تمرين في الهندسة: المثلثات المتقايسة الضلعين والدوائر
لدينا ABC مثلث متقايس الضلعين قمته الرئيسية A حيث $\widehat{BAC}=36^\circ$ و [BI) منصف الزاوية $\widehat{ABC}$.
- أ) أحسب $\widehat{ACB}$ و $\widehat{ABI}$.
ب) بيّن أن المثلث BIC متقايس الضلعين قمته الرئيسية B. - أ) أرسم الدائرة C التي مركزها C وتمر من A. الدائرة C تقطع (AB) في نقطة ثانية J.
ب) بيّن أن $\widehat{AJC}=36^\circ$.
ج) استنتج أن (JC) // (BI).
د) بيّن أن $\widehat{BCJ}=36^\circ$. - بيّن أن $BJ = BI$.
💡 مؤشر
استخدم خصائص المثلث المتقايس الضلعين (مجموع زواياه 180° وزاويتا القاعدة متقايستان). تذكر أن المنصف يقسم الزاوية إلى زاويتين متقايستين. بالنسبة للدائرة، جميع النقاط على محيطها تبعد نفس المسافة عن المركز.
📝 الطريقة
1.أ) حساب الزوايا: في المثلث ABC، احسب $\widehat{ABC}$ و $\widehat{ACB}$ بمعرفة زاوية القمة. ثم استخدم تعريف المنصف لحساب $\widehat{ABI}$.
1.ب) المثلث BIC: احسب زوايا المثلث BIC (تعرف $\widehat{ICB}$ و $\widehat{IBC}$). إذا وجدت زاويتين متقايستين، فالمثلث متقايس الضلعين.
2.ب) حساب $\widehat{AJC}$: بما أن A و J على الدائرة التي مركزها C، فإن المثلث AJC متقايس الضلعين. استنتج زواياه.
2.ج) التوازي: قارن الزاويتين $\widehat{JCA}$ و $\widehat{ICB}$ أو ابحث عن زوايا متناظرة أو متبادلة داخليًا بين (JC) و (BI).
3) $BJ=BI$: لإثبات تساوي ضلعين، حاول إثبات أن المثلث BJI متقايس الضلعين عن طريق حساب زواياه.
✅ الحل الكامل
1.أ) حساب $\widehat{ACB}$ و $\widehat{ABI}$:
المثلث ABC متقايس الضلعين في A، إذن $\widehat{ABC} = \widehat{ACB}$.
$\widehat{ABC} = \widehat{ACB} = (180^\circ - 36^\circ) / 2 = 144^\circ / 2 = 72^\circ$.
بما أن [BI) منصف $\widehat{ABC}$، فإن $\widehat{ABI} = \widehat{IBC} = 72^\circ / 2 = 36^\circ$.
1.ب) تبيين أن BIC متقايس الضلعين:
في المثلث BIC، لدينا $\widehat{ICB} = 72^\circ$ و $\widehat{IBC} = 36^\circ$.
$\widehat{BIC} = 180^\circ - (72^\circ + 36^\circ) = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$.
بما أن $\widehat{BIC} = \widehat{ICB} = 72^\circ$، فإن المثلث BIC متقايس الضلعين قمته الرئيسية B.
2.ب) تبيين أن $\widehat{AJC}=36^\circ$:
بما أن A و J تنتميان إلى الدائرة التي مركزها C، فإن $CA = CJ$. إذن المثلث AJC متقايس الضلعين في C.
زاويتا القاعدة متقايستان: $\widehat{CAJ} = \widehat{CJA} = 36^\circ$.
2.ج) استنتاج أن (JC) // (BI):
لدينا $\widehat{JAB} = 36^\circ$ و $\widehat{ABI} = 36^\circ$. الزاويتان $\widehat{JCB}$... لا. لدينا $\widehat{AJC} = 36^\circ$ و $\widehat{ABI} = 36^\circ$. هاتان الزاويتان متناظرتان بالنسبة للمستقيمين (JC) و (BI) والقاطع (AJ). بما أنهما متقايستان، فإن (JC) // (BI).
2.د) تبيين أن $\widehat{BCJ}=36^\circ$:
بما أن (JC) // (BI) والقاطع (BC)، فإن الزاويتين $\widehat{JCB}$ و $\widehat{IBC}$ متبادلتان داخليًا ومتقايستان. إذن $\widehat{BCJ} = \widehat{IBC} = 36^\circ$.
3) تبيين أن $BJ = BI$:
في المثلث BJC، لدينا $\widehat{BCJ}=36^\circ$. ولدينا $\widehat{BJC} = \widehat{AJC}=36^\circ$.
بما أن المثلث BJC له زاويتان متقايستان، فهو متقايس الضلعين في B. إذن $BJ = BC$.
من (1.ب)، بينا أن المثلث BIC متقايس الضلعين في B، إذن $BI=BC$.
من العلاقتين، نستنتج أن $BJ = BI$.