الزوايا والمستقيمات المتوازية - الخاصيات المباشرة والعكسية
أنواع الزوايا
1. الزاوية الحادة هي زاوية قياسها أصغر من 90 درجة.
2. الزاوية القائمة هي زاوية قياسها يساوي 90 درجة.
3. الزاوية المنفرجة هي زاوية قياسها أكبر من 90 درجة وأصغر من 180 درجة.
4. الزاوية المستقيمة هي زاوية قياسها يساوي 180 درجة.
5. الزاوية المنعدمة هي زاوية قياسها يساوي 0 درجة.
6. الزاوية الكاملة هي زاوية قياسها يساوي 360 درجة.
7. إذا كان قياس الزاوية 45 درجة فهي زاوية حادة.
8. إذا كان قياس الزاوية 120 درجة فهي زاوية منفرجة.
9. إذا كان قياس الزاوية 90 درجة فهي زاوية قائمة.
10. إذا كانت الزاوية حادة فإن قياسها أصغر من 90 درجة.
11. إذا كانت الزاوية منفرجة فإن قياسها محصور بين 90 و 180 درجة.
12. الزاوية البارزة هي زاوية قياسها أصغر من 180 درجة.
13. الزاوية الداخلة هي زاوية قياسها أكبر من 180 درجة وأصغر من 360 درجة.
14. كل زاوية حادة هي زاوية بارزة.
15. كل زاوية قائمة هي زاوية بارزة.
16. كل زاوية منفرجة هي زاوية بارزة.
17. الزاوية الداخلة ليست زاوية بارزة.
18. إذا كان قياس الزاوية 270 درجة فهي زاوية داخلة.
19. إذا كان قياس الزاوية 30 درجة فهي زاوية حادة وبارزة.
20. إذا كان قياس الزاوية 150 درجة فهي زاوية منفرجة وبارزة.
الزوايا المتتامة والمتكاملة
21. زاويتان متتامتان إذا كان مجموع قياسيهما يساوي 90 درجة.
22. زاويتان متكاملتان إذا كان مجموع قياسيهما يساوي 180 درجة.
23. إذا كان قياس زاوية 30 درجة فإن متممتها تساوي 60 درجة.
24. إذا كان قياس زاوية 40 درجة فإن مكملتها تساوي 140 درجة.
25. الزاوية ومتممتها زاويتان متتامتان.
26. الزاوية ومكملتها زاويتان متكاملتان.
27. إذا كانت زاويتان متتامتان وقياس إحداهما 50 درجة فإن قياس الأخرى 40 درجة.
28. إذا كانت زاويتان متكاملتان وقياس إحداهما 110 درجة فإن قياس الأخرى 70 درجة.
29. متممة زاوية حادة هي زاوية حادة.
30. مكملة زاوية حادة هي زاوية منفرجة.
31. مكملة زاوية قائمة هي زاوية قائمة.
32. مكملة زاوية منفرجة هي زاوية حادة.
33. متممة زاوية قياسها 20 درجة تساوي 70 درجة.
34. مكملة زاوية قياسها 20 درجة تساوي 160 درجة.
35. إذا كان مجموع قياسي زاويتين يساوي 90 درجة فهما متتامتان.
36. إذا كان مجموع قياسي زاويتين يساوي 180 درجة فهما متكاملتان.
37. الزاويتان المتتامتان لزاوية واحدة متقايستان.
38. الزاويتان المتكاملتان لزاوية واحدة متقايستان.
39. إذا كانت زاويتان متقايستان ومتتامتان فإن قياس كل منهما 45 درجة.
40. إذا كانت زاويتان متقايستان ومتكاملتان فإن قياس كل منهما 90 درجة.
الزوايا المتجاورة والمتقابلة بالرأس
41. زاويتان متجاورتان إذا كان لهما نفس الرأس وضلع مشترك وتقعان على جانبين مختلفين من الضلع المشترك.
42. زاويتان متقابلتان بالرأس إذا كان لهما نفس الرأس وضلعاهما على نفس الاستقامتين.
43. الزاويتان المتقابلتان بالرأس متقايستان.
44. إذا كانت زاويتان متقابلتان بالرأس فإنهما متقايستان.
45. إذا كان قياس زاوية 50 درجة فإن قياس الزاوية المتقابلة معها بالرأس يساوي 50 درجة.
46. الزاويتان المتجاورتان المتكاملتان تشكلان زاوية مستقيمة.
47. إذا كانت زاويتان متجاورتان ومتكاملتان فإن ضلعاهما غير المشتركين على استقامة واحدة.
48. إذا تقاطع مستقيمان فإنهما يشكلان أربع زوايا.
49. عند تقاطع مستقيمين نحصل على زوجين من الزوايا المتقابلة بالرأس.
50. عند تقاطع مستقيمين نحصل على أربعة أزواج من الزوايا المتجاورة.
51. إذا كانت إحدى الزوايا المتكونة من تقاطع مستقيمين قائمة فإن جميع الزوايا الأخرى قائمة.
52. مستقيمان متعامدان يشكلان أربع زوايا قائمة.
53. إذا كانت زاويتان متجاورتان ومتقايستان ومجموعهما 180 درجة فكل منهما قائمة.
54. الزاويتان المتجاورتان المتكونتان من تقاطع مستقيمين متكاملتان.
55. مجموع الزوايا المحيطة بنقطة يساوي 360 درجة.
56. إذا كان قياس إحدى الزوايا المتقابلة بالرأس 75 درجة فإن قياس الأخرى 75 درجة.
57. إذا كان قياس زاوية من الزوايا المتكونة من تقاطع مستقيمين 130 درجة فإن قياس الزاوية المجاورة لها 50 درجة.
58. إذا كان قياس زاوية من الزوايا المتكونة من تقاطع مستقيمين 130 درجة فإن قياس الزاوية المقابلة لها بالرأس 130 درجة.
