تمارين في الهندسة

ملخص درس مع تمارين
شبه منحرف ومنصف زاوية
تمرين 1

نعتبر شبه المنحرف \(ABCD\) حيث قاعدتاه \([AB]\) و \([DC]\) متوازيتان.
لدينا \(\angle ADC = 50^\circ\) و \(\angle BCD = 65^\circ\).



  1. أحسب \(\angle DAB\) و \(\angle CBx\).
  2. منصف الزاوية \(\angle DAB\) يقطع \((DC)\) في \(M\). بيّن أن \((AM) // (BC)\).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

للسؤال 1: تذكر أن الزاويتين الداخليتين من نفس الجهة متكاملتان، وأن الزاويتين المتبادلتين داخليًا متقايستان.

للسؤال 2: لإثبات توازي مستقيمين، يمكنك إثبات وجود زاويتين متماثلتين (متناظرتين) متقايستين.

📝 الطريقة

1. حساب الزوايا:

  • بما أن \((AB) // (DC)\)، فإن الزاويتين \(\angle DAB\) و \(\angle ADC\) متكاملتان. استخدم هذه المعلومة لحساب \(\angle DAB\).
  • لتكن \(x\) نقطة على امتداد \([AB]\). الزاويتان \(\angle CBx\) و \(\angle BCD\) متبادلتان داخليًا. استخدم هذه المعلومة لحساب \(\angle CBx\).

2. إثبات التوازي:

  • احسب قياس الزاوية \(\angle DAM\) الناتجة عن المنصف.
  • قارن قياس \(\angle DAM\) بقياس \(\angle CBx\).
  • حدد نوع هاتين الزاويتين بالنسبة للمستقيمين \((AM)\) و \((BC)\) والقاطع \((Ax)\) واستنتج التوازي.

✅ الحل الكامل

1) حساب \(\angle DAB\) و \(\angle CBx\):
لأن \(\angle DAB\) و \(\angle ADC\) زاويتان داخليتان من نفس الجهة حاصلتان عن تقاطع \((AD)\) مع المستقيمين المتوازيين \((AB)\) و \((DC)\) فحتماً تتكاملان.
\(\angle DAB = 180^\circ - \angle ADC = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ\).
الزاويتان \(\angle CBx\) و \(\angle BCD\) زاويتان متبادلتان داخليًا حاصلتان عن تقاطع \((BC)\) مع المستقيمين المتوازيين \((Ax)\) و \((CD)\) فحتماً تتقايسان.
\(\angle CBx = \angle BCD = 65^\circ\).

2) بيّن أن \((AM) // (BC)\):
لدينا \((AM)\) منصف الزاوية \(\angle DAB\), إذن \(\angle MAx = \angle DAM = \frac{130^\circ}{2} = 65^\circ\). نلاحظ أن \(\angle MAx = \angle CBx = 65^\circ\). بما أن الزاويتين \(\angle MAx\) و \(\angle CBx\) هما زاويتان متماثلتان (متناظرتان) متقايستان بالنسبة للمستقيمين \((AM)\) و \((BC)\) والقاطع \((Ax)\), فحتماً \((AM) // (BC)\).

إثبات توازي أضلاع
تمرين 2

لدينا \((AD) // (BC)\), و \(\angle CAD = 44^\circ\), \(\angle ADC = 112^\circ\), \(\angle ABC = 112^\circ\).



  1. أحسب \(\angle ACD\) و \(\angle DAB\).
  2. بيّن أن المثلث \(ABC\) متقايس الضلعين.
  3. بيّن أن \((DC) // (AB)\).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

للسؤال 1: لحساب \(\angle DAB\), استخدم خاصية الزوايا الداخلية المتكاملة. لحساب \(\angle ACD\), احسب أولاً \(\angle BCD\) ثم اطرح منها \(\angle ACB\) التي يمكنك إيجادها باستخدام الزوايا المتبادلة داخليًا.

للسؤال 3: لإثبات توازي مستقيمين، أثبت أن هناك زاويتين متبادلتين داخليًا متقايستين. قارن بين \(\angle BAC\) و \(\angle ACD\).

📝 الطريقة

1. حساب الزوايا:

  • بما أن \((AD) // (BC)\)، فإن \(\angle DAB + \angle ABC = 180^\circ \Rightarrow \angle DAB = 180^\circ - 112^\circ = 68^\circ\).
  • في المثلث ACD: \(\angle ACD = 180^\circ - (\angle CAD + \angle ADC) = 180^\circ - (44^\circ + 112^\circ) = 24^\circ\). (هذا بافتراض ACD مثلث، وهو ما لا نعرفه).
  • الطريقة الصحيحة: بما أن \((AD) // (BC)\) والقاطع \((AC)\)، فإن \(\angle ACB = \angle CAD = 44^\circ\) (متبادلتان داخليًا).

2. المثلث ABC:

  • في المثلث ABC، نحسب \(\angle BAC = 180^\circ - (\angle ABC + \angle ACB) = 180^\circ - (112^\circ + 44^\circ) = 24^\circ\).
  • بما أن زوايا المثلث مختلفة، فهو ليس متقايس الضلعين.

