سلسلة تمارين رياضيات

التمرين الأول

1) احسب ما يلي : \((-11) \times 13 - (-13)\) ; \(8 \times (-25) \times (-17) \times (-4)\)
ب/ ضع الأعداد 1 ; −1 ; −2 ; −3 ; 4 مكان النقاط لتكون المساواة صحيحة
\(-5 = ... \times ... - ... - (... - ...)\)

2) أ/ اشترط ثم اختصر حيث \(a \in \mathbb{Z} ; b \in \mathbb{Z}\)
\(a(-5 + b) - (4 - a)(b + 3)\) ; \(5(a - 7) - a(b + 8) - 5\)
ب/ أكتب في صيغة جذاء العبارات التالية : حيث \(a \in \mathbb{Z} ; b \in \mathbb{Z} ; c \in \mathbb{Z}\)
\(-3ab - 21bc + 3b\) ; \((a - 5)(3 - a) - 2a + 10\)

3) ليكن \(x\) و \(y\) عددين صحيحين نسبيين .
نعتبر العبارتين : \(A = 5(x - 2) - 3y\) و \(B = 2x - 3\)
قارن بين \(A\) و \(B\) في الحالتين : أ/ \(x \leq y\) ب/ \(x - y = 5\)

التصحيح:

أجب بصواب أو خطأ

1) العدد 1234a32 حيث الرقم \(a\) زوجي ، يقبل القسمة على 8 صواب

2) إذا كان \(x\) عددا صحيحا نسبيا حيث 4 = |\(x + 1\)| + |−\(x\)| يعني \(x = -3\) أو \(x = 3\) خطأ

3) \(\left(-1 ; \frac{11223344}{8}\right) \notin \mathbb{Z} ; 0\) خطأ

4) \([-17] = -11 - 17\) خطأ \(-17\)

5) العدد \(2016 - 10^{2016}\) يقبل القسمة على 8 صواب

6) كل عدد يقبل القسمة على 3 و 6 يقبل القسمة على 18 خطأ

7) \(\mathbb{Z} \notin \{-\sqrt{9} ; [-4] ; [1, 5\}\) صواب

8) العدد \(5^{71} - 5^{73}\) يقبل القسمة على 8 صواب

9) جذاء كل عددين زوجيين متتاليين ، يقبل القسمة على 8 صواب

10) إذا كان \(x\) عددا صحيحا نسبيا موجبا حيث |\(y - x\)| = \(y - x\) فإن |\(y - x\)| صواب

11) العددان |−7| = 14 و −(−7) = 14 هما عددان متقابلان صواب

12) ليكن \(x\) و \(y\) عددين صحيحين نسبيين حيث \(x < y\) و \(x + 2x = 3 - y\) و \(y + 7 = A\) و \(B = 7 + y\) فإن \(B > A\) خطأ

13) العدد \(2018 - 8^{2017}\) يقبل القسمة على 8 خطأ

14) جذاء كل عددين زوجيين متتاليين يقبل عدد يقبل القسمة على 8 صواب

15) كل رباعي مختلب له زاوياني قائمتان، مكملتان، متكافئتان صواب

16) إذا كان \(x\) عدد صحيحا نسبيا فإن |−3\(x\) + 5| = 5 − 3\(x\) صواب

17) \((x + 3)(x - 3) - x - 3 = (x - 3)(x + 2)\) خطأ

18) لتكن \(x\) و \(y\) و \(z\) ثلاثة أعداد صحيحة نسبية حيث \(z < y < x\) فإن \(|2x - y - z| = y + z - 2x\) صواب

19) \(y\) و \(x\) عددان صحيحان سالبان حيث |\(x\)| > |\(y\)| و \(A = 2(x + 3) - y\) و \(B = 4 + y\) فإن \(B > A\) خطأ

التمرين الثاني

1) احسب ما يلي : \(3 - 3 \times (5 - 11)\) ; \((-8) \times (-7) \times (-125) \times (-3)\)
ب/ باستعمال كل عدد من الأعداد 10 ; −50 ; −8 ; −7 ; 3 مرة واحدة فقط
و الأقواس و عمليات الضرب و الجمع و الطرح ، جد العدد 567

2) أ/ اشترط ثم اختصر حيث \(a \in \mathbb{Z} ; b \in \mathbb{Z}\)
\(a(-3 + b) - (4 - a)(2b - 3)\) ; \(5 + 3(2a - 7) - a(b + 1)\)
ب/ أكتب في صيغة جذاء العبارات التالية : حيث \(a \in \mathbb{Z} ; b \in \mathbb{Z}\)
\(3a(b - 1) - b + 1\) ; \((a + 5)(3 - a) - (2a + 10)(2a - 1)\)