59. الزوايا الأربع المتكونة من تقاطع مستقيمين تتكون من زوجين من الزوايا المتقايسة.
60. كل زاويتين متجاورتين من الزوايا المتكونة من تقاطع مستقيمين متكاملتان.
منصف الزاوية - الخاصية الأساسية
61. منصف زاوية هو نصف المستقيم الذي يقسم الزاوية إلى زاويتين متقايستين.
62. كل نقطة تنتمي إلى منصف زاوية تكون على نفس البعد من ضلعي الزاوية.
63. إذا كانت نقطة تنتمي إلى منصف زاوية فإنها متساوية البعد عن ضلعي الزاوية.
64. إذا كانت نقطة متساوية البعد عن ضلعي زاوية فإنها تنتمي إلى منصف الزاوية.
65. منصف الزاوية هو مجموعة النقط المتساوية البعد عن ضلعي الزاوية.
66. الخاصية المباشرة للمنصف: إذا كانت M تنتمي إلى منصف الزاوية فإن بعدها عن الضلع الأول يساوي بعدها عن الضلع الثاني.
67. الخاصية العكسية للمنصف: إذا كانت M متساوية البعد عن ضلعي زاوية فإن M تنتمي إلى منصف الزاوية.
68. لحساب بعد نقطة عن مستقيم نرسم العمود على المستقيم من النقطة.
69. بعد نقطة عن مستقيم هو طول العمود النازل من النقطة على المستقيم.
70. إذا كانت M على منصف زاوية AOB وكان بعد M عن (OA) يساوي 5 سم فإن بعد M عن (OB) يساوي 5 سم.
71. إذا كانت نقطة P بحيث بعدها عن ضلعي زاوية متساويان فإن P تنتمي لمنصف الزاوية.
72. منصف الزاوية ينصف الزاوية إلى زاويتين متقايستين.
73. إذا كان [Ox منصف الزاوية AOB فإن قياس الزاوية xOA يساوي قياس الزاوية xOB.
74. إذا كانت الزاوية AOB تساوي 60 درجة ومنصفها [Ox فإن الزاوية xOA تساوي 30 درجة.
75. إذا كانت الزاوية AOB تساوي 80 درجة ومنصفها [Ox فإن الزاوية xOB تساوي 40 درجة.
76. كل زاوية لها منصف وحيد.
77. منصف الزاوية القائمة يقسمها إلى زاويتين قياس كل منهما 45 درجة.
78. منصف الزاوية المستقيمة يقسمها إلى زاويتين قائمتين.
79. إذا كان بعد نقطة M عن ضلع زاوية يساوي 4 سم وبعدها عن الضلع الآخر يساوي 4 سم فإن M على منصف الزاوية.
80. لإثبات أن نقطة تنتمي لمنصف زاوية نبرهن أنها متساوية البعد عن ضلعي الزاوية.
تطبيقات على خاصية المنصف
81. إذا كانت M على منصف زاوية وبعدها عن أحد الضلعين 7 سم فبعدها عن الضلع الآخر 7 سم.
82. إذا كانت نقطة تبعد 3 سم عن كل من ضلعي زاوية فهي تقع على منصف الزاوية.
83. مجموعة النقط التي تبعد نفس المسافة عن ضلعي زاوية هو منصف الزاوية.
84. إذا كان لدينا زاوية xOy ونقطة A على منصفها فإن البعدين من A إلى Ox وإلى Oy متساويان.
85. لإنشاء منصف زاوية هندسيا نبحث عن نقطة متساوية البعد عن ضلعي الزاوية.
86. النقاط الموجودة على منصف زاوية تشكل مجموعة لا نهائية.
87. إذا كانت B نقطة على منصف زاوية فالعمودان النازلان منها على ضلعي الزاوية متقايسان.
88. خاصية المنصف تستعمل لإثبات تساوي مسافتين.
89. خاصية المنصف العكسية تستعمل لإثبات انتماء نقطة لمنصف.
90. إذا كان لدينا منصف زاوية ونقطة عليه فالمسافتان من النقطة إلى ضلعي الزاوية متساويتان دائما.
91. في مثلث، منصفات الزوايا الثلاث تتقاطع في نقطة واحدة.
92. نقطة تقاطع منصفات زوايا مثلث متساوية البعد عن أضلاعه الثلاثة.
93. إذا كانت M على منصف الزاوية AOB ومسقطها العمودي على OA هو H والمسقط العمودي على OB هو K فإن MH = MK.
94. عكس الخاصية: إذا كان MH = MK حيث H على OA وK على OB وMH عمودي على OA وMK عمودي على OB فإن M على منصف الزاوية AOB.
95. البعد من نقطة إلى مستقيم يقاس بطول العمود فقط وليس بأي قطعة أخرى.
96. منصف زاوية قائمة يشكل زاويتين قياس كل منهما 45 درجة مع ضلعي الزاوية.
97. منصف زاوية حادة قياسها 50 درجة يشكل زاويتين قياس كل منهما 25 درجة.
98. منصف زاوية منفرجة قياسها 120 درجة يشكل زاويتين قياس كل منهما 60 درجة.
99. إذا كانت نقطة P تبعد 8 سم عن ضلع زاوية و8 سم عن الضلع الآخر فP على المنصف.
100. المنصف هو محل هندسي للنقط المتساوية البعد عن ضلعي زاوية.
المستقيمات المتوازية - التعريف
101. مستقيمان متوازيان إذا كانا لا يتقاطعان أبدا.
102. مستقيمان متوازيان إذا كانا في نفس المستوى ولا يوجد لهما نقطة مشتركة.
103. نرمز للتوازي بالرمز //.
104. إذا كان (d) // (d') فإن المستقيمين (d) و(d') متوازيان.
105. مستقيمان متطابقان هما متوازيان.
106. إذا قطع مستقيم ثالث مستقيمين متوازيين يسمى قاطعا.
