الزوايا المكونة من متوازيين وقاطع

تمارين محلولة دفواراتي
استخراج الزوايا المتقايسة
تمرين 1

نعتبر الشكل أسفله حيث: $(AB)//(CD)$

شكل التمرين الأول

استخرج من الشكل الزوايا المتقايسة مثنى مثنى معللا جوابك.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

تذكر العلاقات الأساسية بين الزوايا: الزوايا المتبادلة داخليًا، والزوايا المتقابلة بالرأس. كل علاقة من هذه العلاقات تنتج عنها زوايا متقايسة.

📝 الطريقة

  1. اعتبر المستقيمين المتوازيين $(AB)$ و $(CD)$ والقاطع لهما $(AD)$. ما هي العلاقة بين الزاويتين $B\hat{A}D$ و $A\hat{D}C$؟
  2. كرر نفس العملية مع القاطع $(BC)$. ما هي العلاقة بين الزاويتين $A\hat{B}C$ و $B\hat{C}D$؟
  3. أخيرًا، انظر إلى نقطة تقاطع القاطعين. ما هي علاقة الزوايا المتقابلة بالرأس؟

✅ الحل الكامل

1. الزوايا المتبادلة داخليًا (القاطع AD):

باعتبار المتوازيين $(AB)$ و $(CD)$ والقاطع لهما $(AD)$، فإن الزاويتين $B\hat{A}D$ و $A\hat{D}C$ متبادلتان داخليًا، إذن: $B\hat{A}D = A\hat{D}C$.

2. الزوايا المتبادلة داخليًا (القاطع BC):

باعتبار المتوازيين $(AB)$ و $(CD)$ والقاطع لهما $(BC)$، فإن الزاويتين $A\hat{B}C$ و $B\hat{C}D$ متبادلتان داخليًا، إذن: $A\hat{B}C = B\hat{C}D$.

3. الزوايا المتقابلة بالرأس:

عند نقطة تقاطع القاطعين $O$، لدينا:
- $A\hat{O}B$ و $C\hat{O}D$ متقابلتان بالرأس، إذن: $A\hat{O}B = C\hat{O}D$.
- $A\hat{O}C$ و $B\hat{O}D$ متقابلتان بالرأس، إذن: $A\hat{O}C = B\hat{O}D$.

حساب قياسات الزوايا
تمرين 2

لاحظ الشكل أسفله حيث: $(AG)//(CD)$

شكل التمرين الثاني

1. احسب قياسات زوايا المثلث ACD.

2. احسب $G\hat{A}C$.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

ابدأ بإيجاد الزوايا التي يمكنك تحديدها مباشرة. انظر إلى الزوايا المتقابلة بالرأس. بمجرد حصولك على زاويتين في المثلث ACD، كيف يمكنك إيجاد الثالثة؟

📝 الطريقة

لحساب زوايا المثلث ACD:

  1. أوجد قياس $C\hat{A}D$ باستخدام علاقتها مع $E\hat{A}F$.
  2. أوجد قياس $A\hat{D}C$ باستخدام علاقتها مع $M\hat{D}N$.
  3. استخدم خاصية أن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي $180°$ لإيجاد $A\hat{C}D$.

لحساب $G\hat{A}C$:

  1. استخدم حقيقة أن $(AG)//(CD)$ والقاطع لهما هو $(AC)$.
  2. حدد العلاقة بين الزاويتين $G\hat{A}C$ و $A\hat{C}D$ واستنتج قياسها.

✅ الحل الكامل

حساب قياسات زوايا المثلث ACD:

- الزاويتان $C\hat{A}D$ و $E\hat{A}F$ متقابلتان بالرأس، إذن: $C\hat{A}D = E\hat{A}F = 70°$.

- الزاويتان $A\hat{D}C$ و $M\hat{D}N$ متقابلتان بالرأس، إذن: $A\hat{D}C = M\hat{D}N = 60°$.

- في المثلث ACD، مجموع الزوايا يساوي $180°$:

$A\hat{C}D = 180° - (C\hat{A}D + A\hat{D}C)$

$A\hat{C}D = 180° - (70° + 60°) = 180° - 130° = 50°$

حساب $G\hat{A}C$:

بما أن $(AG)//(CD)$ والقاطع هو $(AC)$، فإن الزاويتين $G\hat{A}C$ و $A\hat{C}D$ متبادلتان داخليًا.

إذن: $G\hat{A}C = A\hat{C}D = 50°$.

