تمرين 1: حساب الزوايا في شكل هندسي
تأمل الشكل المجاور حيث \((xx')\) و \((yy')\) متوازيان.
- المستقيم \((xx')\) يوازي المستقيم \((yy')\).
- \(\angle AMC = 100^\circ\)
- \(\angle AOB = 65^\circ\)
- أحسب \(\angle OBC\), \(\angle ACB\) و \(\angle BAC\).
- أ) عين النقطة \(I\) من نصف المستقيم \([Ox)\) حيث \(OI=OB\).
ب) أحسب \(\angle OBI\) و \(\angle OIB\).
ج) استنتج أن \([BI)\) منصف الزاوية \(\angle OBy\). - أحسب \(\angle xIB\).
💡 مؤشر
للسؤال 1: استخدم خصائص الزوايا المتبادلة داخليًا والمتكاملة (مجموعها 180 درجة). لحساب \(\angle BAC\)، تذكر أن مجموع زوايا المثلث هو 180 درجة.
للسؤال 2: المثلث \(OIB\) له ضلعان متساويان (\(OI=OB\)). ما نوع هذا المثلث وما هي خصائص زواياه؟
للسؤال 3: الزاويتان \(\angle xIB\) و \(\angle OIB\) متجاورتان على خط مستقيم.
📝 الطريقة
1. حساب الزوايا:
- \(\angle OBC\): الزاويتان \(\angle AOB\) و \(\angle OBC\) متبادلتان داخليًا. بما أن \((xx') // (yy')\)، فإنهما متقايستان.
- \(\angle ACB\): الزاويتان \(\angle AMC\) و \(\angle MCY\) داخليتان من نفس الجهة. احسب \(\angle MCY\) ثم \(\angle ACB\).
- \(\angle BAC\): في المثلث \(ABC\), استخدم مجموع الزوايا \(180^\circ\).
2. خصائص المثلث OIB:
- بما أن \(OI=OB\), فالمثلث \(OIB\) متقايس الضلعين في \(O\).
- إذن زاويتا القاعدة متقايستان: \(\angle OBI = \angle OIB\).
- استخدم مجموع زوايا المثلث \(OIB\) لحسابهما. \(\angle IOB = 65^\circ\).
- لحساب \(\angle OBy\), استخدم الزوايا المتجاورة. ثم قارن \(\angle OBI\) بـ \(\angle IBy\).
✅ الحل الكامل
1) حساب الزوايا \(\angle OBC\), \(\angle ACB\) و \(\angle BAC\):
- بما أن \((xx') // (yy')\), فإن الزاويتين المتبادلتين داخليًا \(\angle AOB\) و \(\angle OBC\) متقايستان. إذن \(\angle OBC = 65^\circ\).
- الزاويتان \(\angle AMC\) و \(\angle MCY\) داخليتان من نفس الجهة، إذن \(\angle MCY = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ\). الزاوية \(\angle ACB\) مكملة لـ \(\angle MCY\), لكن هذا غير صحيح. الطريقة الصحيحة: \(\angle AMC\) و \(\angle MCB\) متكاملتان. \(\angle MCB = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ\). إذن \(\angle ACB = 80^\circ\).
- في المثلث \(ABC\), لدينا \(\angle BAC = 180^\circ - (\angle ABC + \angle ACB) = 180^\circ - (65^\circ + 80^\circ) = 180^\circ - 145^\circ = 35^\circ\).
2) دراسة المثلث OIB:
ب) بما أن \(OI=OB\), فإن المثلث \(OIB\) متقايس الضلعين في \(O\). إذن \(\angle OBI = \angle OIB\).
مجموع الزوايا: \(2 \times \angle OBI + 65^\circ = 180^\circ \Rightarrow 2 \times \angle OBI = 115^\circ \Rightarrow \angle OBI = 57.5^\circ\). إذن \(\angle OIB = 57.5^\circ\).
ج) الزاوية \(\angle OBy\) والزاوية \(\angle AOB\) متكاملتان. \(\angle OBy = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ\).
بما أن \([BI)\) منصف، فإنه يقسم الزاوية \(\angle OBy\) إلى قسمين متساويين قياس كل منهما \(\frac{115^\circ}{2} = 57.5^\circ\). وهو ما وجدناه لـ \(\angle OBI\). إذن \([BI)\) منصف \(\angle OBy\).
3) حساب \(\angle xIB\):
الزاويتان \(\angle xIB\) و \(\angle OIB\) متجاورتان على خط مستقيم \((xx')\). إذن هما متكاملتان.
\(\angle xIB = 180^\circ - \angle OIB = 180^\circ - 57.5^\circ = 122.5^\circ\).