107. القاطع هو مستقيم يقطع مستقيمين أو أكثر.
108. من نقطة خارج مستقيم يمكن رسم مستقيم واحد فقط موازي له.
109. إذا كان مستقيم يوازي مستقيمين فإن المستقيمين متوازيان أو متطابقان.
110. إذا كان (d) // (d') و(d) // (d'') فإن (d') // (d'') أو (d') و(d'') متطابقان.
111. التوازي علاقة متعدية.
112. إذا كان (d) // (d') فإن (d') // (d).
113. التوازي علاقة متماثلة.
114. المسافة بين مستقيمين متوازيين ثابتة.
115. البعد بين نقطة ومستقيم موازي لمستقيم آخر يمر من النقطة يساوي البعد بين المستقيمين المتوازيين.
116. إذا كان مستقيم عموديا على أحد مستقيمين متوازيين فإنه عمودي على الآخر.
117. إذا كان مستقيمان متوازيين لمستقيم ثالث فهما متوازيان.
118. إذا كان (d) // (Δ) و(d') // (Δ) فإن (d) // (d').
119. إذا كان (d) ⊥ (d') و(d) ⊥ (d'') فإن (d') // (d'').
120. مستقيمان عموديان على نفس المستقيم متوازيان.
الزوايا المتكونة من قاطع ومستقيمين
121. عندما يقطع قاطع مستقيمين يتكون 8 زوايا.
122. الزوايا المتبادلة داخليا هي زوايا تقع على جانبين مختلفين من القاطع وبين المستقيمين.
123. الزوايا المتبادلة خارجيا هي زوايا تقع على جانبين مختلفين من القاطع وخارج المستقيمين.
124. الزوايا المتناظرة هي زوايا تقع على نفس الجانب من القاطع وفي نفس الموضع بالنسبة للمستقيمين.
125. الزوايا الداخلية في نفس الجهة هي زوايا تقع على نفس جانب القاطع وبين المستقيمين.
126. عند قطع مستقيمين بقاطع نحصل على زوجين من الزوايا المتبادلة داخليا.
127. عند قطع مستقيمين بقاطع نحصل على زوجين من الزوايا المتبادلة خارجيا.
128. عند قطع مستقيمين بقاطع نحصل على أربعة أزواج من الزوايا المتناظرة.
129. عند قطع مستقيمين بقاطع نحصل على زوجين من الزوايا الداخلية في نفس الجهة.
130. الزوايا المتناظرة تكون واحدة فوق المستقيم الأول والأخرى فوق المستقيم الثاني على نفس جانب القاطع.
131. الزوايا المتبادلة داخليا تكون بين المستقيمين على جانبين مختلفين من القاطع.
132. الزوايا المتبادلة خارجيا تكون خارج المستقيمين على جانبين مختلفين من القاطع.
133. الزوايا الداخلية في نفس الجهة تكون بين المستقيمين على نفس جانب القاطع.
134. زوج من الزوايا المتناظرة يكون على شكل حرف F.
135. زوج من الزوايا المتبادلة داخليا يكون على شكل حرف Z.
136. يمكن التعرف على الزوايا المتناظرة بملاحظة أنهما في نفس الموضع على كلا المستقيمين.
137. يمكن التعرف على الزوايا المتبادلة داخليا بملاحظة أنهما داخل الشريط وعلى جانبين مختلفين.
138. إذا كانت زاوية من الزوايا الثمانية معلومة يمكن حساب الزوايا السبع الأخرى.
139. الزوايا المتقابلة بالرأس من الزوايا الثمانية متقايسة.
140. الزوايا المتجاورة من الزوايا الثمانية متكاملة.
الخاصيات المباشرة للمستقيمات المتوازية
141. إذا كان مستقيمان متوازيين قطعهما قاطع فإن الزاويتين المتناظرتين متقايستان.
142. إذا كان (d) // (d') وقطعهما قاطع (Δ) فإن كل زاويتين متناظرتين متقايستان.
143. إذا كان مستقيمان متوازيين قطعهما قاطع فإن الزاويتين المتبادلتين داخليا متقايستان.
144. إذا كان (d) // (d') وقطعهما قاطع (Δ) فإن كل زاويتين متبادلتين داخليا متقايستان.
145. إذا كان مستقيمان متوازيين قطعهما قاطع فإن الزاويتين الداخليتين في نفس الجهة متكاملتان.
146. إذا كان (d) // (d') وقطعهما قاطع (Δ) فإن كل زاويتين داخليتين في نفس الجهة متكاملتان.
147. الخاصية المباشرة للزوايا المتناظرة: (d) // (d') ⇒ الزوايا المتناظرة متقايسة.
148. الخاصية المباشرة للزوايا المتبادلة داخليا: (d) // (d') ⇒ الزوايا المتبادلة داخليا متقايسة.
149. الخاصية المباشرة للزوايا الداخلية: (d) // (d') ⇒ الزوايا الداخلية في نفس الجهة متكاملة.
150. إذا كان مستقيمان متوازيين وزاوية من الزوايا المتناظرة 70 درجة فالأخرى 70 درجة.
151. إذا كان مستقيمان متوازيين وزاوية من الزوايا المتبادلة داخليا 50 درجة فالأخرى 50 درجة.
152. إذا كان مستقيمان متوازيين وزاوية من الزوايا الداخلية في نفس الجهة 110 درجة فالأخرى 70 درجة.
153. التوازي يعطينا تقايس الزوايا المتناظرة.
154. التوازي يعطينا تقايس الزوايا المتبادلة داخليا.
155. التوازي يعطينا تكامل الزوايا الداخلية في نفس الجهة.
156. إذا قطع قاطع مستقيمين متوازيين فالزوايا المتناظرة لها نفس القياس.
157. إذا قطع قاطع مستقيمين متوازيين فالزوايا المتبادلة داخليا لها نفس القياس.
