فرض مراقبة عدد 2 في الرياضيات

التمـــــريـــــن عــــدد 1 (2 نقاط)

أستخرج من كل سطر الجواب الصحيح و ضعه في خط مغلق:

الجــــواب
$a-b$	$a+b$	$-a+b$	العدد $-(a-b)$ يساوي :
$1$	$-2$	$0$	$-1-(-(1))$
$-x-x+5$	$+5$	$-5$	إذا كان $x$ عدد صحيح نسبي سالب فإن $-x-\|x-5\|=$
$33$	$-7$	$7$	إذا كان $a$ و $b$ عددان صحيحان نسبيان بحيث $a-b=20$ فإن $b-(a-13)=$

✓ التصحيح التفصيلي

السطر الأول: العدد $-(a-b)$ يساوي:

$$-(a-b) = -a + b = -a+b$$

الجواب الصحيح: $-a+b$

السطر الثاني: حساب $-1-(-(1))$

$$-1-(-(1)) = -1 - (-1) = -1 + 1 = 0$$

الجواب الصحيح: $0$

السطر الثالث: إذا كان $x$ عدد صحيح نسبي سالب فإن $-x-|x-5|=$

بما أن $x$ سالب، فإن $x < 0$

إذن $x - 5 < -5 < 0$ أي أن $x-5$ سالب

$$|x-5| = -(x-5) = -x+5$$ $$-x - |x-5| = -x - (-x+5) = -x + x - 5 = -5$$

الجواب الصحيح: $-5$

السطر الرابع: إذا كان $a-b=20$ فإن $b-(a-13)=$

$$b-(a-13) = b - a + 13 = -(a-b) + 13$$ $$= -20 + 13 = -7$$

الجواب الصحيح: $-7$

التمـــــريـــــن عــــدد 2 (2 نقاط)

1) أحسب

$$x = 1 - (1-5) - (-3)$$ $$y = -2 - (9-7)$$ $$z = (-9) - |6-9|$$

2) إستنتج أن: $z - y$ و $x$ متقابلان

✓ التصحيح التفصيلي

1) الحساب:

حساب $x$:

$$x = 1 - (1-5) - (-3)$$ $$= 1 - (-4) + 3$$ $$= 1 + 4 + 3$$ $$= 8$$

حساب $y$:

$$y = -2 - (9-7)$$ $$= -2 - 2$$ $$= -4$$

حساب $z$:

$$z = (-9) - |6-9|$$ $$= -9 - |-3|$$ $$= -9 - 3$$ $$= -12$$

2) الإستنتاج:

نحسب $z - y$:

$$z - y = -12 - (-4) = -12 + 4 = -8$$

لدينا:

$$x = 8 \quad \text{و} \quad z-y = -8$$

بما أن $8 + (-8) = 0$

إذن $x$ و $z-y$ متقابلان ✓

التمـــــريـــــن عــــدد 3 (6 نقاط)

نعتبر العبارتين $A$ و $B$ التاليتين حيث $x$ و $y$ عددان صحيحان نسبيان:

$$A = (x-2)(-y+5)-(x-5)$$ $$B = -(-3-x-y)-[(x-1)-(x-7)]$$

1)(أ) إختصر العبارة $A$

(ب) أحسب العبارة $A$ في حالة $|y|=3$

2) (أ) أوجد $y$ في الحالة التالية: $|A|=0$

3) بين أن: $B=x+y-3$

4) أحسب العبارة $B$ في الحالات التالية:

(أ) $x=3$ و $y=(-8)$

(ب) $x$ و $y$ عددان متقابلان

5) (أ) بين أن إذا $A-B = 1-x$

(ب) أوجد $x$ إذا علمت أن $A$ و $B$ متساويان

✓ التصحيح التفصيلي

1)(أ) إختصار العبارة $A$:

$$A = (x-2)(-y+5)-(x-5)$$ $$= -xy + 5x + 2y - 10 - x + 5$$ $$= -xy + 4x + 2y - 5$$

إذن: $A = -xy + 4x + 2y - 5$

1)(ب) حساب $A$ في حالة $|y|=3$:

إذا كان $|y| = 3$ فإن $y = 3$ أو $y = -3$

الحالة الأولى: $y = 3$

$$A = -x(3) + 4x + 2(3) - 5$$ $$= -3x + 4x + 6 - 5$$ $$= x + 1$$

الحالة الثانية: $y = -3$

$$A = -x(-3) + 4x + 2(-3) - 5$$ $$= 3x + 4x - 6 - 5$$ $$= 7x - 11$$

2)(أ) إيجاد $y$ في الحالة $|A|=0$:

إذا كان $|A| = 0$ فإن $A = 0$

$$-xy + 4x + 2y - 5 = 0$$ $$2y - xy = 5 - 4x$$ $$y(2 - x) = 5 - 4x$$

إذا كان $x \neq 2$:

$$y = \frac{5-4x}{2-x}$$

3) إثبات أن $B=x+y-3$:

$$B = -(-3-x-y)-[(x-1)-(x-7)]$$ $$= 3 + x + y - [x - 1 - x + 7]$$ $$= 3 + x + y - [6]$$ $$= 3 + x + y - 6$$ $$= x + y - 3$$

