تمارين حول المثلثات والتوازي

دفواراتي
مثلث متقايس الضلعين وتوازٍ
تمرين 1

\(ABC\) مثلث متقايس الضلعين في \(A\). \(M\) نقطة من \([AB]\). الموازي لـ \((BC)\) المار من \(M\) يقطع \([AC]\) في \(N\).

  1. ما هي طبيعة المثلث \(AMN\).
  2. عين على \((MN)\) النقطة \(P\) بحيث يكون المثلث \(BMP\) متقايس الضلعين قمته الرئيسية \(P\).
    1. بيّن أن \(\angle ANM = \angle MPB\).
    2. استنتج أن \((BP) // (AC)\).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لسؤال 1: استفد من حقيقة أن \((MN) // (BC)\). ما علاقة الزوايا في المثلث \(AMN\) بزوايا المثلث \(ABC\)? تذكر أن \(ABC\) متقايس الضلعين.

لسؤال 2: استخدم خصائص المثلثات المتقايسة الضلعين والزوايا المتبادلة داخليًا أو المتناظرة لإثبات التوازي.

📝 الطريقة

1. طبيعة المثلث AMN:

  • بما أن \((MN) // (BC)\) و \((AC)\) قاطع لهما، فإن \(\angle ANM = \angle ACB\) (زاويتان متناظرتان).
  • بما أن \((MN) // (BC)\) و \((AB)\) قاطع لهما، فإن \(\angle AMN = \angle ABC\) (زاويتان متناظرتان).
  • المثلث \(ABC\) متقايس الضلعين في \(A\)، إذن \(\angle ABC = \angle ACB\).
  • نستنتج من ذلك أن \(\angle AMN = \angle ANM\)، وبالتالي المثلث \(AMN\) متقايس الضلعين في \(A\).

2. البرهان والاستنتاج:

  • أ) بما أن \(BMP\) متقايس الضلعين في \(P\)، فإن \(\angle PBM = \angle PMB\). لإثبات المطلوب، حاول ربط الزوايا ببعضها.
  • ب) لإثبات أن \((BP) // (AC)\)، يكفي أن تبرهن وجود زاويتين متبادلتين داخليًا أو متناظرتين متقايستين. قارن الزاوية \(\angle PBC\) بالزاوية \(\angle ACB\).

✅ الحل الكامل

1) المثلث \(AMN\) متقايس الضلعين في \(A\):
لدينا \((MN) // (BC)\). إذن \(\angle AMN = \angle ABC\) و \(\angle ANM = \angle ACB\) كزوايا متناظرة. وبما أن \(ABC\) متقايس الضلعين في \(A\)، فإن \(\angle ABC = \angle ACB\). إذن \(\angle AMN = \angle ANM\)، مما يعني أن المثلث \(AMN\) متقايس الضلعين في \(A\).

2-أ) إثبات \(\angle ANM = \angle MPB\):
نعتبر أن \(P\) تقع على المستقيم \((MN)\). بما أن \(BMP\) متقايس الضلعين قمته الرئيسية \(P\), فإن \(\angle PBM = \angle PMB\). من الصعب إثبات المطلوب بالمعطيات الحالية، قد يكون هناك خطأ في نص السؤال. لكن إذا افترضنا أن \(\angle MPB = \angle ANM\), يمكننا المتابعة.

2-ب) استنتاج أن \((BP) // (AC)\):
لدينا \(\angle ANM = \angle ACB\) (متناظرتان). إذا أثبتنا في السؤال السابق أن \(\angle ANM = \angle MPB\), فهذا لا يساعد مباشرة. الطريقة الصحيحة: نعتبر الزاويتين المتبادلتين داخليًا \(\angle PBC\) و \(\angle ACB\). إذا أثبتنا أنهما متساويتان، فإن المستقيمين متوازيان. بما أن \(\angle PMB + \angle PMN = 180^\circ\)... البرهان يتطلب معلومات إضافية أو تصحيحا للسؤال.

منصفات الزوايا وتوازٍ
تمرين 2

\(ABC\) مثلث متقايس الضلعين في \(A\). لتكن \(D\) نقطة من \([BC]\). الموازي لـ \((AB)\) المار من \(D\) يقطع \((AC)\) في \(E\).

  1. ما هي طبيعة المثلث \(DCE\).
  2. ليكن \([Ax)\) منصف الزاوية \(BAC\) و \([Ey)\) منصف الزاوية \(DEC\). بيّن أن \((Ax) // (Ey)\).
  3. \((Ey)\) يقطع \((AB)\) في \(F\). بيّن أن \(AE=AF\).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لسؤال 1: بما أن \((DE) // (AB)\), ما هي العلاقة بين زوايا المثلث \(DCE\) وزوايا المثلث \(ABC\)?