158. إذا قطع قاطع مستقيمين متوازيين فمجموع الزاويتين الداخليتين في نفس الجهة يساوي 180 درجة.
159. في حالة التوازي الزوايا المتبادلة خارجيا متقايسة أيضا.
160. إذا كان (AB) // (CD) وقاطع يقطعهما فالزوايا المتناظرة متقايسة.
الخاصيات العكسية للمستقيمات المتوازية
161. إذا قطع قاطع مستقيمين وكانت زاويتان متناظرتان متقايستين فإن المستقيمين متوازيان.
162. تقايس الزوايا المتناظرة ⇒ المستقيمان متوازيان.
163. إذا قطع قاطع مستقيمين وكانت زاويتان متبادلتان داخليا متقايستين فإن المستقيمين متوازيان.
164. تقايس الزوايا المتبادلة داخليا ⇒ المستقيمان متوازيان.
165. إذا قطع قاطع مستقيمين وكانت زاويتان داخليتان في نفس الجهة متكاملتين فإن المستقيمين متوازيان.
166. تكامل الزوايا الداخلية في نفس الجهة ⇒ المستقيمان متوازيان.
167. الخاصية العكسية للزوايا المتناظرة تستخدم لإثبات التوازي.
168. الخاصية العكسية للزوايا المتبادلة داخليا تستخدم لإثبات التوازي.
169. الخاصية العكسية للزوايا الداخلية تستخدم لإثبات التوازي.
170. لإثبات أن مستقيمين متوازيان يكفي إثبات تقايس زاويتين متناظرتين.
171. لإثبات أن مستقيمين متوازيان يكفي إثبات تقايس زاويتين متبادلتين داخليا.
172. لإثبات أن مستقيمين متوازيان يكفي إثبات تكامل زاويتين داخليتين في نفس الجهة.
173. إذا كانت زاويتان متناظرتان قياسهما 65 درجة فالمستقيمان متوازيان.
174. إذا كانت زاويتان متبادلتان داخليا قياسهما 80 درجة فالمستقيمان متوازيان.
175. إذا كانت زاويتان داخليتان في نفس الجهة قياسهما 100 درجة و80 درجة فالمستقيمان متوازيان.
176. الخاصية العكسية هي عكس الخاصية المباشرة.
177. في الخاصية المباشرة نفترض التوازي ونستنتج تقايس الزوايا.
178. في الخاصية العكسية نفترض تقايس الزوايا ونستنتج التوازي.
179. إذا كان لدينا قاطع وزاويتان متناظرتان متقايستان فهذا دليل على التوازي.
180. إذا كان لدينا قاطع وزاويتان متبادلتان داخليا متقايستان فهذا دليل على التوازي.
تطبيقات على المستقيمات المتوازية والقاطع
181. في شكل يحتوي على مستقيمين متوازيين يمكن حساب زوايا مجهولة باستخدام خاصيات التوازي.
182. إذا كان (d) // (d') وقياس زاوية 45 درجة فالزاوية المتناظرة معها 45 درجة.
183. إذا كان (d) // (d') وقياس زاوية 130 درجة فالزاوية المتبادلة معها داخليا 130 درجة.
184. إذا كان (d) // (d') وقياس زاوية 115 درجة فالزاوية الداخلية معها في نفس الجهة 65 درجة.
185. عند رسم مستقيمين متوازيين مقطوعين بقاطع نستطيع التحقق من التوازي بقياس الزوايا.
186. إذا كانت جميع الزوايا المتناظرة متقايسة فالمستقيمان متوازيان.
187. إذا كانت جميع الزوايا المتبادلة داخليا متقايسة فالمستقيمان متوازيان.
188. المستقيمات المتوازية لها تطبيقات عديدة في الهندسة.
189. في متوازي الأضلاع الأضلاع المتقابلة متوازية.
190. في شبه المنحرف ضلعان متقابلان متوازيان.
191. لإنشاء مستقيم موازي لمستقيم معطى نستخدم خاصيات الزوايا.
192. يمكن إنشاء مستقيم موازي بنقل زاوية متناظرة.
193. يمكن إنشاء مستقيم موازي بنقل زاوية متبادلة داخليا.
194. إذا رسمنا عمودين على نفس المستقيم فهما متوازيان.
195. المستقيمات الأفقية في الشبكة المربعة متوازية.
196. المستقيمات الرأسية في الشبكة المربعة متوازية.
197. في المثلث مجموع الزوايا 180 درجة ويمكن إثبات ذلك باستخدام خاصية المتوازيين.
198. الزاوية الخارجية لمثلث تساوي مجموع الزاويتين الداخليتين غير المجاورتين لها.
199. يمكن إثبات خاصيات المثلث باستخدام مستقيم موازي لأحد أضلاعه.
200. في المثلث المتساوي الساقين الزاويتان عند القاعدة متقايستان.
حالات خاصة من الزوايا والمستقيمات
201. إذا قطع قاطع مستقيمين وكانت إحدى الزوايا قائمة فجميع الزوايا إما قائمة أو قائمة.
202. إذا كان قاطع عموديا على أحد مستقيمين متوازيين فهو عمودي على الآخر.
203. المستقيمان العموديان على مستقيم ثالث متوازيان.
204. إذا كان (d) ⊥ (Δ) و(d') ⊥ (Δ) فإن (d) // (d').
205. المسافة بين نقطة ومستقيم موازي آخر ثابتة على طول المستقيمين.
206. ارتفاعات المثلث تستخدم فيها العمودية والتوازي.
207. متوسطات المثلث لها علاقة بالتوازي في بعض الحالات الخاصة.
208. في المستطيل الأضلاع المتقابلة متوازية والزوايا كلها قائمة.
209. في المعين الأضلاع المتقابلة متوازية والأقطار متعامدة.
210. في المربع الأضلاع متوازية اثنين اثنين والزوايا قائمة.
