تمارين إضافية في الهندسة

دفواراتي
تقاطعات ومثلثات متقايسة الأضلاع
تمرين 8

\(ABC\) مثلث متقايس الضلعين قمته \(A\). \(M\) نقطة من \([AB]\) مغايرة لـ \(A\) و \(B\). الموازي لـ \((BC)\) المار من \(M\) يقطع \([AC]\) في \(N\).

  1. ما هي طبيعة المثلث \(ANM\)?
  2. الموازي لـ \((AC)\) المار من \(B\) يقطع \((MN)\) في \(E\). بيّن أن المثلث \(BME\) متقايس الضلعين.
  3. الموازي لـ \((AB)\) المار من \(C\) يقطع \((BE)\) في \(O\) و \((MN)\) في \(F\). بيّن أن المثلث \(OEF\) متقايس الضلعين.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لسؤال 1: تمامًا مثل التمارين السابقة، استخدم الزوايا المتناظرة الناتجة عن توازي \((MN)\) و \((BC)\).

لسؤال 2: ابحث عن زوايا متساوية في المثلث \(BME\). استخدم توازي \((BE)\) و \((AC)\) وكذلك توازي \((MN)\) و \((BC)\) لإيجاد علاقات بين الزوايا.

لسؤال 3: أثبت أن الرباعي \(BCFE\) متوازي أضلاع. استنتج علاقات بين الأضلاع، ثم استخدمها لإثبات أن المثلث \(OEF\) متقايس الأضلاع (أو الضلعين، حسب المعطيات).

📝 الطريقة

1. طبيعة المثلث ANM:

  • بما أن \((MN) // (BC)\), فإن \(\angle AMN = \angle ABC\) و \(\angle ANM = \angle ACB\) (زوايا متناظرة).
  • بما أن \(ABC\) متقايس الضلعين في \(A\), فإن \(\angle ABC = \angle ACB\).
  • إذن \(\angle AMN = \angle ANM\), فالمثلث \(ANM\) متقايس الضلعين في \(A\).

2. إثبات أن المثلث BME متقايس الضلعين:

  • لدينا \((BE) // (AC)\). القاطع \((BC)\) يعطي \(\angle EBC = \angle ACB\) (متبادلتان داخليًا).
  • لدينا \(\angle ABC = \angle ACB\) (مثلث ABC). إذن \(\angle EBC = \angle ABC\). هذا يعني أن \(B,E,A\) على استقامة واحدة وهو غير ممكن.
  • طريقة بديلة: الزاوية \(\angle BEM\) و \(\angle ANM\) متناظرتان بالنسبة للقاطعين المتوازيين \((BE)\) و \((AC)\) والقاطع \((EN)\). إذن \(\angle BEM = \angle ANM\).
  • ولدينا \(\angle AMN = \angle ABC\). نهدف لإثبات أن \(\angle EBM = \angle EMB\). البرهان يتطلب ربط الزوايا بشكل صحيح.

✅ الحل الكامل

1) طبيعة المثلث ANM:
بما أن \((MN) // (BC)\), فإن \(\angle AMN = \angle ABC\) و \(\angle ANM = \angle ACB\) (متناظرتان). وبما أن \(ABC\) متقايس الضلعين في \(A\), فإن \(\angle ABC = \angle ACB\). إذن \(\angle AMN = \angle ANM\), والمثلث \(ANM\) متقايس الضلعين في \(A\).

2) المثلث BME متقايس الضلعين:
لدينا \((BE) // (AC)\) و \((MN)\) قاطع لهما. إذن \(\angle BEM = \angle ANM\) (متناظرتان). من (1), \(\angle ANM = \angle AMN\). إذن \(\angle BEM = \angle AMN\). الزاوية \(\angle AMN\) و \(\angle BME\) متقابلتان بالرأس، إذن \(\angle AMN = \angle BME\). من آخر علاقتين نستنتج أن \(\angle BEM = \angle BME\). إذن المثلث \(BME\) متقايس الضلعين في \(B\).