لسؤال 2: لإثبات توازي مستقيمين، أثبت أن هناك زاويتين متناظرتين متقايستين. قارن الزاوية \(\angle yEC\) بالزاوية \(\angle xAC\).

لسؤال 3: لإثبات أن \(AE=AF\), يكفي أن تثبت أن المثلث \(AEF\) متقايس الضلعين في \(A\). للقيام بذلك، أثبت أن زاويتي القاعدة \(\angle AFE\) و \(\angle AEF\) متقايستان.

📝 الطريقة

1. طبيعة المثلث DCE:

  • بما أن \((DE) // (AB)\) و \((BC)\) قاطع لهما، فإن \(\angle EDC = \angle ABC\) (متناظرتان).
  • بما أن \((DE) // (AB)\) و \((AC)\) قاطع لهما، فإن \(\angle DEC\) و \(\angle BAC\) ليسا مرتبطين مباشرة. بل \(\angle CED = \angle CAB\) (غير صحيح). الصحيح هو \(\angle ECD = \angle ACB\) (مشتركة) و \(\angle CDE = \angle CBA\).
  • بما أن \(ABC\) متقايس الضلعين في \(A\)، فإن \(\angle ABC = \angle ACB\). إذن \(\angle CDE = \angle ECD\)، مما يعني أن المثلث \(DCE\) متقايس الضلعين في \(E\).

2. توازي المنصفين:

  • \([Ax)\) منصف \(\angle BAC\), إذن \(\angle xAC = \frac{1}{2}\angle BAC\).
  • \([Ey)\) منصف \(\angle DEC\), إذن \(\angle yEC = \frac{1}{2}\angle DEC\).
  • بما أن \((DE) // (AB)\), فإن \(\angle DEC = \angle BAC\) (غير صحيح). الصحيح هو أن \(\angle BAC\) و \(\angle DEC\) متكاملتان إذا كان AD خط مستقيم. بالمعطيات، \(\angle BAC = \angle EDC\). العلاقة الصحيحة هي بين \(\angle DEC\) و زاوية أخرى. نستخدم \(\angle BAC = \angle CDE\). هذا لا يساعد. دعنا نستخدم \((DE) // (AB)\) و القاطع \((AC)\) هذا يعطي \(\angle CAB + \angle CEA = 180^{\circ}\) (زاويتان داخليتان). هذا غير صحيح. الزوايا المتناظرة: \(\angle EDC = \angle ABC\), \(\angle DEC\) غير مرتبط بـ\(\angle BAC\). هناك خطأ شائع. الصحيح: بما أن (DE) // (AB) فإن المثلث CDE هو تصغير للمثلث CBA. إذن الزوايا متساوية: \(\angle CDE = \angle CBA\) و \(\angle CED = \angle CAB\). إذن \(\angle yEC = \frac{1}{2}\angle CAB = \angle xAC\). وبما أنهما متناظرتان، فالمستقيمان متوازيان.

3. إثبات AE=AF:

  • بما أن \((Ey) // (Ax)\) (من السؤال 2) و \((AB)\) قاطع لهما، فإن \(\angle AFE = \angle FAx\) (متبادلتان داخليًا).
  • لدينا \([Ax)\) منصف \(\angle BAC\), لذا \(\angle FAx = \angle xAC\).
  • ولدينا \(\angle xAC = \angle yEC\) (من السؤال 2). و \(E, F, y\) على استقامة واحدة. إذن \(\angle AEF = \angle yEC\).
  • نستنتج أن \(\angle AFE = \angle AEF\). إذن المثلث \(AEF\) متقايس الضلعين في \(A\) و \(AE=AF\).

✅ الحل الكامل

1) طبيعة المثلث DCE:
لدينا \((DE) // (AB)\). بالنظر إلى القاطع \((BC)\)، نجد أن \(\angle CDE = \angle CBA\) (متناظرتان). وبما أن \(ABC\) متقايس الضلعين في \(A\)، فإن \(\angle CBA = \angle BCA\). إذن \(\angle CDE = \angle DCE\). وبالتالي، المثلث \(DCE\) متقايس الضلعين في \(E\).

2) توازي المنصفين \((Ax)\) و \((Ey)\):
بما أن \((DE) // (AB)\) والقاطع \((AC)\)، فإن \(\angle DEC\) و \(\angle BAC\) متكاملتان. هذا غير صحيح. لنعد إلى: بما أن المثلثين CDE و CBA متشابهان (من التوازي)، فإن \(\angle CED = \angle CAB\). لدينا \(\angle xAC = \frac{1}{2} \angle BAC\). ولدينا \(\angle yEC = \frac{1}{2} \angle DEC\). إذن \(\angle xAC = \angle yEC\). هاتان الزاويتان في وضع تناظر بالنسبة للقاطع \((AC)\). إذن \((Ax) // (Ey)\).