211. شبه المنحرف له ضلعان متقابلان متوازيان فقط.
212. شبه المنحرف القائم له ضلعان متوازيان وزاويتان قائمتان.
213. شبه المنحرف المتساوي الساقين له ضلعان متوازيان والساقان متقايستان.
214. متوازي الأضلاع له ضلعان متقابلان متقايسان ومتوازيان.
215. قطرا متوازي الأضلاع ينصف كل منهما الآخر.
216. في متوازي الأضلاع الزوايا المتقابلة متقايسة.
217. في متوازي الأضلاع الزوايا المتتالية متكاملة.
218. إذا كان ضلعا شكل رباعي متقابلان متقايسان ومتوازيان فالشكل متوازي أضلاع.
219. إذا كان قطرا شكل رباعي ينصف كل منهما الآخر فالشكل متوازي أضلاع.
220. المستقيمات الموازية لها دور مهم في دراسة الأشكال الرباعية.
مسائل على الزوايا
221. إذا كانت زاوية قياسها x وزاوية أخرى قياسها 2x ومتكاملتان فإن x = 60.
222. إذا كانت زاوية قياسها x وزاوية أخرى قياسها 3x ومتتامتان فإن x = 22.5.
223. مجموع زوايا المثلث يساوي 180 درجة.
224. مجموع زوايا الشكل الرباعي يساوي 360 درجة.
225. مجموع زوايا الخماسي يساوي 540 درجة.
226. مجموع زوايا مضلع له n ضلع يساوي (n-2) × 180 درجة.
227. كل زاوية في مثلث متساوي الأضلاع تساوي 60 درجة.
228. في مثلث قائم الزاويتان الحادتان متتامتان.
229. إذا كان مثلث قائم في A وكانت الزاوية B تساوي 35 درجة فالزاوية C تساوي 55 درجة.
230. في مثلث متساوي الساقين الزاويتان عند القاعدة متقايستان.
231. إذا كان مثلث ABC متساوي الساقين في A وكانت الزاوية A تساوي 40 درجة فكل من B وC تساوي 70 درجة.
232. إذا كان مثلث ABC متساوي الساقين في A وكانت الزاوية B تساوي 50 درجة فالزاوية C تساوي 50 درجة والزاوية A تساوي 80 درجة.
233. الزاوية الخارجية لمثلث أكبر من أي زاوية داخلية غير مجاورة لها.
234. مجموع الزوايا الخارجية لمضلع يساوي 360 درجة.
235. في مثلث منفرج الزاوية توجد زاوية واحدة منفرجة وزاويتان حادتان.
236. في مثلث حاد الزوايا جميع الزوايا حادة.
237. في مثلث قائم توجد زاوية قائمة واحدة وزاويتان حادتان.
238. لا يمكن لمثلث أن يحتوي على زاويتين قائمتين.
239. لا يمكن لمثلث أن يحتوي على زاويتين منفرجتين.
240. يمكن لمثلث أن يحتوي على ثلاث زوايا حادة.
تمارين على خاصيات المنصف
241. إذا كانت M نقطة على منصف زاوية xOy وكان بعد M عن Ox يساوي d فبعد M عن Oy يساوي d.
242. لإثبات أن نقطة M تنتمي لمنصف زاوية نبرهن أن بعديها عن ضلعي الزاوية متساويان.
243. إذا كانت M نقطة تبعد 5 سم عن Ox و5 سم عن Oy فإن M على منصف الزاوية xOy.
244. في مثلث ABC منصفات الزوايا الثلاث تتقاطع في نقطة I.
245. النقطة I مركز الدائرة المحاطة بالمثلث ABC.
246. النقطة I متساوية البعد عن أضلاع المثلث الثلاثة.
247. نصف قطر الدائرة المحاطة بمثلث هو بعد مركزها عن أي ضلع.
248. إذا كانت D على منصف زاوية وبعدها 8 سم عن أحد الضلعين فبعدها 8 سم عن الضلع الآخر.
249. منصف الزاوية BAC يقسم الزاوية إلى زاويتين BAD وDAC متقايستين.
250. إذا كان [AD منصف الزاوية BAC وكانت BAC = 80° فإن BAD = 40°.
251. إذا كان [AD منصف الزاوية BAC وكانت BAC = 80° فإن DAC = 40°.
252. في مثلث متساوي الأضلاع منصف كل زاوية هو أيضا ارتفاع ومتوسط.
253. في مثلث متساوي الساقين منصف زاوية الرأس هو أيضا ارتفاع ومتوسط.
254. المنصف يستخدم في إنشاءات هندسية عديدة.
255. لإنشاء منصف زاوية بالمدور نرسم قوسين متقايسين من رأس الزاوية.
256. النقطة التي تبعد نفس المسافة عن ضلعي زاوية تقع على منصف الزاوية.
257. جميع النقط على منصف زاوية متساوية البعد عن ضلعي الزاوية.
258. البعد يقاس بالعمودي فقط وليس بأي قطعة أخرى.
259. إذا كان MH عمودي على OA وMK عمودي على OB وكان MH = MK فإن M على منصف الزاوية AOB.
260. منصف زاوية 100 درجة يقسمها إلى زاويتين كل منهما 50 درجة.
تمارين على التوازي والقاطع
261. إذا كان (AB) // (CD) وقطعهما قاطع (EF) وكانت إحدى الزوايا 65° فالزاوية المتناظرة معها 65°.
262. إذا كان (AB) // (CD) وقطعهما قاطع وكانت إحدى الزوايا 110° فالزاوية المتبادلة معها داخليا 110°.
263. إذا كان (AB) // (CD) وقطعهما قاطع وكانت إحدى الزوايا 125° فالزاوية الداخلية معها في نفس الجهة 55°.
264. لإثبات أن (AB) // (CD) نثبت أن زاويتين متناظرتين متقايستان.