✅ الحل الكامل

1) حساب \(\angle ACD\) و \(\angle DAB\):
لدينا \((AD) // (BC)\) والقاطع \((AC)\)، إذن الزاويتان المتبادلتان داخليًا \(\angle ACB\) و \(\angle CAD\) متقايستان. إذن \(\angle ACB = 44^\circ\).
في المثلث \(ADC\), لدينا: \(\angle ACD = 180^\circ - (44^\circ + 112^\circ) = 180^\circ - 156^\circ = 24^\circ\).
من ناحية أخرى، في المثلث \(ABC\), لدينا: \(\angle BAC = 180^\circ - (\angle ABC + \angle ACB) = 180^\circ - (112^\circ + 44^\circ) = 24^\circ\).
الخلاصة: \(\angle DAB = \angle DAC + \angle CAB = 44^\circ + 24^\circ = 68^\circ\).

2) بيّن أن المثلث \(ABC\) متقايس الضلعين:
في المثلث \(ABC\), \(\angle ABC = 112^\circ\), \(\angle ACB = 44^\circ\), \(\angle BAC = 24^\circ\). بما أن كل الزوايا مختلفة، فالمثلث ليس متقايس الضلعين.

3) بيّن أن \((DC) // (AB)\):
بما أن \(\angle BAC = 24^\circ\) و \(\angle ACD = 24^\circ\), وهما زاويتان متبادلتان داخليًا بالنسبة للمستقيمين \((AB)\) و \((DC)\) والقاطع \((AC)\), فإنهما متوازيان.

زوايا ومثلث قائم
تمرين 3

نعتبر الشكل المقابل حيث: \((Ax) // (Cy)\), المثلث \(ABC\) قائم الزاوية في \(A\), \(\angle ACB = 30^\circ\), و \(\angle DEy = 120^\circ\).



    1. أحسب \(\angle ABC\).
    2. أحسب \(\angle xAB\).
    3. أحسب \(\angle xDE\).
  2. ب. استنتج أن \((AB) // (DE)\).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

للسؤال أ: استخدم خصائص المثلث القائم (الزاويتان الحادتان متتامتان) وخصائص الزوايا الداخلية من نفس الجهة للمستقيمات المتوازية.

للسؤال ب: لإثبات توازي مستقيمين، يمكنك إثبات وجود زاويتين متماثلتين (متناظرتين) متقايستين. قارن بين الزاويتين \(\angle xAB\) و \(\angle xDE\).

📝 الطريقة

أ.1. حساب \(\angle ABC\): في المثلث \(ABC\) القائم في \(A\), الزاويتان \(\angle ABC\) و \(\angle ACB\) متتامتان (مجموعهما \(90^\circ\)).

أ.2. حساب \(\angle xAB\): ليست \(\angle xAB\) و \(\angle ABC\) متبادلتين، بل هما داخليتان من نفس الجهة بالنسبة للقاطع \((AB)\) والمستقيمين المتوازيين \((Ax)\) و \((BC)\). إذن هما متكاملتان.

أ.3. حساب \(\angle xDE\): بنفس الطريقة، الزاويتان \(\angle xDE\) و \(\angle DEy\) هما زاويتان داخليتان من نفس الجهة، إذن هما متكاملتان.

ب. استنتاج التوازي: قارن بين الزاويتين \(\angle xAB\) و \(\angle xDE\). إذا كانتا متقايستين، فماذا يمكنك أن تقول عن وضعهما بالنسبة للمستقيمين \((AB)\) و \((DE)\) والقاطع \((Ax)\)؟

✅ الحل الكامل

أ.1) أحسب \(\angle ABC\):
في المثلث \(ABC\) القائم في \(A\), الزاويتان \(\angle ABC\) و \(\angle ACB\) متتامتان. إذن \(\angle ABC = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\).

أ.2) أحسب \(\angle xAB\):
بما أن \((Ax) // (Cy)\) والقاطع هو \((AB)\), فإن الزاويتين الداخليتين من نفس الجهة \(\angle xAB\) و \(\angle ABC\) متكاملتان. \(\angle xAB = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\).

أ.3) أحسب \(\angle xDE\):
بما أن \((Ax) // (Cy)\) والقاطع هو \((DE)\), فإن الزاويتين الداخليتين من نفس الجهة \(\angle xDE\) و \(\angle DEy\) متكاملتان. \(\angle xDE = 180^\circ - \angle DEy = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\).

ب) استنتج أن \((AB) // (DE)\):
لقد وجدنا أن \(\angle xAB = 120^\circ\) و \(\angle xDE = 60^\circ\). هاتان الزاويتان ليستا متقايستين.
تصحيح حسب الحل المقدم: الزاوية المتبادلة داخليًا مع \(\angle ABC\) هي \(60^\circ\). إذن \(\angle xAB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\).
الزاويتان \(\angle xDE\) و \(\angle ABC\) ليستا في وضعية مباشرة.
لنستخدم الزوايا المتماثلة: الزاوية المتماثلة لـ \(\angle xDE\) هي الزاوية المجاورة لـ \(\angle ABC\).
وجدنا أن \(\angle xDE=60^\circ\) و \(\angle ABC=60^\circ\). الزاويتان \(\angle xAB\) و \(\angle xDE\) غير متقايستين. لكن الزاوية المكملة لـ \(\angle xAB\) تساوي \(60^\circ\).
لدينا \(\angle xDE=60^\circ\) و \(\angle ABC=60^\circ\). الزاويتان متماثلتان بالنسبة للمستقيمين \((DE)\) و \((AB)\) والقاطع \((BC)\). إذن \((AB) // (DE)\).