تمارين في الهندسة والتناظر

دفواراتي
موسط عمودي وتناظر
تمرين 12

\(EFG\) مثلث متقايس الضلعين قمته الرئيسية \(E\) و \(\Delta\) الموسط العمودي لـ \([FG]\). \(\Delta\) يقطع \([FG]\) في نقطة \(I\).

  1. ما هي مناظرة الزاوية \(IEF\) بالنسبة لـ \(\Delta\).
  2. ابن النقطة \(H\) مناظرة \(F\) بالنسبة لـ \(E\).
    1. بيّن أن المثلث \(EHG\) متقايس الضلعين.
    2. بيّن أن \(\angle FEG = 2 \times \angle EGH\).
    3. استنتج أن \(\angle GEI = \angle EGH\) وأن \((HG) // \Delta\).
  3. ابن \(K\) مناظرة \(E\) بالنسبة لـ \(I\).
    1. بيّن أن \((KG) // (EH)\).
    2. استنتج أن \(HG=EK\).
    3. بيّن أن \(EI = \frac{1}{2} HG\).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لسؤال 1: التناظر المحوري يحافظ على الزوايا. حدد صورة كل نقطة من الزاوية \(\angle IEF\).

لسؤال 2: \(H\) مناظرة \(F\) بالنسبة لـ \(E\) يعني أن \(E\) منتصف \([HF]\). استخدم خصائص المثلث المتقايس الضلعين والموسطات.

لسؤال 3: انظر إلى طبيعة الرباعي \(EGKH\). استخدم خصائص الأقطار والتوازي.

📝 الطريقة

1. مناظرة الزاوية:

  • بما أن \(\Delta\) الموسط العمودي لـ \([FG]\) في مثلث متقايس الضلعين، فهو يمر من \(E\). إذن صورة \(E\) هي \(E\). صورة \(I\) هي \(I\). صورة \(F\) هي \(G\).
  • إذن مناظرة الزاوية \(\angle IEF\) هي \(\angle IEG\).

2. خصائص النقطة H:

  • أ) \(E\) منتصف \([HF]\). في المثلث \(HGF\), \((GE)\) هو الموسط المتعلق بالضلع \([HF]\). لدينا \(EF=EG\). إذن \(GE = EF = \frac{1}{2} HF\). هذا يعني أن المثلث \(HGF\) قائم في \(G\). وبما أن \(EG=EH\), فإن المثلث \(EHG\) متقايس الضلعين.
  • ب) استخدم الزوايا الخارجية للمثلث \(EHG\).
  • ت) استخدم نتائج الزوايا السابقة لإثبات التوازي.

3. خصائص النقطة K:

  • أ) \(I\) منتصف \([EK]\) و \([FG]\). الرباعي \(EGKH\) أقطاره تتقاطع في منتصفها، فهو متوازي أضلاع. إذن \((KG) // (EH)\).
  • ب) من خصائص متوازي الأضلاع، \(HG=EK\).
  • ت) هذه النتيجة تبدو خاطئة. إذا كان \(EHG\) متقايس الأضلاع، فإن \(EI = \frac{1}{2} EK\). وبما أن \(EK=HG\), فإن \(EI=\frac{1}{2}HG\).

✅ الحل الكامل

1) مناظرة الزاوية \(\angle IEF\):
صورة \(I\) بنفسها هي \(I\), صورة \(E\) بنفسها هي \(E\) (لأن \(E\) تنتمي للموسط العمودي \(\Delta\)), وصورة \(F\) هي \(G\). إذن مناظرة \(\angle IEF\) بالنسبة لـ \(\Delta\) هي \(\angle IEG\).

2.أ) المثلث \(EHG\) متقايس الضلعين:
لدينا \(E\) منتصف \([HF]\) أي \(EH=EF\). وبما أن \(EFG\) متقايس الضلعين في \(E\), فإن \(EF=EG\). إذن \(EH=EG\), فالمثلث \(EHG\) متقايس الضلعين في \(E\).

2.ب) \(\angle FEG = 2 \times \angle EGH\):
في المثلث \(EHG\), \(\angle HEG + 2\angle EGH = 180^\circ\). الزاوية \(\angle FEG\) هي زاوية خارجية للمثلث \(EHG\) عند الرأس \(E\). هذه العلاقة غير صحيحة بشكل عام.

3.أ) \((KG) // (EH)\):
\(I\) هي منتصف \([FG]\) و\(I\) منتصف \([EK]\). إذن أقطار الرباعي \(EFKG\) تتقاطع في منتصفها، فهو متوازي أضلاع. إذن \((KG) // (EF)\). وبما أن \(E,F,H\) على استقامة واحدة فإن \((KG) // (EH)\).

3.ب) \(HG=EK\):
في متوازي الأضلاع \(EFKG\), لدينا \(EG=FK\). لا يمكن استنتاج أن \(HG=EK\) مباشرة.

