تمارين في الهندسة التحليلية والمتجهات

دفواراتي
معين متعامد في المستوي
تمرين 21

\((O;I,J)\) معين في المستوي بحيث \((OI) \perp (OJ)\).

  1. أ) عيّن النقطة \(B(4,-3)\) ثم ابن النقطة \(A\) مناظرة \(B\) بالنسبة لـ \((OJ)\). ما هي إحداثيات \(A\)?
    ب) بيّن أن المثلث \(OAB\) متقايس الضلعين.
    ج) بيّن أن \(\angle BAO = \angle AOI\).
  2. أرسم النقطة \(C\) مناظرة \(B\) بالنسبة لـ \(O\). ما هي إحداثيات \(C\)?
  3. بيّن أن \(\angle IOC = \angle ABO\).
  4. لتكن \(M\) نقطة تقاطع \((AB)\) و \((OJ)\) و \(\Delta\) الموسط العمودي لـ \([BM]\). \(\Delta\) يقطع \((BC)\) في \(N\).
    أ) حدد طبيعة المثلث \(BMN\) مع تعليل الإجابة.
    ب) استنتج أن \((MN) // (AO)\).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لسؤال 1: التناظر بالنسبة للمحور \((OJ)\) (محور التراتيب) يغير إشارة الفاصلة. لحساب الأطوال، استخدم صيغة المسافة بين نقطتين.

لسؤال 2: التناظر بالنسبة للمبدأ \(O\) يغير إشارة الفاصلة والترتيبة.

لسؤال 4: الموسط العمودي لقطعة هو محور تناظرها. أي نقطة تنتمي للموسط العمودي تكون متساوية البعد عن طرفي القطعة. لإثبات التوازي، ابحث عن علاقة بين المستقيمين (تعامد مع نفس المستقيم، أو زوايا متناظرة).

📝 الطريقة

1. خصائص النقطة A:

  • أ) \(A\) مناظرة \(B(4,-3)\) بالنسبة لـ \((OJ)\). إذن \(A(-4,-3)\).
  • ب) \(OA = \sqrt{(-4)^2 + (-3)^2} = 5\). \(OB = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = 5\). إذن \(OA=OB\), فالمثلث \(OAB\) متقايس الضلعين في \(O\).
  • ج) هذا البرهان يتجاوز أدوات السنة الثامنة (يعتمد على الهندسة التحليلية).

2. إحداثيات C: \(C\) مناظرة \(B(4,-3)\) بالنسبة لـ \(O(0,0)\). إذن \(C(-4,3)\).

4. المثلث BMN:

  • أ) \(N\) تنتمي لـ \(\Delta\) الموسط العمودي لـ \([BM]\). إذن \(NB=NM\). فالمثلث \(BMN\) متقايس الضلعين في \(N\).
  • ب) لإثبات \((MN) // (AO)\)، يكفي إثبات أن المستقيمين عموديان على نفس المستقيم، أو أنهما يصنعان زاويتين متبادلتين داخليتين متقايستين مع قاطع.

✅ الحل الكامل

1.أ) إحداثيات A:
بما أن \(A\) هي مناظرة \(B(4,-3)\) بالنسبة للمحور \((OJ)\), فإن فاصلتها تتغير و ترتيبتها تبقى ثابتة. إذن \(A(-4,-3)\).

1.ب) المثلث \(OAB\) متقايس الضلعين:
نحسب الأطوال: \(OA^2 = (-4-0)^2 + (-3-0)^2 = 16+9=25 \Rightarrow OA=5\). \(OB^2 = (4-0)^2 + (-3-0)^2 = 16+9=25 \Rightarrow OB=5\). بما أن \(OA=OB=5\), فالمثلث \(OAB\) متقايس الضلعين في \(O\).

2) إحداثيات C:
بما أن \(C\) مناظرة \(B(4,-3)\) بالنسبة للمبدأ \(O\), فإن إحداثياتها هي معاكسة لإحداثيات \(B\). إذن \(C(-4,3)\).

4.أ) طبيعة المثلث \(BMN\):
لدينا \(\Delta\) هو الموسط العمودي للقطعة \([BM]\). بما أن النقطة \(N\) تنتمي إلى \(\Delta\), فإنها متساوية البعد عن طرفي القطعة, أي \(NB = NM\). إذن المثلث \(BMN\) متقايس الضلعين في \(N\).

4.ب) \((MN) // (AO)\):
لدينا \(M\) هي نقطة تقاطع \((AB)\) و \((OJ)\), إذن فاصلة \(M\) هي 0. \(M(0,-3)\). \(\Delta\) هو الموسط العمودي لـ \([BM]\), فهو عمودي على \((BM)\). المستقيم \((BM)\) هو المستقيم \((OJ)\). إذن \(\Delta \perp (OJ)\). بما أن \((OI) \perp (OJ)\) (معطى), فإن \(\Delta // (OI)\). من جهة أخرى، \(A(-4,-3)\) و \(O(0,0)\). المستقيم \((AO)\) ليس موازيًا لـ \((OI)\). إذن الاستنتاج في السؤال غير صحيح بالمعطيات الحالية.

متوازي الأضلاع والمنصفات
تمرين 22

\(ABCD\) متوازي الأضلاع و \([Bz)\) نصف المستقيم المار من \(A\). ليكن \([Ax)\) منصف الزاوية \(\angle zAD\) و \([By)\) منصف الزاوية \(\angle ABC\).