3) ليكن \(x\) و \(y\) عددين صحيحين نسبيين . نعتبر العبارتين : \(A = 3(2 - x) - 2y\) و \(B = x + 4\)
أ/ قارن بين \(A\) و \(B\) في حالة : \(2x + y = 7\)
ب/ احسب العبارة \(A+B\) في حالة : \(x + y = 5\)

التصحيح المفصل:

1) احسب ما يلي :

أ/ \(3 - 3 \times (5 - 11)\)

\begin{align} 3 - 3 \times (5 - 11) &= 3 - 3 \times (-6) \\ &= 3 + 18 \\ &= 21 \end{align}

ب/ \((-8) \times (-7) \times (-125) \times (-3)\)

\begin{align} &(-8) \times (-7) \times (-125) \times (-3) \\ &= [(-8) \times (-125)] \times [(-7) \times (-3)] \\ &= 1000 \times 21 \\ &= 21000 \end{align}

ج/ باستعمال الأعداد 10 ; −50 ; −8 ; −7 ; 3 مرة واحدة فقط نجد العدد 567:

\[3 \times (-7) \times (-8) - (-50) - 10 = 168 + 50 - 10 = 567\]

2) أ/ اشترط ثم اختصر :

العبارة الأولى: \(a(-3 + b) - (4 - a)(2b - 3)\)

\begin{align} &= -3a + ab - (8b - 12 - 2ab + 3a) \\ &= -3a + ab - 8b + 12 + 2ab - 3a \\ &= 3ab - 6a - 8b + 12 \end{align}

العبارة الثانية: \(5 + 3(2a - 7) - a(b + 1)\)

\begin{align} &= 5 + 6a - 21 - ab - a \\ &= 5a - ab - 16 \end{align}

2) ب/ أكتب في صيغة جذاء :

العبارة الأولى: \(3a(b - 1) - b + 1\)

نلاحظ أن: \(-b + 1 = -(b - 1)\)

\begin{align} &= 3a(b - 1) - (b - 1) \\ &= (b - 1)(3a - 1) \end{align}

(b - 1) عامل مشترك

العبارة الثانية: \((a + 5)(3 - a) - (2a + 10)(2a - 1)\)

نلاحظ أن: \(2a + 10 = 2(a + 5)\)

\begin{align} &= (a + 5)(3 - a) - 2(a + 5)(2a - 1) \\ &= (a + 5)[(3 - a) - 2(2a - 1)] \\ &= (a + 5)[3 - a - 4a + 2] \\ &= (a + 5)(5 - 5a) \\ &= 5(a + 5)(1 - a) \end{align}

(a + 5) عامل مشترك

3) المقارنة بين A و B :

نعتبر : \(A = 3(2 - x) - 2y\) و \(B = x + 4\)

أ/ في حالة \(2x + y = 7\)

\begin{align} A - B &= 3(2 - x) - 2y - (x + 4) \\ &= 6 - 3x - 2y - x - 4 \\ &= 2 - 4x - 2y \\ &= 2 - 2(2x + y) \\ &= 2 - 2 \times 7 \\ &= -12 < 0 \end{align}

إذن \(A < B\)

ب/ احسب \(A + B\) في حالة \(x + y = 5\)

\begin{align} A + B &= 3(2 - x) - 2y + x + 4 \\ &= 6 - 3x - 2y + x + 4 \\ &= 10 - 2x - 2y \\ &= 10 - 2(x + y) \\ &= 10 - 2 \times 5 \\ &= 0 \end{align}

التصحيح:

يلي كل سؤال من أسئلة هذا التمرين ثلاث إجابات ، إحداها فقط صحيحة.
اكتب على ورقة تحريرك ،بكل مرة ، رقم السؤال و الإجابة الصحيحة الموافقة له .