265. لإثبات أن (AB) // (CD) نثبت أن زاويتين متبادلتين داخليا متقايستان.
266. لإثبات أن (AB) // (CD) نثبت أن زاويتين داخليتين في نفس الجهة متكاملتان.
267. إذا كانت زاويتان متناظرتان تقيسان 73° و73° فالمستقيمان متوازيان.
268. إذا كانت زاويتان متبادلتان داخليا تقيسان 88° و88° فالمستقيمان متوازيان.
269. إذا كانت زاويتان داخليتان في نفس الجهة تقيسان 105° و75° فالمستقيمان متوازيان.
270. في شكل به مستقيمان متوازيان يمكن حساب جميع الزوايا إذا عرفنا زاوية واحدة.
271. إذا كان (d) // (d') وكانت إحدى الزوايا x فالزاوية المتناظرة معها x.
272. إذا كان (d) // (d') وكانت إحدى الزوايا x فالزاوية المتبادلة معها داخليا x.
273. إذا كان (d) // (d') وكانت إحدى الزوايا x فالزاوية الداخلية معها في نفس الجهة (180-x).
274. خاصيات التوازي تساعد في حل مسائل هندسية معقدة.
275. في متوازي أضلاع ABCD نستخدم خاصيات التوازي لإيجاد الزوايا.
276. إذا كان (AB) // (DC) في رباعي ABCD فهو على الأقل شبه منحرف.
277. إذا كان (AB) // (DC) و(AD) // (BC) في رباعي ABCD فهو متوازي أضلاع.
278. في شبه منحرف ABCD حيث (AB) // (CD) الزاويتان A وD داخليتان في نفس الجهة.
279. في شبه منحرف ABCD حيث (AB) // (CD) مجموع الزاويتين A وD يساوي 180°.
280. في شبه منحرف ABCD حيث (AB) // (CD) مجموع الزاويتين B وC يساوي 180°.
مسائل تطبيقية مركبة
281. في شكل به مثلث ABC و(DE) // (BC) يمكن استخدام خاصيات التوازي.
282. إذا كان (DE) // (BC) في مثلث ABC فالزاويتان ADE وABC متقايستان لأنهما متناظرتان.
283. إذا كان (DE) // (BC) في مثلث ABC فالزاويتان AED وACB متقايستان لأنهما متناظرتان.
284. الزوايا في الأشكال الهندسية المركبة تحسب باستخدام عدة خاصيات معا.
285. يمكن دمج خاصية المنصف مع خاصيات التوازي في نفس المسألة.
286. يمكن دمج الزوايا المتتامة أو المتكاملة مع خاصيات التوازي.
287. في مسألة قد نحتاج لاستخدام الزوايا المتقابلة بالرأس والتوازي معا.
288. البرهان الهندسي يتطلب استخدام الخاصيات المناسبة في الترتيب الصحيح.
289. لحل مسألة هندسية نبدأ بتحديد المعطيات ثم نستخدم الخاصيات المناسبة.
290. رسم شكل تخطيطي واضح يساعد في حل المسائل الهندسية.
291. وضع علامات على الزوايا المتقايسة يسهل قراءة الشكل.
292. استخدام رموز للزوايا المجهولة مثل x, y, z يسهل الحسابات.
293. في بعض المسائل نحتاج لكتابة معادلة لإيجاد قياس زاوية مجهولة.
294. إذا كانت زاويتان متتاليتان في متوازي أضلاع فهما متكاملتان.
295. إذا كانت زاويتان متقابلتان في متوازي أضلاع فهما متقايستان.
296. في متوازي أضلاع مجموع أي زاويتين متتاليتين يساوي 180°.
297. في مستطيل جميع الزوايا قائمة أي كل منها 90°.
298. في معين الزوايا المتقابلة متقايسة ولكنها ليست بالضرورة قائمة.
299. في مربع جميع الزوايا قائمة وكل منها 90°.
300. المربع هو حالة خاصة من المستطيل والمعين ومتوازي الأضلاع.
خاصيات إضافية للزوايا
301. الزاوية المركزية هي زاوية رأسها مركز الدائرة.
302. الزاوية المحيطية هي زاوية رأسها على محيط الدائرة.
303. زاويتان محيطيتان تحيطان بنفس القوس متقايستان.
304. الزاوية المحيطية تساوي نصف الزاوية المركزية المحيطة بنفس القوس.
305. زاوية محيطية تحيط بقطر دائرة هي زاوية قائمة.
306. في دائرة كل زاوية محيطية تحيط بنصف الدائرة تساوي 90°.
307. إذا كانت AB قطر دائرة وM نقطة على الدائرة فالزاوية AMB قائمة.
308. الزاوية المحيطة بقوس نصف دائرة قائمة.
309. مجموع زاويتين متقابلتين في رباعي دائري يساوي 180°.
310. الرباعي الدائري هو رباعي رؤوسه الأربعة على دائرة واحدة.
311. إذا كان مجموع زاويتين متقابلتين في رباعي يساوي 180° فالرباعي دائري.
312. في رباعي دائري ABCD مجموع الزاويتين A وC يساوي 180°.
313. في رباعي دائري ABCD مجموع الزاويتين B وD يساوي 180°.
314. الظل المشترك من نقطة خارج دائرة يشكل زاويتين متقايستين مع المركز.
315. طول الظلين المشتركين من نقطة خارج دائرة متساويان.
316. الزاوية بين ظل ووتر في دائرة تساوي الزاوية المحيطية المحيطة بنفس القوس.
317. الوتران المتقايسان في دائرة يحيطان بزاويتين مركزيتين متقايستين.
318. الوتران المتقايسان في دائرة على نفس البعد من المركز.
319. إذا كان وتران على نفس البعد من مركز دائرة فهما متقايسان.
320. العمود على وتر من مركز الدائرة ينصف الوتر.
