🔺 زوايا المثلث والرباعي

القوانين الأساسية والتطبيقات العملية

🔺

مجموع زوايا المثلث

المبرهنة الأساسية

مجموع أقيسة زوايا أي مثلث يساوي 180°

∠A + ∠B + ∠C = 180°

🎨 تمثيل بياني للمثلث

                    A
                   /|\
                  / | \
                 /  |  \
              α /   |   \ β
               /    |    \
              /     |     \
             /______|______\
            B       H       C
                    γ

        حيث:
        α = الزاوية عند A
        β = الزاوية عند C  
        γ = الزاوية عند B
        
        المجموع: α + β + γ = 180°

البرهان الهندسي

الطريقة الأولى: باستخدام المستقيمات المتوازية

نرسم المثلث ABC
نرسم مستقيماً يمر بـ A وموازياً لـ BC ويكون DE
بما أن DE // BC، فإن الزوايا المتبادلة داخلياً متقايسة
∠DAB = ∠B (زوايا متبادلة داخلياً)
∠EAC = ∠C (زوايا متبادلة داخلياً)
∠DAB + ∠BAC + ∠EAC = 180° (زوايا على استقامة واحدة)
إذن: ∠B + ∠A + ∠C = 180°

مثال تطبيقي محلول

المعطى: في مثلث ABC، الزاوية A = 60° والزاوية B = 70°

المطلوب: أوجد قياس الزاوية C

الحل:

نطبق قانون مجموع زوايا المثلث: A + B + C = 180°
نعوض القيم المعطاة: 60° + 70° + C = 180°
130° + C = 180°
C = 180° - 130° = 50°

🧮 حاسبة زوايا المثلث

أدخل قيمتين من زوايا المثلث لحساب الثالثة:

الزاوية الأولى: الزاوية الثانية:

أنواع المثلثات حسب الزوايا

🔺 المثلث الحاد: جميع زواياه أقل من 90°
📐 المثلث القائم: إحدى زواياه تساوي 90° بالضبط
📏 المثلث المنفرج: إحدى زواياه أكبر من 90°
⚖️ المثلث متساوي الزوايا: جميع زواياه تساوي 60°

🔷

مجموع زوايا الرباعي

المبرهنة الأساسية للرباعي

مجموع أقيسة زوايا أي رباعي محدب يساوي 360°

∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°

🎨 تمثيل بياني للرباعي

            A ————————————— B
            |\             /|
            | \           / |
            |  \    α    /  |
          β |   \       /   | γ  
            |    \     /    |
            |     \   /     |
            |      \ /      |
            D ——————\——————— C
                     δ

        حيث:
        α = الزاوية عند A
        β = الزاوية عند D
        γ = الزاوية عند B  
        δ = الزاوية عند C
        
        المجموع: α + β + γ + δ = 360°

البرهان

الطريقة: تقسيم الرباعي إلى مثلثين

نرسم قطراً واحداً في الرباعي ABCD ليكن AC
يقسم القطر الرباعي إلى مثلثين: ABC و ACD
مجموع زوايا المثلث ABC = 180°
مجموع زوايا المثلث ACD = 180°
مجموع زوايا الرباعي = 180° + 180° = 360°

قانون عام للمضلعات

مجموع زوايا مضلع له n ضلعاً = (n - 2) × 180°

للمثلث (n = 3): (3 - 2) × 180° = 180°
للرباعي (n = 4): (4 - 2) × 180° = 360°
للخماسي (n = 5): (5 - 2) × 180° = 540°

مثال تطبيقي

المعطى: في رباعي ABCD، الزوايا A = 80°، B = 110°، C = 85°

المطلوب: أوجد قياس الزاوية D

الحل:

نطبق قانون مجموع زوايا الرباعي: A + B + C + D = 360°
نعوض القيم: 80° + 110° + 85° + D = 360°
275° + D = 360°
D = 360° - 275° = 85°

🧮 حاسبة زوايا الرباعي

أدخل ثلاث زوايا من الرباعي لحساب الرابعة:

🔄

الزاوية الخارجية للمثلث

مبرهنة الزاوية الخارجية

الزاوية الخارجية للمثلث تساوي مجموع الزاويتين الداخليتين غير المجاورتين لها

🎨 الزاوية الخارجية

                    A
                   /|\
                  / | \
                 /  |  \
              α /   |   \ β
               /    |    \
              /     |     \
             /______|______\________________
            B       H       C              E
                    γ        δ (زاوية خارجية)