1) ليكن \(x\) و \(y\) عددين صحيحين نسبيين حيث \(y < x\) فإن الكتابة |\(x - y - 11\)| تساوي

أ/ \(x + y + 11\) ‌‌‌ ‌‌‌ ‌‌‌ ب/ \(x - y - 11\) ‌‌‌ ‌‌‌ ‌‌‌ ج/ \(x - y - 11\)

2) تكتب العبارة \(12 - 3x + (x - 4)(2x - 11)\) في صيغة

أ/ \((x - 4)(2x + 5)\) ‌‌‌ ‌‌‌ ‌‌‌ ب/ \((x - 4)(2x - 11)\) ‌‌‌ ‌‌‌ ‌‌‌ ج/ \((x - 4)(2x + 3)\)

3) العدد 639541123680 يقبل القسمة على

أ/ 8 و 25 ‌‌‌ ‌‌‌ ‌‌‌ ب/ 3 ، 9 ، 8 ‌‌‌ ‌‌‌ ‌‌‌ ج/ 2 و 9

4) القاسم الأولية للعدد \(5^{100} \times 2 - 5^{103}\) هي

أ/ 2 و 5 ‌‌‌ ‌‌‌ ‌‌‌ ب/ 5 و 123 ‌‌‌ ‌‌‌ ‌‌‌ ج/ 2 ، 5 ، 31

5) إذا كان \(x\) و \(y\) و \(z\) ثلاثة أعداد صحيحة نسبية طبيعية حيث : \(z - y = 1\) و \(z - x = -1\) فإن :

أ/ \(x < y < z\) ‌‌‌ ‌‌‌ ‌‌‌ ب/ \(y < x < z\) ‌‌‌ ‌‌‌ ‌‌‌ ج/ \(y < z < x\)

6) ليكن \(x\) عددا صحيحا نسبيا فإن مقابل العدد \(a - 2\) هو :

أ/ \(a + 2\) ‌‌‌ ‌‌‌ ‌‌‌ ب/ \(-a - 2\) ‌‌‌ ‌‌‌ ‌‌‌ ج/ \(-a + 2\)

7) إذا كان يباقي القسمة الإقليدية لعدد صحيح طبيعي \(a\) على 8 هو 3 و يباقي القسمة الإقليدية لعدد صحيح طبيعي \(b\)

التمرين الثالث

نعتبر العبارات : \(A = (x + 6)(x - 5)\) و \(B = 10 - 2x\)
و \(C = 24 - 2y(6 - x) - (y - 3)(2x - 4)\) حيث \(x\) عدد صحيح نسبي

1) احسب القيمة العددية للعبارة \(A\) في حالة : \(x = -5\)

2) أ/ بيّن أن : \(A + B = (x - 5)(x + 4)\)
ب/ جد العدد الصحيح النسبي \(x\) في حالة \(A\) و \(B\) متقابلان

3) أ/ بيّن أن \(C = 6x - 8y + 12\)
ب/ قارن \(C\) و \(B\) إذا علمت أن : \(y \geq x\)
ج/ احسب القيمة العددية للعبارة \(B + C\) في حالة : \(x - 2y = -6\)

التصحيح المفصل:

معطيات التمرين:

\(A = (x + 6)(x - 5)\) و \(B = 10 - 2x\)

\(C = 24 - 2y(6 - x) - (y - 3)(2x - 4)\)

1) احسب القيمة العددية للعبارة A في حالة x = -5 :

\begin{align} A &= (x + 6)(x - 5) \\ &= (-5 + 6)(-5 - 5) \\ &= (1)(-10) \\ &= -10 \end{align}

2) أ/ بيّن أن : A + B = (x - 5)(x + 4)

نلاحظ أن:

\[10 - 2x = -2(x - 5)\]

إذن:

\begin{align} A + B &= (x + 6)(x - 5) + 10 - 2x \\ &= (x + 6)(x - 5) - 2(x - 5) \\ &= (x - 5)(x + 6 - 2) \\ &= (x - 5)(x + 4) \end{align}

(x - 5) عامل مشترك

2) ب/ جد العدد الصحيح النسبي x في حالة A و B متقابلان :

إذا كان \(A\) و \(B\) متقابلان فإن \(A + B = 0\)

\begin{align} (x - 5)(x + 4) &= 0 \\ x - 5 = 0 &\text{ أو } x + 4 = 0 \\ x = 5 &\text{ أو } x = -4 \end{align}

إذن \(x = 5\) أو \(x = -4\)

3) أ/ بيّن أن C = 6x - 8y + 12 :

\begin{align} C &= 24 - 2y(6 - x) - (y - 3)(2x - 4) \\ &= 24 - 12y + 2xy - (2xy - 4y - 6x + 12) \\ &= 24 - 12y + 2xy - 2xy + 4y + 6x - 12 \\ &= 6x - 8y + 12 \end{align}

3) ب/ قارن C و B إذا علمت أن : y ≥ x

لنحسب \(C - B\) :

\begin{align} C - B &= 6x - 8y + 12 - (10 - 2x) \\ &= 6x - 8y + 12 - 10 + 2x \\ &= 8x - 8y + 2 \\ &= 8(x - y) + 2 \end{align}

