expand_less تمارين حول الزوايا والمستقيمات المتوازية

تمارين حول الزوايا والمستقيمات المتوازية

المدرسة الإعدادية النموذجية بضفاف البحيرة دفواراتي
الزوايا المتبادلة والمتناظرة
تمرين 5

نعتبر المستقيمين \((ED)\) و \((BC)\) متوازيين.

  1. إذا كانت الزاويتان \(\angle ADE\) و \(\angle ABC\) متبادلتين داخليًا، و \(\angle ABC = 63^\circ\) و \(\angle ACB = 45^\circ\). أوجد قياس \(\angle ADE\) و \(\angle AED\).
  2. إذا كانت الزاويتان \(\angle EDA\) و \(\angle ABC\) متناظرتين، و \(\angle ABC = 75^\circ\) و \(\angle ACB = 63^\circ\). أوجد قياس \(\angle ADE\) و \(\angle AED\).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

تذكر خصائص الزوايا الناتجة عن قطع مستقيمين متوازيين بقاطع:

  • الزوايا المتبادلة داخليًا تكون متقايسة.
  • الزوايا المتناظرة تكون متقايسة.

حدد أي قاطع يولد الزوايا المطلوبة في كل حالة.

📝 الطريقة

للحالة 1 (زوايا متبادلة داخليًا):

  • بما أن \((ED) // (BC)\)، فإن الزاويتين المتبادلتين داخليًا \(\angle EDA\) و \(\angle ABC\) متقايستان.
  • بما أن \((ED) // (BC)\)، فإن الزاويتين المتبادلتين داخليًا \(\angle AED\) و \(\angle ACB\) متقايستان.
  • استخدم القيم المعطاة لإيجاد النتيجة.

للحالة 2 (زوايا متناظرة):

  • بما أن \((ED) // (BC)\)، فإن الزاويتين المتناظرتين \(\angle EDA\) و \(\angle ABC\) متقايستان.
  • بما أن \((ED) // (BC)\)، فإن الزاويتين المتناظرتين \(\angle AED\) و \(\angle ACB\) متقايستان.
  • استخدم القيم المعطاة لإيجاد النتيجة.

✅ الحل الكامل

1) حالة الزوايا المتبادلة داخليًا:
المستقيمان \((ED)\) و \((BC)\) متوازيان، إذن الزاويتان المتبادلتان داخليًا \(\angle EDA\) و \(\angle ABC\) وكذلك الزاويتان \(\angle AED\) و \(\angle ACB\) متقايستان. إذن:

  • \(\angle ADE = \angle ABC = 63^\circ\)
  • \(\angle AED = \angle ACB = 45^\circ\)

2) حالة الزوايا المتناظرة:
المستقيمان \((ED)\) و \((BC)\) متوازيان، إذن الزاويتان المتناظرتان \(\angle EDA\) و \(\angle ABC\) وكذلك الزاويتان \(\angle AED\) و \(\angle ACB\) متقايستان. إذن:

  • \(\angle ADE = \angle ABC = 75^\circ\)
  • \(\angle AED = \angle ACB = 63^\circ\)
المستقيمات المتعامدة والمتوازية
تمرين 6

في شكل هندسي، لدينا \((AB) \perp (AD)\) و \((EF) \perp (AD)\).

  1. ما هي الوضعية النسبية للمستقيمين \((AB)\) و \((EF)\)?
  2. إذا كان المستقيم \((CE)\) يوازي \((AB)\) و \(\angle ABC = 40^\circ\), أوجد قياس الزاوية \(\angle ECD\).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

للسؤال 1: تذكر الخاصية: "إذا كان مستقيمان عموديين على نفس المستقيم الثالث، فإنهما...".

للسؤال 2: بما أنك أثبتت التوازي في السؤال الأول، استخدم خصائص الزوايا الناتجة عن مستقيمين متوازيين وقاطع.

📝 الطريقة

1. وضعية المستقيمين:

  • لدينا \((AB) \perp (AD)\) و \((EF) \perp (AD)\).
  • حسب الخاصية، إذا كان مستقيمان عموديين على نفس المستقيم، فإنهما متوازيان.
  • إذن \((AB) // (EF)\).

2. حساب الزاوية:

  • لدينا \((AB) // (CE)\).
  • الزاويتان \(\angle ABC\) و \(\angle ECD\) هما زاويتان متناظرتان بالنسبة للمستقيمين المتوازيين وقاطع.
  • إذن هما متقايستان.

✅ الحل الكامل

1) وضعية المستقيمين \((AB)\) و \((EF)\):
المستقيمان \((AB)\) و \((EF)\) كلاهما عمودي على نفس المستقيم \((AD)\). إذن، إذا كان مستقيمان عموديين على نفس المستقيم، فإنهما متوازيان. وبالتالي المستقيمان \((AB)\) و \((EF)\) متوازيان. (وكذلك \((CE)\) إذا كانت \(C,F\) على نفس الخط).

2) حساب \(\angle ECD\):
المستقيمان \((AB)\) و \((CE)\) متوازيان. إذن الزاويتان المتناظرتان \(\angle ABC\) و \(\angle ECD\) متقايستان. إذن \(\angle ECD = \angle ABC = 40^\circ\).

التحقق من التوازي
تمرين 7

في كل حالة، هل المستقيمان \((d_1)\) و \((d_2)\) متوازيان؟

  1. قاطع يكوّن مع \((d_1)\) و \((d_2)\) زاويتين متبادلتين داخليًا قياس إحداهما \(49^\circ\) وقياس الزاوية المجاورة للأخرى هو \(131^\circ\).
  2. قاطع يكوّن مع \((d_1)\) و \((d_2)\) زاويتين متبادلتين داخليًا قياس إحداهما \(71^\circ\) وقياس الزاوية المجاورة للأخرى هو \(109^\circ\).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

تذكر أن زاويتين متجاورتين على خط مستقيم مجموعهما \(180^\circ\). احسب قياس الزاوية المتبادلة داخليًا الثانية في كل حالة، ثم قارنها بالأولى.

إذا كانت الزاويتان المتبادلتان داخليًا متقايستين، فالمستقيمان متوازيان.

📝 الطريقة

1. الحالة الأولى:

  • الزاوية الأولى = \(49^\circ\).
  • نحسب الزاوية الثانية: هي مكملة للزاوية \(131^\circ\).
  • الزاوية الثانية = \(180^\circ - 131^\circ = 49^\circ\).
  • نقارن الزاويتين.

2. الحالة الثانية:

  • الزاوية الأولى = \(71^\circ\).
  • نحسب الزاوية الثانية: هي مكملة للزاوية \(109^\circ\).
  • الزاوية الثانية = \(180^\circ - 109^\circ = 71^\circ\). (هنا خطأ في الحل الأصلي)
  • نقارن الزاويتين.

✅ الحل الكامل

1) الحالة الأولى:
قياس الزاوية الثانية المتبادلة داخليًا هو \(180^\circ - 131^\circ = 49^\circ\). بما أن لدينا زاويتين متبادلتين داخليًا لهما نفس القياس (\(49^\circ\)), فإن المستقيمين \((d_1)\) و \((d_2)\) متوازيان.

2) الحالة الثانية:
قياس الزاوية الثانية المتبادلة داخليًا هو \(180^\circ - 71^\circ = 109^\circ\). بما أن الزاويتين المتبادلتين داخليًا ليستا متقايستين (\(71^\circ \neq 109^\circ\)), فإن المستقيمين \((d_1)\) و \((d_2)\) غير متوازيين.