تمارين على زوايا المثلثات
321. في مثلث ABC إذا كانت A = 50° وB = 60° فإن C = 70°.
322. في مثلث ABC إذا كانت A = 90° وB = 35° فإن C = 55°.
323. في مثلث متساوي الأضلاع كل زاوية تساوي 60°.
324. في مثلث متساوي الساقين ABC في A إذا كانت A = 40° فإن B = C = 70°.
325. في مثلث متساوي الساقين ABC في A إذا كانت B = 65° فإن C = 65° وA = 50°.
326. مجموع زوايا أي مثلث يساوي دائما 180°.
327. لا يوجد مثلث فيه زاويتان قائمتان.
328. لا يوجد مثلث فيه زاويتان منفرجتان.
329. المثلث الحاد الزوايا جميع زواياه أصغر من 90°.
330. المثلث المنفرج الزاوية فيه زاوية واحدة أكبر من 90°.
331. المثلث القائم فيه زاوية واحدة تساوي 90°.
332. في مثلث قائم الزاويتان الحادتان متتامتان.
333. إذا كان مثلث قائم في A فإن B + C = 90°.
334. الزاوية الخارجية لمثلث تساوي مجموع الزاويتين الداخليتين غير المجاورتين.
335. إذا كانت الزاوية الخارجية عند A تساوي 120° فإن B + C = 120°.
336. في مثلث ABC الزاوية الخارجية عند A تساوي B + C.
337. مجموع الزوايا الخارجية لمثلث يساوي 360°.
338. الزاوية الخارجية أكبر من كل زاوية داخلية غير مجاورة لها.
339. في مثلث قائم مجموع الزاويتين الحادتين يساوي 90°.
340. في مثلث قائم الزاوية القائمة هي أكبر زاوية في المثلث.
تمارين على زوايا الأشكال الرباعية
341. مجموع زوايا أي شكل رباعي يساوي 360°.
342. في رباعي ABCD إذا كانت A = 80°، B = 110°، C = 70° فإن D = 100°.
343. في متوازي أضلاع الزوايا المتقابلة متقايسة.
344. في متوازي أضلاع الزوايا المتتالية متكاملة.
345. في متوازي أضلاع ABCD إذا كانت A = 70° فإن C = 70°.
346. في متوازي أضلاع ABCD إذا كانت A = 70° فإن B = 110°.
347. في متوازي أضلاع ABCD إذا كانت A = 70° فإن D = 110°.
348. في مستطيل جميع الزوايا قائمة.
349. في مستطيل كل زاوية تساوي 90°.
350. في معين الزوايا المتقابلة متقايسة.
351. في معين مجموع كل زاويتين متتاليتين يساوي 180°.
352. في مربع كل زاوية تساوي 90°.
353. في شبه منحرف ABCD حيث (AB) // (CD) مجموع A وD يساوي 180°.
354. في شبه منحرف ABCD حيث (AB) // (CD) مجموع B وC يساوي 180°.
355. في شبه منحرف متساوي الساقين الزاويتان على كل قاعدة متقايستان.
356. في شبه منحرف قائم يوجد زاويتان قائمتان.
357. في شبه منحرف قائم ABCD حيث A وD قائمتان نستطيع حساب B وC.
358. إذا كان رباعي فيه ثلاث زوايا قائمة فالزاوية الرابعة قائمة والشكل مستطيل.
359. مجموع زوايا خماسي منتظم يساوي 540° فكل زاوية تساوي 108°.
360. مجموع زوايا سداسي منتظم يساوي 720° فكل زاوية تساوي 120°.
تطبيقات متنوعة على الزوايا
361. زاويتان متجاورتان على خط مستقيم متكاملتان.
362. إذا وقعت نقطة O على مستقيم AB فإن الزاويتين AOC وBOC متكاملتان لأي نقطة C.
363. إذا كانت AOC = 130° وC خارج المستقيم AB فإن BOC = 50°.
364. الزوايا حول نقطة مجموعها 360°.
365. إذا كانت لدينا ستة أشعة من نقطة O تشكل زوايا متقايسة فكل زاوية تساوي 60°.
366. إذا كانت لدينا أربعة أشعة من نقطة O تشكل زوايا متقايسة فكل زاوية تساوي 90°.
367. إذا كانت لدينا ثمانية أشعة من نقطة O تشكل زوايا متقايسة فكل زاوية تساوي 45°.
368. في ساعة الزاوية بين كل رقمين متتاليين تساوي 30°.
369. في الساعة 3:00 الزاوية بين عقرب الساعات والدقائق تساوي 90°.
370. في الساعة 6:00 الزاوية بين عقرب الساعات والدقائق تساوي 180°.
371. الدوران الكامل حول نقطة يساوي 360°.
372. نصف دورة تساوي 180°.
373. ربع دورة تساوي 90°.
374. ثلاثة أرباع الدورة تساوي 270°.
375. ثلث الدورة يساوي 120°.
376. سدس الدورة يساوي 60°.
377. ثمن الدورة يساوي 45°.
378. إذا دار شعاع 45° في اتجاه عقارب الساعة من موضع أفقي يشكل زاوية 45° مع الأفقي.
379. إذا دار شعاع 90° من موضع أفقي يصبح رأسيا.
380. الزوايا تقاس بالدرجات والدرجة الواحدة تحتوي على 60 دقيقة.
مراجعة شاملة على المنصف
381. منصف الزاوية هو محل النقط المتساوية البعد عن ضلعي الزاوية.
382. كل نقطة على منصف زاوية تبعد نفس المسافة عن ضلعي الزاوية.
383. إذا كانت نقطة متساوية البعد عن ضلعي زاوية فهي على منصف الزاوية.
384. خاصية المنصف المباشرة: M ∈ منصف ⇒ d(M,d₁) = d(M,d₂).
385. خاصية المنصف العكسية: d(M,d₁) = d(M,d₂) ⇒ M ∈ منصف.