3) المثلث OEF متقايس الضلعين:
لدينا \((CF) // (AB)\) و \((BC) // (EF)\), إذن الرباعي \(BCFE\) متوازي أضلاع. ومنه \(CF=BE\) و \(EF=BC\). لدينا \((CO) // (BE)\) و \((CF) // (BE)\). هذا يعني أن النقاط \(C,O,F\) على استقامة واحدة. وبما أن \((CF) // (AB)\), فإن المثلث \(OEF\) لا يمكن أن يكون متقايس الأضلاع بدون معطيات إضافية. ولكن يمكن إثبات أنه متقايس الضلعين. بما أن \(BCFE\) متوازي أضلاع، فإن \(BE=CF\). و \(O\) على \((CF)\), إذن \(OF\) جزء من \(CF\). لا يمكن إثبات المطلوب بالمعطيات الحالية.

موسط عمودي وتوازٍ
تمرين9

\(ABC\) مثلث بحيث \(AB > AC\), و \(M\) منتصف \([BC]\) و \([Ax)\) منصف الزاوية \([AB,AC]\). العمودي على \((Ax)\) المار من \(M\) يقطع \((AB)\) في \(E\) و \((AC)\) في \(F\) و \((Ax)\) في \(J\).

  1. بيّن أن المثلث \(AEF\) متقايس الضلعين وأن \((Ax)\) هو الموسط العمودي لـ \([EF]\).
  2. الموازي لـ \((AC)\) المار من \(B\) يقطع \((EF)\) في \(N\). بيّن أن \(BEN\) متقايس الضلعين.
  3. قارن زوايا المثلثين \(BNM\) و \(MCF\).
  4. المستقيمان \((BN)\) و \((Ax)\) يتقاطعان في \(I\). بيّن أن \(AB=BI\).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لسؤال 1: في المثلث \(AEF\), المستقيم \((AJ)\) أو \((Ax)\) هو حامل ارتفاع ومنصف زاوية. ماذا تستنتج؟

لسؤال 2: استخدم توازي \((BN)\) و \((AC)\) (الذي يحمل \(AF\)). ابحث عن زوايا متساوية في المثلث \(BEN\).

لسؤال 3: لديك \(BM=MC\). حاول إثبات تطابق المثلثين باستخدام تقايس الزوايا والأضلاع.

لسؤال 4: لإثبات \(AB=BI\), حاول إثبات أن المثلث \(ABI\) متقايس الضلعين في \(B\), أي \(\angle BAI = \angle BIA\).

📝 الطريقة

1. المثلث AEF والموسط العمودي:

  • في المثلث \(AEF\), المستقيم \((AJ)\) هو منصف للزاوية \(\angle EAF\) (لأن \((Ax)\) منصف) وهو عمودي على \((EF)\).
  • إذن المثلث \(AEF\) متقايس الضلعين في \(A\), والمستقيم \((Ax)\) هو الموسط العمودي لـ \([EF]\).

2. المثلث BEN:

  • لدينا \((BN) // (AF)\) (لأن \((BN) // (AC)\)). القاطع هو \((EF)\). إذن \(\angle BNE = \angle AFE\) (متناظرتان).
  • من (1), المثلث \(AEF\) متقايس الضلعين, إذن \(\angle AFE = \angle AEF\).
  • إذن \(\angle BNE = \angle AEF\). بما أن \(A,E,F,N\) على استقامة, \(\angle AEF = \angle BEN\).
  • إذن \(\angle BNE = \angle BEN\). فالمثلث \(BEN\) متقايس الضلعين في \(B\).

✅ الحل الكامل

1) المثلث \(AEF\) متقايس الضلعين والموسط العمودي:
في المثلث \(AEF\), المستقيم \((AJ)\) (وهو نفسه \((Ax)\)) هو حامل للارتفاع الصادر من \(A\) لأنه عمودي على \((EF)\). وهو أيضًا منصف للزاوية \(\angle EAF\). بما أن منصف زاوية الرأس هو نفسه حامل الارتفاع، فإن المثلث \(AEF\) متقايس الضلعين في \(A\), و \((Ax)\) هو الموسط العمودي للقاعدة \([EF]\).

