تمرين في الهندسة: المثلثات والزوايا

تطبيقات على المثلثات قائمة الزاوية، متقايسة الضلعين، والتوازي
تحليل شكل هندسي
تمرين

نعتبر الرسم التالي حيث ABC مثلث قائم الزاوية في A و D نقطة من [BC] حيث $DA = DB$. و I نقطة من [AC] حيث $\widehat{ABD} = \widehat{ADI} = 40^\circ$.

شكل هندسي للتمرين
  1. أ- أحسب $\widehat{DAB}$.
    ب- استنتج أن (ID) // (AB).
  2. أ- بين أن $\widehat{CDI} = 40^\circ$.
    ب- استنتج أن (DI) منصف الزاوية $\widehat{ADC}$.
  3. بين أن ACD هو مثلث متقايس الضلعين قمته الرئيسية D.
  4. استنتج أن D منتصف [BC].
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

استخدم خصائص المثلثات. بما أن $DA=DB$، فإن المثلث DAB متقايس الضلعين. ما هي خصائص زوايا المثلث متقايس الضلعين؟ لإثبات التوازي، ابحث عن زاويتين متبادلتين داخليًا أو متناظرتين متقايستين.

📝 الطريقة

1.أ) حساب $\widehat{DAB}$: في المثلث DAB، لدينا $DA=DB$، إذن هو متقايس الضلعين. بالتالي زوايا القاعدة متقايسة: $\widehat{DAB} = \widehat{ABD} = 40^\circ$.

1.ب) استنتاج التوازي: لدينا الزاويتان $\widehat{ADI}$ و $\widehat{DAB}$ متبادلتان داخليًا بالنسبة للمستقيمين (ID) و (AB) والقاطع (AD). قارن قياسهما.

2.أ) حساب $\widehat{CDI}$: بما أن (ID) // (AB) و (AC) ⊥ (AB)، فإن (ID) ⊥ (AC). إذن المثلث IDC قائم في I. استخدم مجموع زوايا المثلث لحساب $\widehat{IDC}$.

3) مثلث متقايس الضلعين ACD: لقد وجدت أن $\widehat{ADI} = 40^\circ$ و $\widehat{IDC} = 40^\circ$. إذن $\widehat{ADC} = 80^\circ$. احسب زوايا القاعدة للمثلث ACD.

4) D منتصف [BC]: إذا كان المثلث ACD متقايس الضلعين، فإن $DA=DC$. وبما أن $DA=DB$ (معطى)، فماذا تستنتج؟

✅ الحل الكامل

1.أ) حساب $\widehat{DAB}$:

في المثلث ABD، لدينا $DA = DB$. إذن المثلث ABD متقايس الضلعين في D. وبالتالي فإن زاويتي القاعدة متقايستان: $\widehat{DAB} = \widehat{ABD} = 40^\circ$.

1.ب) استنتاج أن (ID) // (AB):

لدينا $\widehat{DAB} = 40^\circ$ و $\widehat{ADI} = 40^\circ$. هاتان الزاويتان متبادلتان داخليًا بالنسبة للمستقيمين (AB) و (ID) والقاطع (AD). بما أنهما متقايستان، فإن المستقيمين (AB) و (ID) متوازيان.

2.أ) تبيين أن $\widehat{CDI} = 40^\circ$:

لدينا (AB) ⊥ (AC) و (AB) // (ID). إذن (ID) ⊥ (AC)، وبالتالي المثلث IDC قائم الزاوية في I. مجموع زوايا المثلث IDC يساوي 180°. إذن $\widehat{ICD} + \widehat{CID} + \widehat{IDC} = 180^\circ$. لحساب $\widehat{ICD}$: في المثلث الكبير ABC القائم في A، $\widehat{ACB} = 90^\circ - \widehat{ABC} = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$. إذن $\widehat{ICD} = 50^\circ$. ومنه: $\widehat{IDC} = 180^\circ - 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ$.

2.ب) استنتاج أن (DI) منصف الزاوية $\widehat{ADC}$:

وجدنا أن $\widehat{ADI} = 40^\circ$ و $\widehat{IDC} = 40^\circ$. بما أن الزاويتين متقايستان، فإن نصف المستقيم [DI) هو منصف الزاوية $\widehat{ADC}$.

3) تبيين أن ACD متقايس الضلعين:

في المثلث ACD، لدينا $\widehat{DAC} = \widehat{BAC} - \widehat{DAB} = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$. ولدينا $\widehat{ACD} = \widehat{ACB} = 50^\circ$. بما أن $\widehat{DAC} = \widehat{ACD} = 50^\circ$ ، فإن المثلث ACD متقايس الضلعين وقمته الرئيسية D.

4) استنتاج أن D منتصف [BC]:

بما أن المثلث ACD متقايس الضلعين في D، فإن $DA = DC$.

ولدينا من المعطيات أن $DA = DB$.

من العلاقتين نستنتج أن $DC = DB$، وبالتالي فإن النقطة D هي منتصف القطعة [BC].