3.ت) \(EI = \frac{1}{2} HG\):
بما أن \(I\) منتصف \([EK]\), فإن \(EI=\frac{1}{2}EK\). إذا أثبتنا في السؤال السابق أن \(EK=HG\), فإن المطلوب صحيح. ولكن إثبات \(EK=HG\) يتطلب أن يكون الرباعي \(EGKH\) مستطيل، وهذا غير مضمون.

بناء هندسي معقد
تمرين 13

\(ABC\) مثلث متقايس الضلعين قمته الرئيسية \(A\) و \(D\) مناظرة \(B\) بالنسبة إلى \(A\).

  1. أرسم نصف المستقيم \([Dx)\) بحيث \(\angle BDx = \angle DBC\) وهما ليستا من نفس الجهة من المستقيم \((BD)\). بيّن أن \((Dx) // (BC)\).
  2. المستقيم \((AC)\) يقطع \((Dx)\) في \(E\). بيّن أن:
    1. المثلث \(ADE\) متقايس الضلعين.
    2. النقطتين \(C\) و \(E\) متناظرتان بالنسبة إلى \(A\).
    3. \(BD=ED\).
  3. بيّن أن \((BE) // (CD)\).
  4. المستقيم المار من \(E\) والموازي لـ \((BD)\) يقطع \((BC)\) في \(F\). بيّن أن \(EF=EC\). ابن الدائرة \(\zeta\) التي مركزها \(C\) وشعاعها \(BC\) والدائرة \(\zeta'\) التي مركزها \(F\) وشعاعها \(BF\). بيّن أن \(\zeta\) و \(\zeta'\) متماستان بالنسبة لـ \(B\).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لسؤال 1: لديك زاويتان متساويتان وفي وضع معين بالنسبة للقاطع \((BD)\). ما هو هذا الوضع؟

لسؤال 2: استخدم خصائص التوازي لإيجاد زوايا متساوية في المثلث \(ADE\). للتناظر، أثبت أن \(A\) منتصف \([CE]\).

لسؤال 3: استخدم نظرية طالس العكسية في المثلث \(BCD\).

لسؤال 4: لإثبات تماس دائرتين، أثبت أن المسافة بين المركزين تساوي مجموع (أو فرق) الشعاعين.

📝 الطريقة

1. توازي (Dx) و (BC):

  • الزاويتان \(\angle BDx\) و \(\angle DBC\) متساويتان وهما متبادلتان داخليًا بالنسبة للقاطع \((BD)\). إذن المستقيمان \((Dx)\) و \((BC)\) متوازيان.

2. خصائص النقطة E:

  • أ) بما أن \((DE) // (BC)\), فإن \(\angle ADE = \angle ABC\) (متناظرتان). وبما أن \(\angle DAE = \angle BAC\) (متقابلتان بالرأس), و \(ABC\) متقايس الضلعين... هذا لا يكفي. الطريقة الأفضل: \(\angle AED = \angle ACB\) (متناظرتان). بما أن \(ABC\) متقايس الضلعين، \(\angle ABC = \angle ACB\). إذن \(\angle ADE = \angle AED\). فالمثلث \(ADE\) متقايس الضلعين في \(A\).
  • ب) \(AD=AE\) من السؤال السابق. ولدينا \(AD=AB\) (لأن \(D\) مناظرة \(B\) بالنسبة لـ \(A\)). و \(AB=AC\). إذن \(AE=AC\). وبما أن \(A,C,E\) على استقامة، فإن \(A\) منتصف \([CE]\).

✅ الحل الكامل

1) \((Dx) // (BC)\):
الزاويتان \(\angle BDx\) و \(\angle DBC\) متقايستان وهما في وضع متبادل داخلي بالنسبة للمستقيمين \((Dx)\) و \((BC)\) والقاطع \((BD)\). إذن \((Dx) // (BC)\).

2.أ) المثلث \(ADE\) متقايس الضلعين:
لدينا \((DE) // (BC)\). القاطع \((DB)\) يعطي \(\angle ADE = \angle ABC\) (متناظرتان). القاطع \((AC)\) يعطي \(\angle AED = \angle ACB\) (متناظرتان). بما أن المثلث \(ABC\) متقايس الضلعين في \(A\), فإن \(\angle ABC = \angle ACB\). إذن \(\angle ADE = \angle AED\). فالمثلث \(ADE\) متقايس الضلعين في \(A\).

2.ب) \(C\) و \(E\) متناظرتان بالنسبة لـ \(A\):
من 2.أ, \(AD=AE\). ولدينا \(D\) مناظرة \(B\) بالنسبة لـ \(A\), إذن \(AD=AB\). والمثلث \(ABC\) متقايس الضلعين في \(A\), إذن \(AB=AC\). نستنتج أن \(AE=AC\). وبما أن \(E\) تقع على المستقيم \((AC)\), فإن \(A\) هي منتصف \([CE]\). إذن \(C\) و \(E\) متناظرتان بالنسبة لـ \(A\).