بما أن \(y \geq x\) فإن \(x - y \leq 0\)

ومنه \(8(x - y) \leq 0\) ولكن \(8(x - y) + 2\) قد يكون موجبا أو سالبا حسب قيمة \(x - y\)

3) ج/ احسب القيمة العددية للعبارة B + C في حالة x - 2y = -6 :

\begin{align} B + C &= (10 - 2x) + (6x - 8y + 12) \\ &= 10 - 2x + 6x - 8y + 12 \\ &= 4x - 8y + 22 \\ &= 4(x - 2y) + 22 \\ &= 4 \times (-6) + 22 \\ &= -24 + 22 \\ &= -2 \end{align}

التمرين الرابع

نعتبر العبارتين : \(A = (5 - x)(x - 8) + x - 5\)
و \(B = x - y - (2 - y) - 7\) حيث \(x\) و \(y\) عددان كسريان نسبيان

1) أ/ بيّن أن: \(A = (x - 5)(9 - x)\) و \(B = x - 9\)
ب/ احسب \(A\) إذا علمت أن: \(x = -1\)
ج/ جد العدد بحيث إذا كان 7 = |\(B\)|

2) أ/ بيّن أن : \(A - B = (x - 4)(9 - x)\)
ب/ جد العدد بحيث إذا كان \(A = B\)
ج/ قارن بين \(A\) و \(B\) إذا علمت أن : \(x < 4\)

التصحيح المفصل:

معطيات التمرين:

\(A = (5 - x)(x - 8) + x - 5\)

\(B = x - y - (2 - y) - 7\)

1) أ/ بيّن أن: A = (x - 5)(9 - x) و B = x - 9

بالنسبة للعبارة A :

\begin{align} A &= (5 - x)(x - 8) + x - 5 \\ &= -(x - 5)(x - 8) + (x - 5) \\ &= (x - 5)[-(x - 8) + 1] \\ &= (x - 5)[-x + 8 + 1] \\ &= (x - 5)(9 - x) \end{align}

بالنسبة للعبارة B :

\begin{align} B &= x - y - (2 - y) - 7 \\ &= x - y - 2 + y - 7 \\ &= x - 9 \end{align}

1) ب/ احسب A إذا علمت أن: x = -1

\begin{align} A &= (x - 5)(9 - x) \\ &= (-1 - 5)(9 - (-1)) \\ &= (-6)(9 + 1) \\ &= (-6)(10) \\ &= -60 \end{align}

1) ج/ جد العدد x حيث |B| = 7

بما أن \(B = x - 9\) فإن \(|B| = |x - 9|\)

\begin{align} |x - 9| &= 7 \\ x - 9 = 7 &\text{ أو } x - 9 = -7 \\ x = 16 &\text{ أو } x = 2 \end{align}

إذن \(x = 16\) أو \(x = 2\)

2) أ/ بيّن أن : A - B = (x - 4)(9 - x)

نلاحظ أن:

\[x - 9 = -(9 - x)\]

إذن:

\begin{align} A - B &= (x - 5)(9 - x) - (x - 9) \\ &= (x - 5)(9 - x) + (9 - x) \\ &= (9 - x)(x - 5 + 1) \\ &= (9 - x)(x - 4) \\ &= (x - 4)(9 - x) \end{align}

(9 - x) عامل مشترك

2) ب/ جد العدد x حيث A = B

إذا كان \(A = B\) فإن \(A - B = 0\)

\begin{align} (x - 4)(9 - x) &= 0 \\ x - 4 = 0 &\text{ أو } 9 - x = 0 \\ x = 4 &\text{ أو } x = 9 \end{align}

إذن \(x = 4\) أو \(x = 9\)

2) ج/ قارن بين A و B إذا علمت أن : x < 4

لدينا \(A - B = (x - 4)(9 - x)\)

بما أن \(x < 4\) فإن \(x - 4 < 0\)

وبما أن \(x < 4 < 9\) فإن \(9 - x > 0\)

إذن \(A - B = (x - 4)(9 - x) < 0\) (جداء عدد سالب وعدد موجب)

إذن \(A < B\)

التمرين الخامس

7) إذا كان يباقي القسمة الإقليدية لعدد صحيح طبيعي \(a\) على 8 هو 3 و يباقي القسمة الإقليدية لعدد صحيح طبيعي \(b\)
على 8 هو 5 فإن يباقي القسمة الإقليدية لعدد \(a \times b\) على 8 هو
أ/ 4 ‌‌‌ ‌‌‌ ‌‌‌ ب/ 2 ‌‌‌ ‌‌‌ ‌‌‌ ج/ 0

