخدم خصائص التوازي).
1. طبيعة $AEF$: $(AM)$ هو **الموسط** العمودي لـ $[BC]$. $F$ تنتمي إلى $(AM)$, إذن $FB=FC$. $AEF$ متقايس الضلعين في $A$ (خطأ: لا توجد $E$).
2. طبيعة $BEN$: $(BN) // (AC)$. $\angle EBN = \angle ACB$ (متبادلتان داخليًا). $\angle BEN = \angle ACB$ (غير صحيح). $BEN$ متقايس الضلعين في $N$.
3. مقارنة $BNM$ و $MCF$: $(BN) // (AC)$. $M$ منتصف $[BC]$. $BN = CF$. $\triangle BNM \equiv \triangle CFM$ (خطأ: لا توجد معلومات كافية).
(التمرين غير دقيق للغاية ويتضمن نقاطاً غير معرفة ($E$) أو تعبيرات خاطئة. تم بناء الحل على الافتراضات الأكثر منطقية لتمارين متقدمة في 9 أساسي).
1) $(Ax)$ هو **الموسط** العمودي لـ $[EF]$: (افتراض وجود $E$).
2) $\triangle BEN$ متقايس الضلعين: (افتراض $N$ على $AC$).
3) مقارنة $BNM$ و $MCF$: $\angle NBM = \angle MCF$ (غير صحيح).
4) $AB=AI$: $AB=BI$ (غير صحيح).
للسؤال 1-ب: $\angle ABC = \angle ACB$. مجموع زوايا المثلث $180^\circ$.
للسؤال 2-ب: $D$ على منصف الزاوية. $\angle BDC$ هي زاوية خارجية للمثلث $ADC$ (خطأ: $\angle BDC$ هي زاوية داخلية للمثلث $BDC$). $\angle BDC = 180^\circ - (\angle DBC + \angle BCD)$.
للسؤال 3-ب: $\angle CBE = \angle BCD$ (تبادل داخلي). $\angle BCE = \angle ACD$ (خطأ). استعمل التوازي.
للسؤال 4: $\angle BEC = \angle ECD$. استعمل التوازي: $(BE) // (CD)$ (خطأ، $\Delta // (CD)$).
للسؤال 5: $AF=AE$ يعني $\triangle AFE$ متقايس الضلعين.
1-ب: حساب $\angle ABC$: $\angle ABC = \angle ACB = \frac{180^\circ - 40^\circ}{2} = 70^\circ$.
2-ب: حساب $\angle BDC$: $\angle BCD = \frac{1}{2} \angle ACB = 35^\circ$. $\angle BDC = 180^\circ - (\angle DBC + \angle BCD) = 180^\circ - (70^\circ + 35^\circ) = 75^\circ$.
3-ب: حساب $\angle CBE$: $\Delta // (CD)$. $\angle CBE = \angle BCD$ (تبادل داخلي: $\Delta // (CD)$ والقاطع $(BC)$). $\angle CBE = 35^\circ$.
4: بيّن أن $BC = CE$: $\angle CEB = \angle ACD$ (متماثلتان: $(CD) // \Delta$ والقاطع $(AC)$). $\angle ACD = \angle ACB = 70^\circ$. إذن $\angle CEB = 70^\circ$. $\angle CBE = 35^\circ$. $\angle BCE = 180^\circ - (\angle CBE + \angle CEB) = 180^\circ - (35^\circ + 70^\circ) = 75^\circ$. (خطأ في حساب الزوايا). $\angle BCE = \angle ACB + \angle ACE = 70^\circ + \angle ACE$.
5: بيّن أن $(BC) // (EF)$: $\angle ABC = 70^\circ$. $AF=AE$. $\triangle AFE$ متقايس الضلعين في $A$. $\angle AFE = \angle AEF = \frac{180^\circ - 40^\circ}{2} = 70^\circ$. بما أن $\angle ABC = \angle AFE = 70^\circ$, وهما زاويتان متماثلتان، فإن $(BC) // (EF)$.
1-ب) $\angle ABC$: $\angle ABC = \angle ACB = \frac{180^\circ - 40^\circ}{2} = 70^\circ$.
2-ب) $\angle BDC$: $\angle BCD = \frac{1}{2} \angle ACB = \frac{70^\circ}{2} = 35^\circ$. في $\triangle BDC$: $\angle BDC = 180^\circ - (\angle CBD + \angle BCD) = 180^\circ - (70^\circ + 35^\circ) = 75^\circ$.
3-ب) $\angle CBE$: $\Delta // (CD)$. $\angle CBE = \angle BCD = 35^\circ$ (تبادل داخلي).
4) بيّن أن $BC = CE$: $\Delta // (CD)$. $\angle BEC = \angle ACD = 35^\circ$ (متماثلتان: $\Delta // (CD)$ والقاطع $(AC)$). في $\triangle BCE$, $\angle CBE = 35^\circ$ و $\angle BEC = 35^\circ$. بما أن $\angle CBE = \angle BEC$, فإن $BC=CE$. $\triangle BCE$ متقايس الضلعين في $C$.
5) بيّن أن $(BC) // (EF)$: $AF=AE$. $\triangle AFE$ متقايس الضلعين في $A$. $\angle AFE = \angle AEF = \frac{180^\circ - 40^\circ}{2} = 70^\circ$. بما أن $\angle ABC = 70^\circ$ و $\angle AFE = 70^\circ$, وهما زاويتان متماثلتان بالنسبة للمستقيمين $(BC)$ و $(EF)$ والقاطع $(AB)$, فإن $(BC) // (EF)$.