سلسلة تمارين هندسية

دفواراتي
دائرة ومماسات
تمرين 15

أرسم دائرة \(\zeta\) مركزها \(O\) وقطرها \([AB]\). ثم ابن المستقيمين \(\Delta\) و \(\Delta'\) المماسين للدائرة \(\zeta\) في \(A\) و \(B\) على التوالي.

  1. بيّن أن \(\Delta // \Delta'\).
  2. عيّن نقطة \(C\) من \(\Delta'\) حيث \(OC=OB\). المستقيم \((OC)\) يقطع \(\Delta\) في \(E\).
  3. بيّن أن \(\angle OCB = \angle OEA = 45^\circ\).
  4. ابن النقطتين \(F\) و \(G\) مناظرتي \(O\) و \(E\) على التوالي بالنسبة إلى \(A\).
  5. بيّن أن \(\angle GFE = \angle OEF\).
  6. بيّن أن \((GF) // (OE)\).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لسؤال 1: المماس لدائرة يكون عموديًا على الشعاع في نقطة التماس. ما هي العلاقة بين مستقيمين عموديين على نفس المستقيم؟

لسؤال 3: انظر إلى المثلثات \(OBC\) و \(OAE\). ما هي طبيعتهما؟ استخدم خصائص المثلثات القائمة والمتقايسة الضلعين.

لسؤال 6: استخدم التناظر المركزي. ما هي صورة المستقيم \((OE)\) بالتناظر الذي مركزه \(A\)?

📝 الطريقة

1. توازي المماسات:

  • لدينا \(\Delta \perp (AB)\) في \(A\) و \(\Delta' \perp (AB)\) في \(B\).
  • مستقيمان عموديان على نفس المستقيم \((AB)\) هما متوازيان. إذن \(\Delta // \Delta'\).

3. حساب الزوايا:

  • في المثلث \(OBC\), لدينا \(OB=OC\) و \(\angle OBC=90^\circ\). هذا غير ممكن إلا إذا كانت C=B. هناك خطأ في المعطيات. نفترض أن \(OC\) أكبر من \(OB\). المثلث \(OBC\) قائم في B. لا يمكن حساب الزوايا. لنفترض أن \(OB=BC\). إذن المثلث \(OBC\) قائم ومتقايس الضلعين في \(B\), فتكون \(\angle OCB = 45^\circ\).
  • بما أن \(\Delta // \Delta'\), فإن \(\angle OEA = \angle OCB\) (متبادلتان داخليًا). إذن \(\angle OEA = 45^\circ\).

✅ الحل الكامل

1) \(\Delta // \Delta'\):
المماس \(\Delta\) عمودي على القطر \((AB)\) في \(A\). والمماس \(\Delta'\) عمودي على القطر \((AB)\) في \(B\). بما أن \(\Delta\) و \(\Delta'\) عموديان على نفس المستقيم \((AB)\), فإنهما متوازيان.

3) \(\angle OCB = \angle OEA = 45^\circ\):
في المثلث \(OBC\), هو قائم في \(B\) لأن \(\Delta'\) مماس. إذا كان \(OC=OB\), فهذا يعني أن النقطتين \(B,C\) منطبقتان. لنفترض أن القصد هو \(BC=OB\) (نصف القطر). في هذه الحالة، المثلث \(OBC\) قائم ومتقايس الضلعين في \(B\). إذن \(\angle OCB = 45^\circ\). بما أن \(\Delta // \Delta'\) والقاطع هو \((EC)\), فإن الزاويتين \(\angle OEA\) و \(\angle OCB\) متبادلتان داخليًا. إذن \(\angle OEA = \angle OCB = 45^\circ\).

5) \(\angle GFE = \angle OEF\):
لدينا \(F\) مناظرة \(O\) بالنسبة لـ \(A\), و \(G\) مناظرة \(E\) بالنسبة لـ \(A\). بالتناظر المركزي الذي مركزه \(A\), صورة المثلث \(OEF\) هي المثلث \(FEG\). التناظر المركزي يحافظ على قياس الزوايا. إذن \(\angle GFE = \angle OEF\).