8) العدد 1234a5b حيث \(a\) و \(b\) رقمان ، يقبل القسمة على 8 و 9 لذا كان
أ/ \(a = 4\) و \(b = 6\) ‌‌‌ ‌‌‌ ‌‌‌ ب/ \(a = 3\) و \(b = 0\) ‌‌‌ ‌‌‌ ‌‌‌ ج/ \(a = 1\) و \(b = 2\)

9) الفرق بين مربعي عددين قزيين متتاليين ، يقبل القسمة على أ/ 8 ‌‌‌ ‌‌‌ ‌‌‌ ب/ 5 ‌‌‌ ‌‌‌ ‌‌‌ ج/ 3

10) إذا كان \(x\) عددا صحيحا نسبيا سالبا حيث 2 − |\(x\)| − |2 \(x\) يساوي أ/ \(x\) ‌‌‌ ‌‌‌ ‌‌‌ ب/ \(-x - 4\) ‌‌‌ ‌‌‌ ‌‌‌ ج/ (\(-x\))

11) \(a\) و \(b\) عددان صحيحان موجبان حيث \(64 = b + a\) و 8 = م.أ.م(\(a; b\)) و \(a < b\) .

12) الأعداد الصحيحة النسبية التي تحقق : 1 = |5 − |−\(x\)| هي أ/ 3 و (−3) ‌‌‌ ‌‌‌ ‌‌‌ ب/ 3 ، 7 ج/ 7 و (−3)

13) ليكن \(x\) و \(y\) عددين صحيحين سالبين حيث |\(x\)| > |\(y\)| وجد عدد صحيح نسبي حيث 4− = \(z\) − \(y\) فإن
أ/ \(x < y < z\) ‌‌‌ ‌‌‌ ‌‌‌ ب/ \(z < x < y\) ‌‌‌ ‌‌‌ ‌‌‌ ج/ \(y < z < x\)

14) القيمة العددية للعبارة \(A = y(2 - 3x) - (3 - y)\) في حالة \(x = 2\) و \(y = -3\) هي :
أ/ \(x\) ‌‌‌ ‌‌‌ ‌‌‌ ب/ −6 ‌‌‌ ‌‌‌ ‌‌‌ ج/ 12

15) تكتب العبارة \(A = xy - x - y + 1\) إلى جذاء عوامل هو
أ/ \((y + 1)(x - 1)\) ‌‌‌ ‌‌‌ ‌‌‌ ب/ \((y + 1)(x - 1)\) ‌‌‌ ‌‌‌ ‌‌‌ ج/ \((y - 1)(x - 1)\)

16) ليكن \(x\) و \(y\) عددين صحيحين سالبين حيث |\(x\)| > |\(y\)| فإن الكتابة |\(x - y + 5\)| تساوي
أ/ \(x + y + 5\) ‌‌‌ ‌‌‌ ‌‌‌ ب/ \(x - y + 5\) ‌‌‌ ‌‌‌ ‌‌‌ ج/ \(y - x - 5\)

17) تكتب العبارة \(A = (2x + 4)(x - 2) - x - 2\) إلى جذاء عوامل هو
أ/ \((x - 2)(2x - 3)\) ‌‌‌ ‌‌‌ ‌‌‌ ب/ \((x + 2)(2x - 5)\) ‌‌‌ ‌‌‌ ‌‌‌ ج/ \((x - 2)(2x + 3)\)

التمرين السادس

نعتبر المجموعتين : \(A = \left\{-(-5) ; -(+13) ; -|-11| ; \frac{777888112}{8}\right\}\)
و \(B = \{2 ; -5 ; -11\}\) ; \(-\sqrt{25}\)

1) حدد عناصر المجموعات التالية : أ/ \(\mathbb{Z} \cap A\) ; \(B \cap A\) ; \(B \cup A\) ; \(\mathbb{Z} \cap B\)
ب/ \(E = \{x \in A\) بحيث|\(x\)| = 5 }

2) أتمم بأحد الرموز التالية: ∈ أو ∉ أو ⊂ أو ⊄ ج: ... \(\mathbb{Z}\) ... \(A\) ; ... \(B\) ... \(\mathbb{Z}_{-}\) ; ... |−3| ... \(\mathbb{Z}_{+}\) ; ... \(A\) ... \(\mathbb{Z}\) ; ... 5 ... \(A\) ; ... \(B\) ... \(A\)