مثلث قائم الزاوية
تمرين 3

نعتبر الشكل أسفله حيث: $(\Delta_{1}) // (\Delta_{2})$

شكل التمرين الثالث

احسب $A\hat{B}C$ و $F\hat{A}G$ و $A\hat{B}E$.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

هناك ثلاث علاقات رئيسية يجب استخدامها هنا:

  1. الزوايا المتناظرة (pour trouver $A\hat{B}C$).
  2. مجموع زوايا المثلث القائم (pour trouver $A\hat{C}B$ qui est la clé pour $F\hat{A}G$).
  3. الزوايا المتكاملة (pour trouver $A\hat{B}E$).

📝 الطريقة

1. لحساب $A\hat{B}C$:

لاحظ أن الزاويتين $A\hat{B}C$ و $M\hat{A}N$ متناظرتان بالنسبة للمتوازيين $(\Delta_{1})$ و $(\Delta_{2})$ والقاطع $(AB)$.

2. لحساب $F\hat{A}G$:

أولاً، احسب الزاوية $A\hat{C}B$ في المثلث ABC القائم الزاوية في A. بعد ذلك، لاحظ أن $F\hat{A}G$ و $A\hat{C}B$ متناظرتان بالنسبة للمتوازيين والقاطع $(AC)$.

3. لحساب $A\hat{B}E$:

الزاويتان $A\hat{B}E$ و $A\hat{B}C$ متجاورتان وتشكلان زاوية مستقيمة (مجموعهما $180°$).

✅ الحل الكامل

حساب $A\hat{B}C$:

بما أن $(\Delta_{1}) // (\Delta_{2})$ والقاطع هو $(AB)$، فإن الزاويتين $A\hat{B}C$ و $M\hat{A}N$ متناظرتان.

إذن: $A\hat{B}C = M\hat{A}N = 25°$.

حساب $F\hat{A}G$:

في المثلث ABC القائم الزاوية في A، لدينا: $A\hat{C}B = 90° - A\hat{B}C = 90° - 25° = 65°$.

بما أن $(\Delta_{1}) // (\Delta_{2})$ والقاطع هو $(AC)$، فإن الزاويتين $F\hat{A}G$ و $A\hat{C}B$ متناظرتان.

إذن: $F\hat{A}G = A\hat{C}B = 65°$.

حساب $A\hat{B}E$:

الزاويتان $A\hat{B}E$ و $A\hat{B}C$ متكاملتان (مجموعهما $180°$).

إذن: $A\hat{B}E = 180° - A\hat{B}C = 180° - 25° = 155°$.

إثبات طبيعة رباعي
تمرين 4

لاحظ الرباعي ABCD التالي:

شكل التمرين الرابع

بيّن أن ABCD شبه منحرف.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لإثبات أن الرباعي شبه منحرف، يجب أن تثبت أن له ضلعين متوازيين فقط. أفضل طريقة لإثبات التوازي هنا هي عبر إثبات تساوي زاويتين متبادلتين داخليًا. هل يمكنك إيجاد الزاويتين $A\hat{B}D$ و $B\hat{D}C$؟

📝 الطريقة

  1. التركيز على المثلث ABD: استخدم مجموع زوايا المثلث ($180°$) لحساب قياس الزاوية $A\hat{B}D$.
  2. التركيز على المثلث BCD: استخدم نفس الخاصية لحساب قياس الزاوية $B\hat{D}C$.
  3. المقارنة والاستنتاج: قارن بين قياسي الزاويتين $A\hat{B}D$ و $B\hat{D}C$. إذا كانتا متساويتين، فماذا يمكنك أن تستنتج حول المستقيمين $(AB)$ و $(DC)$؟

✅ الحل الكامل

1. حساب $A\hat{B}D$:

في المثلث ABD، لدينا: $A\hat{B}D = 180° - (B\hat{A}D + A\hat{D}B) = 180° - (130° + 35°) = 180° - 165° = 15°$.

2. حساب $B\hat{D}C$:

في المثلث BCD، لدينا: $B\hat{D}C = 180° - (D\hat{B}C + B\hat{C}D) = 180° - (95° + 70°) = 180° - 165° = 15°$.

3. الاستنتاج:

نلاحظ أن $A\hat{B}D = B\hat{D}C = 15°$.

بما أن هاتين الزاويتين متبادلتان داخليًا ومحدَدتان بالمستقيمين $(AB)$ و $(DC)$ والقاطع لهما $(BD)$، وهما متقايستان، فإن المستقيمين $(AB)$ و $(DC)$ متوازيان.

وبما أن الضلعين الآخرين $(AD)$ و $(BC)$ ليسا متوازيين، فإن الرباعي ABCD هو شبه منحرف.