6) \((GF) // (OE)\):
بالتناظر المركزي الذي مركزه \(A\), صورة المستقيم \((OE)\) هي المستقيم \((FG)\). خاصية: صورة مستقيم بتناظر مركزي هو مستقيم مواز له. إذن \((OE) // (FG)\).

مثلث متقايس الضلعين ومنتصف
تمرين 16

\(ABC\) مثلث متقايس الضلعين قمته الرئيسية \(A\) حيث \(\angle ABC = 74^\circ\).

  1. أحسب \(\angle BAC\).
  2. أ) لتكن \(I\) منتصف \([AB]\). ابن المستقيم المار من \(I\) والموازي لـ \((BC)\) و يقطع \([AC]\) في \(J\). بيّن أن \(\angle AIJ = 74^\circ\).
    ب) ما هو نوع المثلث \(AIJ\)?
    ج) بيّن أن \(J\) منتصف \([AC]\).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لسؤال 1: مجموع زوايا المثلث هو \(180^\circ\).

لسؤال 2.أ: استخدم الزوايا المتناظرة الناتجة عن توازي \((IJ)\) و \((BC)\).

لسؤال 2.ج: استخدم مبرهنة المستقيم المار من منتصف ضلع ومواز لضلع ثان.

📝 الطريقة

1. حساب \(\angle BAC\):

  • بما أن \(ABC\) متقايس الضلعين في \(A\), \(\angle ACB = \angle ABC = 74^\circ\).
  • \(\angle BAC = 180^\circ - (74^\circ + 74^\circ) = 180^\circ - 148^\circ = 32^\circ\).

2. خصائص المثلث AIJ:

  • أ) بما أن \((IJ) // (BC)\) والقاطع \((AB)\), فإن \(\angle AIJ = \angle ABC = 74^\circ\) (متناظرتان).
  • ب) بنفس الطريقة, \(\angle AJI = \angle ACB = 74^\circ\). إذن \(\angle AIJ = \angle AJI\). المثلث \(AIJ\) متقايس الضلعين في \(A\).
  • ج) في المثلث \(ABC\), المستقيم \((IJ)\) يمر من منتصف الضلع \([AB]\) (النقطة \(I\)) وهو مواز للضلع \((BC)\). حسب مبرهنة طالس (أو مبرهنة المنتصفين), فإنه يقطع الضلع الثالث \([AC]\) في منتصفه. إذن \(J\) هي منتصف \([AC]\).

✅ الحل الكامل

1) حساب \(\angle BAC\):
بما أن المثلث \(ABC\) متقايس الضلعين قمته \(A\), فإن زاويتي القاعدة متقايستان: \(\angle ACB = \angle ABC = 74^\circ\). مجموع زوايا المثلث هو \(180^\circ\), إذن \(\angle BAC = 180^\circ - (74^\circ + 74^\circ) = 180^\circ - 148^\circ = 32^\circ\).

2.أ) بيّن أن \(\angle AIJ = 74^\circ\):
لدينا \((IJ) // (BC)\) والمستقيم \((AB)\) قاطع لهما. إذن الزاويتان \(\angle AIJ\) و \(\angle ABC\) متناظرتان, وبالتالي متقايستان. \(\angle AIJ = \angle ABC = 74^\circ\).

2.ب) نوع المثلث \(AIJ\):
بنفس الطريقة، \((IJ) // (BC)\) والقاطع \((AC)\) يعطي \(\angle AJI = \angle ACB = 74^\circ\). بما أن \(\angle AIJ = \angle AJI = 74^\circ\), فإن المثلث \(AIJ\) متقايس الضلعين في \(A\).

2.ج) بيّن أن \(J\) منتصف \([AC]\):
في المثلث \(ABC\), لدينا \(I\) منتصف \([AB]\) والمستقيم \((IJ)\) يوازي \((BC)\). حسب مبرهنة المستقيم المار بمنتصف ضلع وموازٍ لآخر، فإنه يقطع الضلع الثالث في منتصفه. إذن \(J\) هي منتصف \([AC]\).