2) المثلث \(BEN\) متقايس الضلعين:
لدينا \((BN) // (AC)\) أي \((BN) // (AF)\). والمستقيم \((EF)\) قاطع لهما. إذن \(\angle BNE = \angle AFE\) (زاويتان متناظرتان). من (1), المثلث \(AEF\) متقايس الضلعين في \(A\), إذن \(\angle AFE = \angle AEF\). من العلاقتين نستنتج أن \(\angle BNE = \angle AEF\). وبما أن \(E\) على \((EF)\), فإن \(\angle AEF\) هي نفسها \(\angle BEN\). إذن \(\angle BNE = \angle BEN\). فالمثلث \(BEN\) متقايس الضلعين في \(B\).

3) مقارنة المثلثين \(BNM\) و \(MCF\):
لدينا \(BM=MC\) (معطى). \(\angle BMN = \angle CMF\) (متقابلتان بالرأس). \(\angle NBM = \angle FCM\) (متبادلتان داخليًا). إذن المثلثان متطابقان حسب الحالة (زاوية-ضلع-زاوية).

4) إثبات أن \(AB=BI\):
لدينا \((BN) // (AC)\). القاطع \((Ax)\) أو \((AI)\) يعطي \(\angle BIA = \angle CAI\) (متبادلتان داخليًا). بما أن \((Ax)\) منصف، فإن \(\angle CAI = \angle BAI\). إذن \(\angle BIA = \angle BAI\). فالمثلث \(ABI\) متقايس الضلعين في \(B\), ومنه \(AB=BI\).

حساب زوايا وتوازٍ
تمرين 10

أ) أرسم مثلثًا \(ABC\) متقايس الضلعين قمته الرئيسية \(A\) بحيث \(\angle BAC = 40^\circ\).
ب) أحسب \(\angle ACB\) معللاً جوابك.

  1. أ) ابن \([Cx)\) منصف الزاوية \(\angle ACB\) والذي يقطع \([AB]\) في \(D\).
    ب) أحسب \(\angle BDC\) علل جوابك.
  2. أ) أرسم المستقيم \(\Delta\) المار من \(B\) والموازي لـ \((CD)\), يقطع \((AC)\) في \(E\).
    ب) أحسب \(\angle CBE\) معللاً جوابك.
  3. بيّن أن \(BC=CE\).
  4. عين النقطة \(F\) على \([AB]\) بحيث \(AF=AE\), بيّن أن \((EF) // (BC)\).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

للسؤال الأول: مجموع زوايا المثلث هو \(180^\circ\). في المثلث المتقايس الضلعين، زاويتا القاعدة متساويتان.

للسؤال 2: استخدم مجموع زوايا المثلث \(BDC\) لحساب \(\angle BDC\).

للسؤال 3: استخدم الزوايا المتناظرة الناتجة عن توازي \(\Delta\) و \((CD)\) لحساب الزاوية المطلوبة.

للسؤال 4: لإثبات تساوي ضلعين، أثبت أن الزاويتين المقابلتين لهما متساويتان في المثلث \(BCE\).

للسؤال 5: استخدم نظرية طالس العكسية في المثلث \(ABC\).

📝 الطريقة

1.ب. حساب \(\angle ACB\):

  • \(\angle ACB = \angle ABC = (180^\circ - 40^\circ) / 2 = 70^\circ\).

2.ب. حساب \(\angle BDC\):

  • \([Cx)\) منصف \(\angle ACB\), إذن \(\angle DCB = 70^\circ / 2 = 35^\circ\).
  • في المثلث \(BDC\): \(\angle BDC = 180^\circ - (\angle DBC + \angle DCB) = 180^\circ - (70^\circ + 35^\circ) = 75^\circ\).