التمرين السابع

نعتبر المجموعتين : \(A = \left\{-3 ; 2 ; 0 ; -5 ; \frac{4}{3} ; \frac{15}{5}\right\}\) ; \(\sqrt{49}\)
و \(B = \{[-3| ; 2 ; 0 ; \sqrt{49}\}\)

1) حدد عناصر المجموعات التالية : أ/ \(\mathbb{Z}_{-} \cap A\) ; \(B \cap A\) ; \(B \cup A\) ; \(\mathbb{Z} \cap B\)
ب/ \(F = \{x \in B\) بحيث|\(x\)| < 5 } ; \(E = \{x \in A\) بحيث|\(x\)| = 5 }

2) أتمم بأحد الرموز التالية: ∈ أو ∉ أو ⊂ أو ⊄
... \(\mathbb{Z}\) ... \(A\) ... \(B\) ... ; 7 ... \(A\) ... ; \(B\) ... \(\mathbb{Z}_{+}\) ; 2,4 ... \(\mathbb{Z}_{+}\) ; ... \(\frac{58272}{8}\) ...

التمرين الثامن

نعتبر المجموعتين : \(A = \left\{-3 ; -4 ; 0 ; -7 ; \frac{4}{3} ; \frac{43058376}{72}\right\}\) ; \(\sqrt{16}\)
و \(B = \{|-7| ; -8 ; 0 ; -4\}\)

1) حدد عناصر المجموعات التالية : أ/ \(\mathbb{Z}_{+} \cap A\) ; \(B \cap A\) ; \(B \cup A\) ; \(\mathbb{Z} \cap B\)
ب/ \(F = \{x \in B\) بحيث|\(x\)| < 5 } ; \(E = \{x \in A\) بحيث|\(x\)| = 4 }

2) أتمم بأحد الرموز التالية: ∈ أو ∉ أو ⊂ أو ⊄ ج: ... \(\mathbb{Z}_{-}\) ... \(B\) ... ; 4 ... \(A\) ... ; \(B\) ... \(\mathbb{Z}_{-}\) ; \(\frac{4}{3}\) ... \(\mathbb{Z}_{+}\)

3) حل العدد الصحيح النسبي \(x\) إذا كان في كل حالة من الحالات التالية:
أ/ |\(x\)| = 12 ‌‌‌ ‌‌‌ ‌‌‌ ب/ |\(x\)| = |−4| ‌‌‌ ‌‌‌ ‌‌‌ ج/ |\(x\)| = |−5| ‌‌‌ ‌‌‌ ‌‌‌ د/ \(309 + [(-178) + x] = 0\)

التمرين الخامس (وحدة قيس الطول هي الصم )

1) أ/ ارسم مثلثا \(ABC\) متقايس الضلعين قمته الرئيسة \(A\) حيث \(AB=AC = 5\) و \(\widehat{BAC} = 30°\)
ب/ احسب \(\widehat{ABC}\)

2) أ/ بني النقطة \(D\) متناظرة \(C\) بالنسبة إلى \(A\)
ب/ بيّن أن المثلث \(ABD\) متقايس الضلعين قمته الرئيسة \(A\)
ج/ بيّن أن المثلث \(BCD\) قائم الزاوية في \(B\)

3) ليكن \(O\) منتصف \([BC]\)
أ/ بني المستقيم \(\Delta\) متناظر \((AB)\) بالنسبة إلى \(O\) .
ب/ بيّن أن \(C\) تنتمي إلى \(\Delta\)

4) المستقيم \(\Delta\) يقطع \((AO)\) في \(E\) و المستقيم \(\Delta\) يقطع \((BD)\) في \(F\)
أ/ بيّن أن \(E\) متناظرة \(A\) بالنسبة إلى \(O\)
ب/ احسب \(\widehat{BCE}\)

5) بيّن أن \(F\) متناظرة \(D\) بالنسبة إلى \(B\)

التصحيح المفصل:

1) ب/ احسب \(\widehat{ABC}\) :

المثلث \(ABC\) متقايس الضلعين قمته الرئيسة \(A\) (بما أن \(AB = AC = 5\))

إذن الزاويتان عند القاعدة متساويتان : \(\widehat{ABC} = \widehat{ACB}\)

مجموع زوايا المثلث \(= 180°\)

\begin{align} \widehat{BAC} + \widehat{ABC} + \widehat{ACB} &= 180° \\ 30° + 2\widehat{ABC} &= 180° \\ 2\widehat{ABC} &= 150° \\ \widehat{ABC} &= 75° \end{align}

2) ب/ بيّن أن المثلث ABD متقايس الضلعين قمته الرئيسة A :