حساب زوايا وموسط عمودي
تمرين17
  1. أ) أرسم مثلثًا \(EFG\) حيث \(EF=6cm\), \(\angle EFG = 70^\circ\) و \(\angle FEG = 40^\circ\). أحسب \(\angle EGF\).
    ب) بيّن أن \(EG=6\).
  2. أ) عيّن النقطة \(A\) منتصف \([EF]\) ثم ارسم المستقيم \(\Delta\) المار من \(A\) والعمودي على \((FG)\) حيث يقطع \([FG]\) في \(I\) و يقطع \((EG)\) في \(B\). بيّن أن \(\angle BAE = 20^\circ\).
    ب) بيّن أن المثلث \(ABE\) متقايس الضلعين.
  3. أ) أرسم \(C\) مناظرة \(A\) بالنسبة لـ \(I\). بيّن أن \((FG)\) هو الموسط العمودي لـ \([AC]\).
    ب) بيّن أن \(\angle ACF = 20^\circ\).
    ج) بيّن أن \((BG) // (CF)\).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لسؤال 1: مجموع زوايا المثلث هو \(180^\circ\). قارن الزوايا بالأضلاع المقابلة لها.

لسؤال 2: في المثلث القائم \(AIF\), يمكنك حساب كل الزوايا. استخدمها لحساب زوايا المثلث \(ABE\).

لسؤال 3: التناظر المحوري وخصائصه هو مفتاح الحل. لإثبات التوازي، ابحث عن زاويتين متناظرتين أو متبادلتين متساويتين.

📝 الطريقة

1. خصائص المثلث EFG:

  • أ) \(\angle EGF = 180^\circ - (70^\circ + 40^\circ) = 70^\circ\).
  • ب) بما أن \(\angle EFG = \angle EGF = 70^\circ\), فالمثلث \(EFG\) متقايس الضلعين في \(E\). إذن \(EG=EF=6cm\).

2. خصائص النقطة B:

  • أ) في المثلث القائم \(AIF\), \(\angle FAI = 90^\circ - \angle AFI = 90^\circ - 70^\circ = 20^\circ\). الزاوية \(\angle BAE\) هي نفسها \(\angle FAE\) وهي نفسها \(\angle FAI\). إذن \(\angle BAE = 20^\circ\).
  • ب) في المثلث \(ABE\), \(\angle AEB = \angle FEG = 40^\circ\). \(\angle BAE = 20^\circ\). \(\angle ABE = 180 - (40+20) = 120^\circ\). المثلث ليس متقايس الضلعين. هناك خطأ في السؤال.

✅ الحل الكامل

1.أ) حساب \(\angle EGF\):
مجموع زوايا المثلث \(EFG\) هو \(180^\circ\). إذن \(\angle EGF = 180^\circ - (\angle EFG + \angle FEG) = 180^\circ - (70^\circ + 40^\circ) = 70^\circ\).

1.ب) بيّن أن \(EG=6\):
بما أن \(\angle EFG = \angle EGF = 70^\circ\), فإن المثلث \(EFG\) متقايس الضلعين في \(E\). إذن الضلعان المقابلان لهاتين الزاويتين متقايسان: \(EG = EF = 6cm\).

2.أ) بيّن أن \(\angle BAE = 20^\circ\):
المستقيم \(\Delta\) عمودي على \((FG)\) في \(I\), إذن المثلث \(AIF\) قائم في \(I\). لدينا \(\angle AFI = \angle EFG = 70^\circ\). في المثلث القائم \(AIF\), \(\angle FAI = 90^\circ - \angle AFI = 90^\circ - 70^\circ = 20^\circ\). بما أن \(B\) على \((AI)\), فإن \(\angle BAE\) هي نفسها \(\angle FAE\), إذن \(\angle BAE = 20^\circ\).

3.أ) \((FG)\) هو الموسط العمودي لـ \([AC]\):
لدينا \(C\) مناظرة \(A\) بالنسبة لـ \(I\). هذا يعني أن \(I\) منتصف \([AC]\). بما أن المستقيم \((FG)\) يمر من \(I\) وهو عمودي على \((AC)\) (لأن \(\Delta \perp (FG)\)), فإن \((FG)\) هو الموسط العمودي للقطعة \([AC]\).