3.ب. حساب \(\angle CBE\):

  • لدينا \((\Delta) // (CD)\) والقاطع \((BC)\). الزاويتان \(\angle EBC\) و \(\angle DCB\) ليستا مرتبطتين مباشرة.
  • لدينا \((\Delta) // (CD)\) والقاطع \((AE)\). \(\angle AEC = \angle ACD = 35^\circ\) (متناظرتان).
  • في المثلث \(BCE\), \(\angle BEC = 35^\circ\), \(\angle BCE = 70^\circ\). إذن \(\angle CBE = 180 - (70+35) = 75^\circ\).

✅ الحل الكامل

1.ب) حساب \(\angle ACB\):
مجموع زوايا المثلث \(ABC\) هو \(180^\circ\). بما أنه متقايس الضلعين في \(A\), فإن \(\angle ABC = \angle ACB\). إذن \(2 \times \angle ACB = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ\). ومنه \(\angle ACB = 70^\circ\).

2.ب) حساب \(\angle BDC\):
\([Cx)\) أو \((CD)\) منصف \(\angle ACB\), إذن \(\angle DCB = \angle ACB / 2 = 70^\circ / 2 = 35^\circ\). في المثلث \(BDC\), \(\angle DBC = 70^\circ\). إذن \(\angle BDC = 180^\circ - (\angle DBC + \angle DCB) = 180^\circ - (70^\circ + 35^\circ) = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ\).

3.ب) حساب \(\angle CBE\):
لدينا \((BE) // (CD)\) والقاطع هو \((AC)\). إذن \(\angle AEC = \angle DCH\) (حيث H نقطة على استقامة AC) أو \(\angle BEC + \angle DCB \neq 180^\circ\). الطريقة الصحيحة: \((BE) // (CD)\) والقاطع \((AC)\), إذن \(\angle CEB = \angle DCA = 35^\circ\) (متناظرتان). في المثلث \(BCE\), لدينا \(\angle BCE = 70^\circ\) و \(\angle CEB = 35^\circ\). إذن \(\angle CBE = 180^\circ - (70^\circ + 35^\circ) = 75^\circ\).

4) إثبات أن \(BC=CE\):
في المثلث \(BCE\), نريد مقارنة الزاويتين \(\angle CBE\) و \(\angle CEB\). وجدنا \(\angle CBE = 75^\circ\) و \(\angle CEB = 35^\circ\). الزاويتان غير متساويتين. هناك خطأ في نص السؤال أو في الحسابات. نعيد الحساب: \(\angle CBE = 180 - (70+35) = 75^\circ\). و \(\angle CEB=35^\circ\). لا يمكن إثبات أن \(BC=CE\). لكن، في المثلث \(BCE\), \(\angle BEC = 35^\circ\) و \(\angle BCE = 70^\circ\). الزاوية \(\angle CBE = 180 - 70 - 35 = 75^\circ\). إذا كان \(\angle BCE = \angle BEC\), لكانت الأضلاع متساوية. بما أن \(70 \neq 35\), فإن \(BC \neq BE\). إذا كان \(\angle BCE = \angle CBE\), \(70 \neq 75\), فإن \(CE \neq CB\). إذا كان \(\angle BEC = \angle CBE\), \(35 \neq 75\), فإن \(BC \neq CE\). الاستنتاج المطلوب غير صحيح بالمعطيات الحالية.

5) إثبات أن \((EF) // (BC)\):
لدينا \(AEF\) مثلث. و \(A\) قمته. بما أن \(ABC\) متقايس الضلعين في \(A\), و \(AEF\) متقايس الضلعين في \(A\) (لأن \(AE=AF\)), فإن الزوايا \(\angle AFE = \angle AEF\) و \(\angle ABC = \angle ACB\). بما أن المثلثين يشتركان في زاوية الرأس \(\angle BAC\), فهما متشابهان. ومن التشابه، نستنتج أن \((EF) // (BC)\).