3) \((BE) // (CD)\):
في المثلث \(BDE\), \(A\) هي منتصف \([DB]\) و منتصف \([CE]\). بتطبيق عكسية طالس في المثلث \(BDE\) مع النقطتين \(A,C\), نجد أن \((AC)\) ليس موازيا لـ \((BE)\). الطريقة الصحيحة: في المثلث \(CDE\), \((DA)\) هو موسط. في المثلث \(BCE\), \((BA)\) هو موسط. انظر الرباعي \(BCED\), أقطاره \([CD]\) و \([BE]\) تتقاطع في \(A\). وبما أن \(A\) منتصفهما, فالرباعي متوازي أضلاع. إذن \((BE)//(CD)\).

حسابات وارتفاعات
تمرين 14
  1. أرسم مثلثًا \(ABC\) حيث \(\angle ABC = 65^\circ\) و \(\angle BAC = 50^\circ\). أحسب \(\angle ACB\).
  2. بيّن أن \(AB=AC\).
  3. أ) عيّن نقطة \(I\) على \([AC]\) ثم ابن المستقيم \(\Delta\) المار من \(I\) والعمودي على \((BC)\) حيث يقطع \([BC]\) في \(J\), و يقطع \((AB)\) في \(K\).
    ب) أحسب \(\angle IJC\) ثم استنتج \(\angle AIK\).
    ج) أحسب \(\angle AKI\).
  4. أ) ابن \(E\) مناظرة \(I\) بالنسبة إلى \(J\).
    ب) بيّن أن \(ICE\) متقايس الضلعين.
    ج) بيّن أن \(\angle BKE = \angle CEK\).
    د) بيّن أن \((CE) // (AB)\).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لسؤال 1: مجموع زوايا المثلث هو \(180^\circ\).

لسؤال 2: قارن الزوايا. إذا كانت زاويتان في مثلث متساويتين، فالضلعان المقابلان لهما متساويان.

لسؤال 3: استخدم خصائص الزوايا في المثلثات القائمة، والزوايا المتقابلة بالرأس أو المتناظرة.

لسؤال 4: التناظر بالنسبة لنقطة يعني أن هذه النقطة هي منتصف القطعة. استخدم خصائص الموسط والارتفاع في المثلث \(ICE\).

📝 الطريقة

1. حساب \(\angle ACB\): \(\angle ACB = 180^\circ - (65^\circ + 50^\circ) = 65^\circ\).

2. إثبات \(AB=AC\): بما أن \(\angle ABC = \angle ACB = 65^\circ\), فإن المثلث \(ABC\) متقايس الضلعين في \(A\).

3. حساب الزوايا:

  • ب) \((IJ) \perp (BC)\), إذن \(\angle IJC = 90^\circ\). الزاويتان \(\angle AIK\) و \(\angle CIJ\) متقابلتان بالرأس. في المثلث القائم \(IJC\), \(\angle CIJ = 90^\circ - \angle ICJ = 90^\circ - 65^\circ = 25^\circ\). إذن \(\angle AIK = 25^\circ\).
  • ج) في المثلث \(AIK\), \(\angle AKI = 180^\circ - (\angle KAI + \angle AIK) = 180^\circ - (50^\circ + 25^\circ) = 105^\circ\).

✅ الحل الكامل

1) حساب \(\angle ACB\):
\(\angle ACB = 180^\circ - (\angle ABC + \angle BAC) = 180^\circ - (65^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ\).

2) \(AB=AC\):
بما أن \(\angle ABC = \angle ACB = 65^\circ\), فإن المثلث \(ABC\) له زاويتا قاعدة متقايستان, إذن هو متقايس الضلعين في \(A\), وعليه \(AB=AC\).

3.ب) حساب \(\angle IJC\) و \(\angle AIK\):
بما أن \(\Delta \perp (BC)\) في \(J\), فإن \(\angle IJC = 90^\circ\). في المثلث القائم \(IJC\), \(\angle CIJ = 90^\circ - \angle ICJ = 90^\circ - 65^\circ = 25^\circ\). الزاويتان \(\angle AIK\) و \(\angle CIJ\) متقابلتان بالرأس, إذن \(\angle AIK = \angle CIJ = 25^\circ\).

3.ج) حساب \(\angle AKI\):
في المثلث \(AIK\), \(\angle KAI = \angle BAC = 50^\circ\). \(\angle AKI = 180^\circ - (\angle KAI + \angle AIK) = 180^\circ - (50^\circ + 25^\circ) = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ\).

4.ب) \(ICE\) متقايس الضلعين:
لدينا \(E\) مناظرة \(I\) بالنسبة لـ \(J\), إذن \(J\) منتصف \([IE]\). في المثلث \(ICE\), المستقيم \((CJ)\) هو حامل للموسط الصادر من \(C\) وهو أيضًا حامل للارتفاع. إذن المثلث \(ICE\) متقايس الضلعين في \(C\).