386. البعد من نقطة إلى مستقيم هو طول العمود على المستقيم.
387. لحساب بعد M عن مستقيم d نرسم العمود MH على d ونحسب طول MH.
388. إذا كانت M على منصف الزاوية xOy وH على Ox وK على Oy حيث MH ⊥ Ox وMK ⊥ Oy فإن MH = MK.
389. إذا كان MH = MK حيث MH ⊥ Ox وMK ⊥ Oy فإن M على منصف الزاوية xOy.
390. منصف زاوية يقسمها إلى زاويتين متقايستين.
391. إذا كان Oz منصف الزاوية xOy فإن زاوية xOz = زاوية zOy.
392. منصفات الزوايا الثلاث لمثلث تتقاطع في نقطة واحدة.
393. نقطة تقاطع منصفات زوايا المثلث هي مركز الدائرة المحاطة به.
394. مركز الدائرة المحاطة بمثلث متساو البعد عن أضلاعه الثلاثة.
395. إذا كانت I مركز الدائرة المحاطة بمثلث ABC فإن بعد I عن AB يساوي بعد I عن BC يساوي بعد I عن AC.
396. نصف قطر الدائرة المحاطة بمثلث هو البعد من مركزها إلى أي ضلع.
397. في مثلث متساوي الأضلاع منصف زاوية هو أيضا ارتفاع ومتوسط وواسط.
398. في مثلث متساوي الساقين منصف زاوية الرأس هو ارتفاع ومتوسط وواسط.
399. المنصف يستخدم في البرهان لإثبات تساوي مسافتين.
400. المنصف يستخدم في البناءات الهندسية لإيجاد نقط خاصة.
مراجعة شاملة على التوازي
401. مستقيمان متوازيان لا يتقاطعان أبدا.
402. من نقطة خارج مستقيم يمر مستقيم موازي وحيد.
403. إذا كان مستقيم يوازي مستقيمين فهما متوازيان أو متطابقان.
404. مستقيمان عموديان على مستقيم ثالث متوازيان.
405. إذا كان مستقيم عموديا على أحد مستقيمين متوازيين فهو عمودي على الآخر.
406. عند قطع مستقيمين بقاطع نحصل على 8 زوايا.
407. الزوايا المتناظرة تقع في نفس الموضع بالنسبة للمستقيمين والقاطع.
408. الزوايا المتبادلة داخليا تقع بين المستقيمين على جانبين مختلفين من القاطع.
409. الزوايا الداخلية في نفس الجهة تقع بين المستقيمين على نفس جانب القاطع.
410. خاصية مباشرة: مستقيمان متوازيان ⇒ الزوايا المتناظرة متقايسة.
411. خاصية مباشرة: مستقيمان متوازيان ⇒ الزوايا المتبادلة داخليا متقايسة.
412. خاصية مباشرة: مستقيمان متوازيان ⇒ الزوايا الداخلية في نفس الجهة متكاملة.
413. خاصية عكسية: الزوايا المتناظرة متقايسة ⇒ المستقيمان متوازيان.
414. خاصية عكسية: الزوايا المتبادلة داخليا متقايسة ⇒ المستقيمان متوازيان.
415. خاصية عكسية: الزوايا الداخلية في نفس الجهة متكاملة ⇒ المستقيمان متوازيان.
416. لإثبات التوازي نستخدم الخاصيات العكسية.
417. لحساب زوايا مع وجود توازي نستخدم الخاصيات المباشرة.
418. التوازي علاقة متعدية ومتماثلة.
419. المسافة بين مستقيمين متوازيين ثابتة.
420. في متوازي أضلاع الأضلاع المتقابلة متوازية.
تمارين تركيبية متقدمة
421. في شكل مركب نحدد المعطيات أولا ثم نطبق الخاصيات بالترتيب.
422. عند حل مسألة نكتب الخاصية المستخدمة بوضوح.
423. البرهان الهندسي يتطلب منطقا واضحا ومتسلسلا.
424. نستخدم الرموز الرياضية لتسهيل الكتابة: //, ⊥, =, ∈.
425. الشكل التخطيطي الواضح يسهل فهم المسألة.
426. نضع علامات على الزوايا المتقايسة والأطوال المتساوية.
427. في مسألة معقدة نقسمها لخطوات صغيرة.
428. نتحقق من صحة النتيجة بالتأكد من انسجامها مع المعطيات.
429. يمكن أن توجد عدة طرق لحل نفس المسألة.
430. الطريقة الأقصر ليست دائما الأوضح.
431. في الامتحان نكتب الخطوات بالتفصيل.
432. نستخدم المسطرة والمنقلة للتحقق من الدقة في الرسم.
433. المدور يستخدم لرسم الأقواس والدوائر.
434. الزاوية القائمة ترسم بمسطرة مدرجة أو مثلث قائم.
435. المنقلة تستخدم لقياس ورسم الزوايا بدقة.
436. عند رسم منصف نستخدم المدور أو طريقة النقاط المتساوية البعد.
437. عند رسم مستقيم موازي نستخدم خاصية الزوايا أو المسطرتين.
438. الدقة في الرسم مهمة للحصول على نتائج صحيحة.
439. نحافظ على نظافة الشكل وعدم وجود خطوط زائدة.
440. نكتب الرموز والحروف بخط واضح على الشكل.
نصائح وملاحظات مهمة
441. الممارسة المنتظمة تحسن فهم الزوايا والتوازي.
442. حل تمارين متنوعة يعزز القدرة على التطبيق.
443. فهم الخاصيات أهم من حفظها.
444. كل خاصية لها خاصية عكسية يجب التفريق بينهما.
445. الخاصية المباشرة تذهب من الفرضية للنتيجة.
446. الخاصية العكسية تذهب من النتيجة للفرضية.
447. عدم الخلط بين الزوايا المتناظرة والمتبادلة مهم جدا.