3) إثبات أن \(AE = AF\):
بما أن \((Ey) // (Ax)\) والقاطع \((AB)\) أو \((AF)\)، فإن \(\angle AFE = \angle FAx\) (متبادلتان داخليًا). بما أن \([Ax)\) منصف، \(\angle FAx = \angle xAC\). وبما أن \((Ax) // (Ey)\) والقاطع \((AC)\)، فإن \(\angle xAC = \angle AEF\) (متبادلتان داخليًا). إذن \(\angle AFE = \angle AEF\). فالمثلث \(AEF\) متقايس الضلعين في \(A\)، ومنه \(AE=AF\).

موسطات عمودية وتوازٍ
تمرين 3

ابن مثلثًا \(ABC\) متقايس الضلعين قاعدته \([BC]\). سمّ الزوايا المتقايسة. عيّن نقطة \(M\) على \([AB]\) ثم ابن المستقيم المار من \(M\) والموازي لـ \((BC)\) حيث يقطع \([AC]\) في \(N\).

  1. ما هو نوع المثلث \(AMN\)? علل. استنتج أن الموسط العمودي لـ \([BC]\) هو الموسط العمودي لـ \([MN]\).
  2. المار من \(B\) والموازي لـ \((AC)\) يقطع \((MN)\) في \(K\). برهن أن المثلث \(MBK\) متقايس الضلعين.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لسؤال 1: السؤال مشابه للتمرين 6. بالنسبة للموسط العمودي، تذكر خصائص محور التناظر في مثلث متقايس الضلعين.

لسؤال 2: انظر إلى الرباعي \(BKCN\). ما هي طبيعته بما أن لديك ضلعين متوازيين؟ ثم استخدم خصائص هذا الرباعي لإيجاد علاقة بين الأضلاع.

📝 الطريقة

1. نوع المثلث والاستنتاج:

  • بنفس طريقة التمرين 6، نثبت أن المثلث \(AMN\) متقايس الضلعين في \(A\).
  • الموسط العمودي لـ \([BC]\) في المثلث \(ABC\) هو أيضاً منصف الزاوية \(BAC\) ومحور تناظر للمثلث.
  • بما أن \(AMN\) متقايس الضلعين في \(A\)، فإن منصف الزاوية \(BAC\) هو أيضاً محور تناظر له، وبالتالي هو الموسط العمودي لـ \([MN]\).

2. البرهان على أن MBK متقايس الضلعين:

  • لدينا \((BK) // (NC)\) (لأن \((BK) // (AC)\)).
  • ولدينا \((KN) // (BC)\) (لأن \(K,N\) على نفس المستقيم الموازي لـ \((BC)\)).
  • إذن الرباعي \(BKCN\) متوازي أضلاع. وبالتالي \(BK = NC\).
  • نحتاج لإثبات أن \(MB = BK\). هذا يعادل إثبات أن \(MB = NC\).
  • بما أن \(AMN\) و \(ABC\) متشابهان، لدينا \(\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}\). وبما أن \(AC=AB\)، فإن \(AM=AN\).
  • لدينا \(AB = AM + MB\) و \(AC = AN + NC\). بما أن \(AB=AC\) و \(AM=AN\), فإن \(MB=NC\).
  • إذن \(MB = BK\)، والمثلث \(MBK\) متقايس الضلعين في \(M\).

✅ الحل الكامل

1) نوع المثلث AMN والموسط العمودي:
المثلث \(AMN\) متقايس الضلعين في \(A\) (نفس برهان تمرين 6). ليكن \((d)\) الموسط العمودي لـ \([BC]\). في المثلث \(ABC\) المتقايس الضلعين في \(A\), \((d)\) هو أيضاً محور تناظر للمثلث ويمر من \(A\). بما أن \(A\) هي رأس المثلث \(AMN\) المتقايس الضلعين، و \((d)\) يمر من \(A\) وهو عمودي على \((MN)\) (لأنه عمودي على \((BC)\) الموازي له)، فإن \((d)\) هو أيضاً الموسط العمودي لـ \([MN]\).

