تمارين في الهندسة

مستقيمان متقاطعان
تمرين 5

يمثل الرسم المرافق مستقيمين متقاطعين \((AC)\) و \((BD)\) في النقطة \(E\) حيث \(\angle DEC = 110^\circ\) و \(ED=EC\) و \(EA=EB\).



  1. أحسب \(\angle BAC\).
  2. استنتج أن \((AB) // (CD)\).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

للسؤال 1: انظر إلى المثلث \(AEB\). ما هي طبيعته؟ ما هي العلاقة بين الزاوية \(\angle AEB\) و \(\angle DEC\)؟

للسؤال 2: لإثبات توازي مستقيمين، يمكنك إيجاد زاويتين متبادلتين داخليًا متقايستين. قارن بين الزاوية \(\angle BAC\) والزاوية \(\angle ACD\).

📝 الطريقة

1. حساب \(\angle BAC\):

  • الزاويتان \(\angle AEB\) و \(\angle DEC\) متقابلتان بالرأس، إذن هما متقايستان. \(\angle AEB = 110^\circ\).
  • المثلث \(AEB\) متقايس الضلعين في \(E\) لأن \(EA=EB\). إذن زاويتا القاعدة \(\angle EAB\) و \(\angle EBA\) متقايستان.
  • مجموع زوايا المثلث \(AEB\) هو \(180^\circ\). إذن \(\angle EAB + \angle EBA + \angle AEB = 180^\circ\).
  • \(2 \times \angle EAB = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\). ومنه \(\angle EAB = 35^\circ\).

2. استنتاج التوازي:

  • بنفس الطريقة، في المثلث \(DEC\), نحسب \(\angle ECD = 35^\circ\).
  • الزاويتان \(\angle BAC\) (هي نفسها \(\angle EAB\)) و \(\angle ACD\) (هي نفسها \(\angle ECD\)) هما متبادلتان داخليًا.
  • بما أنهما متقايستان (\(35^\circ\)), فإن المستقيمين \((AB)\) و \((CD)\) متوازيان.

✅ الحل الكامل

1) أحسب \(\angle BAC\):
الزاويتان \(\angle AEB\) و \(\angle DEC\) متقابلتان بالرأس، إذن \(\angle AEB = \angle DEC = 110^\circ\).
لدينا \(EA=EB\), إذن المثلث \(AEB\) متقايس الضلعين في \(E\).
إذن زاويتا قاعدته متقايستان: \(\angle BAE = \angle ABE\).
مجموع زوايا المثلث \(AEB\) هو \(180^\circ\), إذن \(2 \times \angle BAE = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\).
ومنه \(\angle BAE = \frac{70^\circ}{2} = 35^\circ\). إذن \(\angle BAC = 35^\circ\).

2) استنتج أن \((AB) // (CD)\):
بنفس الطريقة، في المثلث \(DEC\), لدينا \(ED=EC\), فهو متقايس الضلعين في \(E\).
إذن \(\angle ECD = \angle EDC = \frac{180^\circ - 110^\circ}{2} = 35^\circ\).
نلاحظ أن \(\angle BAC = 35^\circ\) و \(\angle ACD = 35^\circ\).
بما أن الزاويتين المتبادلتين داخليًا \(\angle BAC\) و \(\angle ACD\) متقايستان، فإن المستقيمين \((AB)\) و \((CD)\) متوازيان.

الرباعي وشبه المنحرف
تمرين 6

يمثل الرسم المرافق رباعي \(ABCD\) حيث \(AD=DC\), \(\angle ADC = 100^\circ\), \(\angle ABC = 80^\circ\), و \(\angle BAC = 60^\circ\).



  1. أحسب \(\angle DAC\) و \(\angle ACB\).
  2. استنتج أن الرباعي \(ABCD\) شبه منحرف.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

للسؤال 1: انظر إلى المثلث \(ADC\). ما هي طبيعته؟ استخدم مجموع زوايا المثلث. ثم انظر إلى المثلث \(ABC\).

للسؤال 2: لكي يكون الرباعي شبه منحرف، يجب أن يكون فيه ضلعان متقابلان متوازيان. لإثبات التوازي، ابحث عن زاويتين متبادلتين داخليًا متقايستين.

📝 الطريقة

1. حساب الزوايا:

  • في المثلث \(ADC\), لدينا \(AD=DC\), إذن هو متقايس الضلعين في \(D\).
  • زاويتا القاعدة متقايستان: \(\angle DAC = \angle DCA\).
  • \(2 \times \angle DAC = 180^\circ - \angle ADC = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ\). ومنه \(\angle DAC = 40^\circ\).
  • في المثلث \(ABC\), لدينا \(\angle ACB = 180^\circ - (\angle BAC + \angle ABC) = 180^\circ - (60^\circ + 80^\circ) = 40^\circ\).

2. استنتاج طبيعة الرباعي:

  • لقد وجدنا أن \(\angle DAC = 40^\circ\) و \(\angle ACB = 40^\circ\).
  • هاتان الزاويتان متبادلتان داخليًا بالنسبة للمستقيمين \((AD)\) و \((BC)\) والقاطع \((AC)\).
  • بما أنهما متقايستان، فإن \((AD) // (BC)\).
  • بما أن الرباعي له ضلعان متقابلان متوازيان، فهو شبه منحرف.

✅ الحل الكامل

1) أحسب \(\angle DAC\) و \(\angle ACB\):
في المثلث \(ADC\), لدينا \(AD=DC\), إذن هو متقايس الضلعين في \(D\).
إذن \(\angle DAC = \angle DCA = \frac{180^\circ - 100^\circ}{2} = \frac{80^\circ}{2} = 40^\circ\).
في المثلث \(ABC\), مجموع الزوايا هو \(180^\circ\).
\(\angle ACB = 180^\circ - (\angle BAC + \angle ABC) = 180^\circ - (60^\circ + 80^\circ) = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ\).

2) استنتج أن الرباعي \(ABCD\) شبه منحرف:
وجدنا أن \(\angle DAC = 40^\circ\) و \(\angle ACB = 40^\circ\).
بما أن الزاويتين المتبادلتين داخليًا \(\angle DAC\) و \(\angle ACB\) متقايستان، فإن المستقيمين \((AD)\) و \((BC)\) متوازيان.
بما أن الرباعي \(ABCD\) له ضلعان متقابلان متوازيان، فإنه شبه منحرف.