        مبرهنة الزاوية الخارجية:
        δ = α + β
        
        أو بمعنى آخر:
        الزاوية الخارجية = مجموع الزاويتين الداخليتين البعيدتين

العلاقات الأساسية

الزاوية الخارجية + الزاوية الداخلية المجاورة = 180°

الزاوية الخارجية = مجموع الزاويتين الداخليتين البعيدتين

∠خارجية = ∠A + ∠B

برهان مبرهنة الزاوية الخارجية

في المثلث ABC، نمد الضلع BC إلى النقطة D
الزاوية ∠ACD هي زاوية خارجية
∠ACB + ∠ACD = 180° (زاويتان على استقامة واحدة)
في المثلث ABC: ∠A + ∠B + ∠ACB = 180°
من المعادلة (3): ∠ACB = 180° - ∠ACD
نعوض في المعادلة (4): ∠A + ∠B + (180° - ∠ACD) = 180°
∠A + ∠B + 180° - ∠ACD = 180°
∠A + ∠B = ∠ACD

أمثلة تطبيقية

مثال 1:

في مثلث ABC، الزاوية A = 50° والزاوية B = 60°. أوجد الزاوية الخارجية عند C.

الحل: الزاوية الخارجية = A + B = 50° + 60° = 110°

مثال 2:

إذا كانت الزاوية الخارجية عند C تساوي 120° والزاوية A = 70°، أوجد الزاوية B.

الحل: 120° = 70° + B، إذن B = 120° - 70° = 50°

تطبيقات مهمة

🔍 في الملاحة: تحديد الاتجاهات باستخدام الزوايا الخارجية
🏗️ في البناء: حساب زوايا الميلان والانحدار
🎯 في الرياضة: تحديد زوايا التصويب في الألعاب
📐 في الهندسة: تصميم الأشكال والمجسمات

🔶

أنواع الرباعيات

تصنيف الرباعيات

تُصنف الرباعيات حسب خصائص أضلاعها وزواياها إلى أنواع مختلفة

🔷 متوازي الأضلاع (Parallelogram)

تعريف: رباعي فيه كل ضلعين متقابلين متوازيان
خصائص الزوايا: كل زاويتين متقابلتين متساويتان
خصائص الأضلاع: كل ضلعين متقابلين متساويان
الأقطار: ينصف كل منهما الآخر

∠A = ∠C و ∠B = ∠D
AB = CD و AD = BC

🔶 المعين (Rhombus)

تعريف: متوازي أضلاع جميع أضلاعه متساوية
خصائص خاصة: الأقطار متعامدة وتنصف زوايا الرأس
الزوايا: الزوايا المتقابلة متساوية
المحاور: له محورا تماثل (الأقطار)

AB = BC = CD = DA
الأقطار ⊥ بعضهما البعض

⬜ المستطيل (Rectangle)

تعريف: متوازي أضلاع جميع زواياه قائمة
الزوايا: كل زاوية = 90°
الأقطار: متساوية في الطول وينصف كل منهما الآخر
المحاور: له محورا تماثل

∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°
AC = BD (الأقطار متساوية)

⬛ المربع (Square)

تعريف: مستطيل جميع أضلاعه متساوية (أو معين جميع زواياه قائمة)
الجمع: يجمع خصائص المستطيل والمعين
المحاور: له 4 محاور تماثل
الأقطار: متساوية ومتعامدة وتنصف زوايا الرأس

AB = BC = CD = DA
∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°
AC = BD و AC ⊥ BD

🔺 شبه المنحرف (Trapezoid)

تعريف: رباعي فيه ضلعان متقابلان متوازيان فقط
القاعدتان: الضلعان المتوازيان يسميان القاعدتين
الساقان: الضلعان غير المتوازيين يسميان الساقين
خاصية الزوايا: مجموع زاويتين على نفس الساق = 180°

AB // CD (القاعدتان)
∠A + ∠D = 180° و ∠B + ∠C = 180°

🎨 مخطط تصنيف الرباعيات

                            رباعي عام
                               |
                      ┌────────┴────────┐
                شبه المنحرف        متوازي الأضلاع
                      |                |
                 شبه منحرف        ┌─────┴─────┐
                 متقايس الضلعين    |           |
                              المعين     المستطيل
                                  \     /
                                   \   /
                                  المربع

        خصائص متدرجة:
        • رباعي عام: مجموع الزوايا = 360°
        • شبه منحرف: ضلعان متوازيان
        • متوازي أضلاع: كل ضلعين متقابلين متوازيان
        • مستطيل: زوايا قائمة
        • معين: أضلاع متساوية  
        • مربع: زوايا قائمة + أضلاع متساوية

مثال تطبيقي شامل

تحديد نوع الرباعي من خصائصه:

رباعي ABCD حيث:
- AB // CD و AD // BC
- جميع الزوايا قائمة
- AB = CD = 5 سم
- AD = BC = 8 سم
التحليل:
- لديه ضلعان متقابلان متوازيان ← متوازي أضلاع
- جميع زواياه قائمة ← مستطيل
- الأضلاع غير متساوية ← ليس مربعاً
النتيجة: الرباعي مستطيل