2) المثلث MBK متقايس الضلعين:
لدينا \((BK) // (AC)\) و \((KN) // (BC)\). إذن الرباعي \(BKCN\) هو متوازي أضلاع. ومنه \(BK = NC\). لدينا \(AB = AM + MB\) و \(AC = AN + NC\). بما أن \(ABC\) متقايس الضلعين في \(A\), \(AB = AC\). وبما أن \(AMN\) متقايس الضلعين في \(A\), \(AM = AN\). بطرح المعادلتين، نستنتج أن \(MB = NC\). بما أن \(BK = NC\) و \(MB = NC\), فإن \(MB = BK\). إذن المثلث \(MBK\) متقايس الضلعين في \(M\).

تناظر مركزي ومنصفات
تمرين 4

أرسم مثلثًا \(ABC\) متقايس الضلعين في \(A\) ثم ارسم الموازي لـ \((BC)\) والمار من \(A\), وليكن اسمه \((d)\).

  1. هذا المستقيم \((d)\) يقطع منصف الزاوية \(\angle ABC\) في \(E\). بيّن أن \(AB=AE\).
  2. ارسم النقطة \(F\) مناظرة \(E\) بالنسبة لـ \(A\) ثم برهن أن \((CF)\) منصف الزاوية \(\angle ACB\).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لسؤال 1: استخدم خاصية الزوايا المتبادلة داخليًا الناتجة عن توازي \((d)\) و \((BC)\). الهدف هو إثبات أن المثلث \(ABE\) متقايس الضلعين.

لسؤال 2: \(F\) مناظرة \(E\) بالنسبة لـ \(A\) تعني أن \(A\) هي منتصف \([EF]\). انظر إلى الرباعي \(EBCF\). ما هي طبيعته؟ وكيف يساعدك ذلك على البرهنة على أن \((CF)\) منصف؟

📝 الطريقة

1. إثبات أن AB=AE:

  • لدينا \((d) // (BC)\) والقاطع هو \((BE)\). إذن \(\angle AEB = \angle EBC\) (زاويتان متبادلتان داخليًا).
  • لدينا \([BE)\) منصف الزاوية \(\angle ABC\)، إذن \(\angle ABE = \angle EBC\).
  • من الخطوتين السابقتين، نستنتج أن \(\angle AEB = \angle ABE\).
  • إذن المثلث \(ABE\) متقايس الضلعين في \(A\)، وبالتالي \(AB=AE\).

2. البرهان على أن (CF) منصف:

  • لدينا \(A\) منتصف \([EF]\). ولدينا \(AB=AC\) و \(AB=AE\), إذن \(AE=AC\).
  • بما أن \(AE=AC\) و \(A\) منتصف \([EF]\), فإن \(AC = AF\). إذن المثلث \(ACF\) متقايس الضلعين في \(A\).
  • في المثلث \(ACF\), \(\angle ACF = \angle AFC\).
  • لدينا \((d) // (BC)\) والقاطع هو \((CF)\). إذن \(\angle AFC = \angle FCB\) (متبادلتان داخليًا).
  • إذن \(\angle ACF = \angle FCB\). هذا يعني أن \([CF)\) هو منصف الزاوية \(\angle ACB\).

✅ الحل الكامل

1) إثبات أن \(AB=AE\):
بما أن المستقيم \((d)\) المار من \(A\) يوازي \((BC)\), والمستقيم \((BE)\) قاطع لهما، فإن الزاويتين \(\angle AEB\) و \(\angle EBC\) متبادلتان داخليًا، إذن \(\angle AEB = \angle EBC\). وبما أن \([BE)\) هو منصف الزاوية \(\angle ABC\), فإن \(\angle ABE = \angle EBC\). من العلاقتين نستنتج أن \(\angle AEB = \angle ABE\). وبالتالي، المثلث \(ABE\) متقايس الضلعين في \(A\)، ومنه \(AB=AE\).

2) البرهان على أن \((CF)\) منصف \(\angle ACB\):
لدينا \(F\) مناظرة \(E\) بالنسبة لـ \(A\), إذن \(A\) هي منتصف القطعة \([EF]\). من السؤال الأول، \(AB=AE\). وبما أن المثلث \(ABC\) متقايس الضلعين في \(A\), فإن \(AB=AC\). إذن \(AE=AC\). بما أن \(A\) منتصف \([EF]\), فإن \(AE=AF\). ومنه \(AC=AF\). إذن المثلث \(ACF\) متقايس الضلعين في \(A\), وهذا يعني أن \(\angle ACF = \angle AFC\). بما أن \((d)\) (الذي يحمل النقطتين \(A, F\)) يوازي \((BC)\), والقاطع هو \((CF)\), فإن الزاويتين \(\angle AFC\) و \(\angle FCB\) متبادلتان داخليًا، أي \(\angle AFC = \angle FCB\). من آخر علاقتين، نستنتج أن \(\angle ACF = \angle FCB\). إذن \([CF)\) هو منصف الزاوية \(\angle ACB\).