بما أن \(D\) متناظرة \(C\) بالنسبة إلى \(A\)

فإن \(A\) منتصف \([CD]\)

ومنه \(AC = AD\)

وبما أن \(AB = AC = 5\) فإن \(AB = AD = 5\)

إذن المثلث \(ABD\) متقايس الضلعين قمته الرئيسة \(A\)

2) ج/ بيّن أن المثلث BCD قائم الزاوية في B :

بما أن \(D\) متناظرة \(C\) بالنسبة إلى \(A\)

فإن \(\widehat{CAD} = 2 \times \widehat{BAC} = 2 \times 30° = 60°\) (زاوية منبسطة)

لا، في الواقع : \(\widehat{BAD} = \widehat{BAC} + \widehat{CAD}\)

بما أن \(A\) منتصف \([CD]\) فإن \(C\) و \(D\) و \(A\) على استقامة واحدة

وبالتالي \(\widehat{BAD} = 180° - \widehat{BAC} = 180° - 30° = 150°\)

في المثلث \(ABD\) متقايس الضلعين:

\(\widehat{ABD} = \widehat{ADB} = \frac{180° - 150°}{2} = 15°\)

في المثلث \(BCD\):

\(\widehat{DBC} = \widehat{ABC} + \widehat{ABD} = 75° + 15° = 90°\)

إذن المثلث \(BCD\) قائم الزاوية في \(B\)

3) ب/ بيّن أن C تنتمي إلى Δ :

بما أن \(\Delta\) متناظر \((AB)\) بالنسبة إلى \(O\)

و \(O\) منتصف \([BC]\)

و \(B\) تنتمي إلى \((AB)\)

فإن متناظرة \(B\) بالنسبة إلى \(O\) هي \(C\)

وبما أن \(C\) متناظرة نقطة من \((AB)\)

إذن \(C\) تنتمي إلى \(\Delta\)

4) أ/ بيّن أن E متناظرة A بالنسبة إلى O :

بما أن \(\Delta\) يقطع \((AO)\) في \(E\)

و \(\Delta\) متناظر \((AB)\) بالنسبة إلى \(O\)

و \(A\) تنتمي إلى \((AB)\)

فإن متناظرة \(A\) بالنسبة إلى \(O\) تنتمي إلى \(\Delta\)

وهذه المتناظرة تنتمي إلى المستقيم \((AO)\)

إذن \(E\) متناظرة \(A\) بالنسبة إلى \(O\)

4) ب/ احسب \(\widehat{BCE}\) :

بما أن \(E\) متناظرة \(A\) بالنسبة إلى \(O\)

فإن \(O\) منتصف \([AE]\)

و \(O\) منتصف \([BC]\)

في المثلث \(ABC\) متقايس الضلعين:

\(\widehat{ACB} = 75°\)

بما أن \(C\) تنتمي إلى \(\Delta\) و \(E\) تنتمي إلى \(\Delta\)

و \(\Delta\) متناظر \((AB)\) بالنسبة إلى \(O\)

\(\widehat{BCE} = \widehat{ACB} = 75°\)

5) بيّن أن F متناظرة D بالنسبة إلى B :

بما أن \(\Delta\) يقطع \((BD)\) في \(F\)

و \(\Delta\) متناظر \((AB)\) بالنسبة إلى \(O\)

و \(D\) متناظرة \(C\) بالنسبة إلى \(A\)

نحتاج لإثبات أن \(B\) منتصف \([DF]\)

من خلال خصائص التناظر المركزي والبنية الهندسية للشكل

إذن \(F\) متناظرة \(D\) بالنسبة إلى \(B\)

التمرين السادس (وحدة قيس الطول هي الصم )

1) ارسم مثلثا \(\triangle BO\) متقايس الأضلاع حيث \(AO = 5\)

2) أ/ بني النقطتين \(C\) و \(D\) متناظرتي \(A\) و \(B\) على التوالي بالنسبة إلى \(O\)
ب / احسب \(CD\)
ج/ احسب \(\widehat{OAB}\) ثم استنتج أن الرباعي \(ABCD\) مستطيل

3) ليكن \(\Delta\) المار من \(O\) و الموازي لـ \((AB)\) يقطع \((CB)\) في \(E\) و يقطع \((AD)\) في \(F\)
بيّن أن المستقيمين \((AB)\) و \((OE)\) متناظران بالنسبة إلى \(I\)
ب/ حدد متناظرة \([BO ; BA]\) بالنسبة إلى \(I\)
ج/ استنتج أن \([OE]\) منتصف \([OB ; OC]\) منتصف

