تمرين في الهندسة: شبه المنحرف

تطبيقات على الزوايا والتوازي في شبه المنحرف
تحليل شكل هندسي
تمرين 3

لدينا شبه منحرف ABCD قاعدتاه [AD] و [BC] حيث $\widehat{ABC} = 80^\circ$ و $\widehat{BCD} = 50^\circ$ و (AK) // (CD).

شكل هندسي للتمرين
  1. أحسب معللاً جوابك الأقيسة التالية:
    1. $\widehat{BAD}$
    2. $\widehat{AKB}$
    3. $\widehat{KAD}$
  2. استنتج أن نصف المستقيم [AK) هو منصف الزاوية $\widehat{BAD}$.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

استخدم خصائص شبه المنحرف والمستقيمات المتوازية. في شبه المنحرف، مجموع زاويتين متتاليتين غير واقعتين على نفس القاعدة هو 180°. للزوايا الناتجة عن التوازي، ابحث عن الزوايا المتناظرة والمتبادلة داخليًا.

📝 الطريقة

أ) لحساب $\widehat{BAD}$: في شبه المنحرف ABCD، الزاويتان $\widehat{ABC}$ و $\widehat{BAD}$ متكاملتان لأنهما تقعان بين المستقيمين المتوازيين (AD) و (BC) وقاطع لهما (AB). إذن مجموعهما $180^\circ$.

ب) لحساب $\widehat{AKB}$: بما أن (AK) // (CD)، فإن الزاويتين $\widehat{AKB}$ و $\widehat{DCB}$ متناظرتان بالنسبة للمستقيمين المتوازيين (AK) و (CD) والقاطع (BC).

ج) لحساب $\widehat{KAD}$: بما أن (AD) // (BC)، فإن الرباعي AKCD متوازي أضلاع. ما هي خصائص الزوايا المتقابلة في متوازي الأضلاع؟

2. استنتاج المنصف: لتثبت أن [AK) منصف الزاوية $\widehat{BAD}$، يجب أن تثبت أن $\widehat{BAK} = \widehat{KAD}$.

✅ الحل الكامل

1.أ) حساب $\widehat{BAD}$:

بما أن ABCD شبه منحرف قاعدتاه (AD) و (BC)، فإن (AD) // (BC). الزاويتان $\widehat{ABC}$ و $\widehat{BAD}$ متكاملتان.

$\widehat{BAD} + \widehat{ABC} = 180^\circ \implies \widehat{BAD} = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$.

1.ب) حساب $\widehat{AKB}$:

لدينا (AK) // (CD) والقاطع (BC). الزاويتان $\widehat{AKB}$ و $\widehat{DCB}$ متناظرتان. إذن:

$\widehat{AKB} = \widehat{DCB} = 50^\circ$.

1.ج) حساب $\widehat{KAD}$:

لدينا (AD) // (KC) و (AK) // (DC)، إذن الرباعي AKCD متوازي أضلاع. في متوازي الأضلاع، الزوايا المتقابلة متقايسة.

$\widehat{KAD} = \widehat{KCD} = 50^\circ$.

2) استنتاج أن [AK) هو منصف الزاوية $\widehat{BAD}$:

يجب أن نبرهن أن $\widehat{BAK} = \widehat{KAD}$.

نعلم أن $\widehat{BAD} = 100^\circ$ و $\widehat{KAD} = 50^\circ$.

$\widehat{BAK} = \widehat{BAD} - \widehat{KAD} = 100^\circ - 50^\circ = 50^\circ$.

بما أن $\widehat{BAK} = \widehat{KAD} = 50^\circ$، فإن نصف المستقيم [AK) هو منصف الزاوية $\widehat{BAD}$.