تمرين 4: المثلث متقايس الضلعين
تأمل الشكل التالي حيث \(ABC\) مثلث متقايس الضلعين قمته الرئيسية \(B\).
- المثلث \(ABC\) متقايس الضلعين في \(B\), إذن \(BA = BC\).
- \(\angle ACB = 80^\circ\)
- \(\angle BAy = 45^\circ\)
- \(\angle CBz = 25^\circ\)
- أحسب \(\angle ABC\).
- استنتج أن \((xy) // (zt)\).
💡 مؤشر
للسؤال 1: في المثلث المتقايس الضلعين، زاويتا القاعدة متقايستان. استخدم هذه الخاصية أولاً، ثم تذكر أن مجموع زوايا المثلث هو \(180^\circ\).
للسؤال 2: لإثبات توازي مستقيمين، يمكنك إيجاد زاويتين متبادلتين داخليًا متقايستين. احسب الزاوية الكاملة \(\angle yAC\) (اسم افتراضي) وقارنها بالزاوية \(\angle zBC\).
📝 الطريقة
1. حساب \(\angle ABC\):
- بما أن المثلث \(ABC\) متقايس الضلعين في \(B\)، فإن زاويتي القاعدة متقايستان: \(\angle BAC = \angle ACB = 80^\circ\).
- مجموع زوايا المثلث \(180^\circ\). إذن \(\angle ABC = 180^\circ - (\angle BAC + \angle ACB)\).
2. استنتاج التوازي:
- احسب قياس الزاوية \(\angle yAB\). هي تتكون من زاويتين: \(\angle yAC\) و \(\angle CAB\). (هناك خطأ في فهم الشكل، الزاوية المعطاة هي \(\angle BAy\)).
- احسب قياس الزاوية \(\angle ABC\) كاملاً ثم احسب الزاوية المتبادلة داخليًا مع \(\angle yAB\).
- الطريقة الصحيحة: احسب الزاويتين المتبادلتين داخليًا \(\angle yAB\) و \(\angle ABt\). لدينا \(\angle yAB = \angle yAC + \angle CAB\). الزاوية المعطاة هي \(\angle BAy = 45^\circ\).
- نحسب الزاوية \(\angle ABt = \angle ABC + \angle CBt\). لدينا \(\angle CBt\) هي نفسها \(\angle CBz = 25^\circ\).
- قارن بين \(\angle yAB\) و \(\angle ABz\) (المتبادلة داخليًا).
✅ الحل الكامل
1) حساب \(\angle ABC\):
بما أن المثلث \(ABC\) متقايس الضلعين قمته الرئيسية \(B\)، فإن زاويتي القاعدة متقايستان.
إذن \(\angle BAC = \angle ACB = 80^\circ\).
مجموع زوايا المثلث هو \(180^\circ\)، إذن:
\(\angle ABC = 180^\circ - (\angle BAC + \angle ACB) = 180^\circ - (80^\circ + 80^\circ) = 180^\circ - 160^\circ = 20^\circ\).
2) استنتج أن \((xy) // (zt)\):
لإثبات توازي المستقيمين، يجب أن نجد زاويتين متبادلتين داخليًا متقايستين. لنحسب الزاويتين \(\angle yAB\) و \(\angle zBA\) بالنسبة للقاطع \((AB)\).
\(\angle yAB = \angle yAC + \angle CAB\). هذه ليست الزاوية المعطاة. الزاوية المعطاة هي \(\angle BAy = 45^\circ\).
لنحسب الزاوية المتبادلة داخليًا معها وهي \(\angle zBA\).
\(\angle zBA = \angle zBC + \angle CBA = 25^\circ + 20^\circ = 45^\circ\).
بما أن الزاويتين المتبادلتين داخليًا \(\angle yAB\) و \(\angle zBA\) متقايستان وتساويان \(45^\circ\), فإن المستقيمين \((xy)\) و \((zt)\) متوازيان.