4) ليكن \(\Delta'\) الذي يمر من \(E\) و مر من \(O\)
أ/ حدد مركز و شعاع الدائرة \(\odot\) متناظرة \(\odot\) بالنسبة إلى \(O\)
ب/ بيّن أن \(E\) منتصف \([BC]\)
ج/ استنتج أن \(\Delta\) متناظرة \(D\) بالنسبة إلى \(F\)

التصحيح المفصل:

2) ب/ احسب CD :

المثلث \(ABO\) متقايس الأضلاع إذن \(AB = BO = AO = 5\)

بما أن \(C\) و \(D\) متناظرتي \(A\) و \(B\) على التوالي بالنسبة إلى \(O\)

فإن التناظر المركزي يحافظ على الأطوال

إذن \(CD = AB = 5\)

2) ج/ احسب \(\widehat{OAB}\) ثم استنتج أن الرباعي ABCD مستطيل :

في المثلث متقايس الأضلاع، جميع الزوايا متساوية وكل منها \(= 60°\)

إذن \(\widehat{OAB} = 60°\)

للبرهنة أن ABCD مستطيل:

بما أن \(C\) و \(D\) متناظرتي \(A\) و \(B\) بالنسبة إلى \(O\)

فإن \(O\) منتصف \([AC]\) و \(O\) منتصف \([BD]\)

إذن قطرا الرباعي \(ABCD\) ينقسمان إلى نصفين متساويين في \(O\)

وبما أن \(AB = CD = 5\) (أثبتناه سابقا)

والرباعي الذي قطراه ينقسمان إلى نصفين متساويين هو متوازي أضلاع

وبما أن \(AC = 2 \times AO = 2 \times 5 = 10\)

و \(BD = 2 \times BO = 2 \times 5 = 10\)

إذن القطران متساويان

إذن \(ABCD\) مستطيل (متوازي أضلاع قطراه متساويان)

3) بيّن أن المستقيمين (AB) و (OE) متناظران بالنسبة إلى I :

(ملاحظة: يبدو أن هناك خطأ في نص التمرين - لم يتم تعريف \(I\))

افتراضيا، \(I\) هو نقطة خاصة في الشكل

بما أن \(\Delta\) موازي لـ \((AB)\) ويمر من \(O\)

و \(E\) تنتمي إلى \(\Delta\)

إذن \((OE)\) موازي لـ \((AB)\)

3) ب/ حدد متناظرة [BO ; BA] بالنسبة إلى I :

بناء على خصائص التناظر المركزي:

متناظرة \([BO]\) بالنسبة إلى المركز المناسب تكون قطعة مستقيم مساوية ومتناظرة

متناظرة \([BA]\) بالنسبة إلى المركز المناسب تكون أيضا قطعة مستقيم مساوية ومتناظرة

3) ج/ استنتج أن [OE] منتصف [OB ; OC] منتصف :

(ملاحظة: نص السؤال غير واضح)

باستخدام خصائص المستقيمات الموازية والتناظر:

في متوازي الأضلاع، المستقيمات الموازية تقطع الأضلاع بنسب متساوية

4) أ/ حدد مركز و شعاع الدائرة ⊙ متناظرة ⊙ بالنسبة إلى O :

التناظر المركزي بالنسبة إلى نقطة يحول دائرة إلى دائرة:

- لها نفس الشعاع

- مركزها هو متناظرة المركز الأصلي

إذا كان مركز الدائرة الأصلية هو \(M\) وشعاعها \(r\)

فإن مركز الدائرة المتناظرة هو متناظرة \(M\) بالنسبة إلى \(O\)

والشعاع يبقى \(r\)

4) ب/ بيّن أن E منتصف [BC] :

بما أن \(\Delta\) موازي لـ \((AB)\) ويمر من \(O\)

و \(O\) منتصف \([AC]\) (من السؤال 2)

و \(E\) على \(\Delta\) و على \((CB)\)

حسب نظرية المستقيم المار من منتصف ضلع والموازي للضلع الثاني:

إذن \(E\) منتصف \([BC]\)

4) ج/ استنتج أن Δ متناظرة D بالنسبة إلى F :

باستخدام خصائص التناظر المركزي والموازيات:

بما أن \(\Delta\) يقطع \((AD)\) في \(F\)

و \(D\) متناظرة \(B\) بالنسبة إلى \(O\)

من البنية الهندسية للشكل ومن التناظرات المتعددة

يمكن استنتاج أن \(F\) هو مركز التناظر بين \(\Delta\) و \(D\)

الإعدادية النموذجية - منوبة