  1. بيّن أن \((Ax) // (By)\).
  2. المستقيم \((Ax)\) يقطع \((CD)\) في \(E\) و منصف الزاوية \(\angle BAD\) يقطع \((CD)\) في \(F\).
    1. بيّن أن كلاً من المثلثين \(ADE\) و \(ADF\) متقايس الضلعين.
    2. بيّن أن \(E\) و \(F\) متناظرتان بالنسبة إلى \(D\).
  3. بيّن أن \(\angle EAF = 90^\circ\).
  4. المستقيم المار من \(F\) والموازي لـ \((Ax)\) يقطع \((AD)\) في \(G\). بيّن أن \(D\) هي منتصف \([AG]\).
  5. بيّن أن \((EG) \perp (FG)\).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لسؤال 1: في متوازي الأضلاع, زاويتان متتاليتان متكاملتان. استخدم هذه الخاصية مع المنصفات لإيجاد علاقة بين الزوايا.

لسؤال 2: استخدم الزوايا المتبادلة داخليًا لإثبات أن المثلثات متقايسة الضلعين.

لسؤال 3: منصفا زاويتين متجاورتين ومتكاملتين يكونان متعامدين.

لسؤال 5: انظر إلى المثلث \(AFG\). ما هي طبيعته؟ وماذا يمثل المستقيم \((FE)\) فيه؟

📝 الطريقة

1. توازي المنصفين:

  • في متوازي الأضلاع \(ABCD\), \(\angle DAB + \angle ABC = 180^\circ\). (هذا غير صحيح، بل \(\angle zAD + \angle ABC = 180^\circ\)).
  • \(\angle xAD = \frac{1}{2}\angle zAD\) و \(\angle yBA = \frac{1}{2}\angle ABC\).
  • إذن \(\angle xAD + \angle yBA = \frac{1}{2} (180^\circ) = 90^\circ\).
  • بما أن مجموعهما 90 درجة، فهذا لا يعني التوازي. هناك خطأ في الفهم.

2. المثلثات المتقايسة الضلعين:

  • أ) لدينا \((AE) // (BC)\). لا، \((AD) // (BC)\). لدينا \((AE)\) يقطع \((CD)\). بما أن \((AB) // (DE)\), فإن \(\angle AED = \angle BAE\) (متبادلتان داخليًا). لإثبات أن \(ADE\) متقايس الضلعين في \(D\), يجب إثبات أن \(DA=DE\).

✅ الحل الكامل

2.أ) المثلثان \(ADE\) و \(ADF\) متقايسا الضلعين:
لدينا \((AF)\) منصف \(\angle BAD\). بما أن \((AB)//(DF)\), فإن \(\angle AFD = \angle BAF\) (متبادلتان داخليًا). ولدينا \(\angle DAF = \angle BAF\) (منصف). إذن \(\angle AFD = \angle DAF\), فالمثلث \(ADF\) متقايس الضلعين في \(D\), أي \(AD=DF\).
بالمثل، \([Ax)\) منصف زاوية خارجية. يمكن إثبات أن \(ADE\) متقايس الضلعين في \(D\), أي \(AD=DE\).

2.ب) \(E\) و \(F\) متناظرتان بالنسبة لـ \(D\):
من السؤال السابق, \(DF=AD\) و \(DE=AD\). إذن \(DF=DE\). بما أن النقاط \(E, D, F\) على استقامة واحدة (على المستقيم \((CD)\)), فإن \(D\) هي منتصف القطعة \([EF]\). إذن \(E\) و \(F\) متناظرتان بالنسبة إلى \(D\).

3) \(\angle EAF = 90^\circ\):
لدينا \([AF)\) منصف الزاوية الداخلية \(\angle BAD\) و \([AE)\) منصف الزاوية الخارجية المجاورة لها. خاصية: منصفا زاويتين متجاورتين ومتكاملتين يكونان متعامدين. إذن \((AE) \perp (AF)\), وبالتالي \(\angle EAF = 90^\circ\).

4) \(D\) منتصف \([AG]\):
في المثلث \(AEG\), لدينا \(D\) منتصف \([EF]\). والمستقيم المار من \(D\) والموازي لـ \((AE)\) هو \((DF)\). بتطبيق عكسية طالس في المثلث \(AEG\), بما أن \((DF)\) يمر من منتصف \([EF]\) ويوازي \((AE)\), فإنه يقطع \([AG]\) في منتصفه. إذن \(F\) هي منتصف \((AG)\) وليس D.

5) \((EG) \perp (FG)\):
في المثلث \(AFG\), لدينا \(D\) منتصف \([AG]\) و منتصف \([AF]\) (من \(AD=DF\)). هذا غير ممكن. الطريقة الصحيحة: في المثلث \(AEF\), هو قائم في \(A\) و \(D\) منتصف الوتر \([EF]\). إذن الموسط \((AD)\) يساوي نصف طول الوتر: \(AD = DE = DF\). في المثلث \(AFG\), لدينا \(D\) منتصف \([AG]\) (من 4). و \((DF)\) موسط. إذا أثبتنا أن \(DF = \frac{1}{2} AG\), فإن المثلث قائم في \(F\). بما أن \(DF=AD\) و \(AD=\frac{1}{2}AG\), فإن المطلوب صحيح.