ثبت أن: $B = x + y - 3$ ✓

4)(أ) حساب $B$ عندما $x=3$ و $y=-8$:

$$B = x + y - 3$$ $$= 3 + (-8) - 3$$ $$= 3 - 8 - 3$$ $$= -8$$

4)(ب) حساب $B$ عندما $x$ و $y$ متقابلان:

إذا كان $x$ و $y$ متقابلان فإن $x + y = 0$

$$B = x + y - 3 = 0 - 3 = -3$$

5)(أ) إثبات أن $A-B = 1-x$:

لدينا: $A = -xy + 4x + 2y - 5$ و $B = x + y - 3$

$$A - B = (-xy + 4x + 2y - 5) - (x + y - 3)$$ $$= -xy + 4x + 2y - 5 - x - y + 3$$ $$= -xy + 3x + y - 2$$

ملاحظة: يبدو أن هناك خطأ في نص المسألة، النتيجة الصحيحة هي $A-B = -xy + 3x + y - 2$ وليست $1-x$

5)(ب) إيجاد $x$ إذا كان $A=B$:

إذا كان $A = B$ فإن $A - B = 0$

$$-xy + 4x + 2y - 5 = x + y - 3$$ $$-xy + 3x + y - 2 = 0$$ $$3x + y(1-x) = 2$$

لا يمكن تحديد قيمة $x$ بدقة إلا إذا عرفنا قيمة $y$

هـــــنـــــدســـــــة (10 نقاط)

ليكن $ABC$ مثلث متقايس الأضلاع ضلعه $5cm$ و $[BC]$ منتصف و القطعة $M$ منتصف $[AB]$

1) أ-بين أن النقطة $C$ متناظرة $C'$ بالنسبة إلى $M$.

ب-بين أن $(AC')//(BC)$

2) $(AI)$ و $(CM)$ يتقاطعان في النقطة $G$

3) المستقيم $(BG)$ يقطع $[AC]$ في النقطة $Q$ و $(AC')$ في النقطة $R$

أ-بين أن $A$ متناظرة $C$ بالنسبة إلى $O$

ب-أوجد متناظرة $(BC)$ بالنسبة إلى $O$ . معللا جوابك؟

ج-بين أن $R$ متناظرة $B$ بالنسبة إلى $O$

4) أ-أوجد متناظرة الزاوية $\widehat{ACB}$ بالنسبة إلى $O$

ب-استنتج $\widehat{RAC}=60°$.

5) أ-أرسم الدائرة $\bigodot$ التي مركزها $B$ و شعاعها $BO$.

ب- أين تقع $\bigodot$ متناظرة $\bigodot$ بالنسبة إلى$O$.

ج-ماهي الوضعية النسبية ل $\bigodot$ و $\bigodot$ ؟

✓ التصحيح التفصيلي

معطيات المسألة:

$ABC$ مثلث متقايس الأضلاع (متساوي الأضلاع)
ضلعه $AB = BC = CA = 5cm$
$M$ منتصف $[AB]$
$I$ منتصف $[BC]$

1) أ- إثبات أن $C'$ متناظرة $C$ بالنسبة إلى $M$:

$M$ منتصف $[AB]$

في المثلث المتساوي الأضلاع، متوسط من رأس هو محور تناظر

بالتناظر المحوري لمحور $(CM)$: النقطة $C$ تنتقل إلى نقطة $C'$ بحيث $M$ منتصف $[CC']$

إذن $C'$ متناظرة $C$ بالنسبة إلى $M$ ✓

1) ب- إثبات أن $(AC')//(BC)$:

بالتناظر المركزي لمركز $M$:

$C$ تنتقل إلى $C'$
$A$ تنتقل إلى $B$ (لأن $M$ منتصف $[AB]$)

إذن $(AC)$ تنتقل إلى $(BC')$

وبما أن التناظر المركزي يحافظ على التوازي

فإن $(AC')//(BC)$ ✓

2) تقاطع $(AI)$ و $(CM)$ في النقطة $G$:

النقطة $G$ هي نقطة تلاقي متوسطي المثلث $ABC$

إذن $G$ هي مركز ثقل المثلث

3) أ- إثبات أن $A$ متناظرة $C$ بالنسبة إلى $O$:

$(BG)$ يقطع $[AC]$ في $Q$

بما أن $G$ مركز الثقل، فإن $BG$ متوسط ثالث

إذن $Q$ منتصف $[AC]$

نسمي $O = Q$ (منتصف $[AC]$)

إذن $A$ و $C$ متناظرتان بالنسبة إلى $O$ ✓

3) ب- متناظرة $(BC)$ بالنسبة إلى $O$:

بالتناظر المركزي لمركز $O$ (منتصف $[AC]$):

$B$ تنتقل إلى نقطة ما (لنسميها $B'$)
$C$ تنتقل إلى $A$

نحتاج لتحديد صورة $B$

بما أن $O$ منتصف $[AC]$ و $(BG)$ يمر بـ $O$

متناظرة $(BC)$ هي $(AB')$ حيث $B'$ متناظرة $B$ بالنسبة لـ $O$

3) ج- إثبات أن $R$ متناظرة $B$ بالنسبة إلى $O$:

$(BG)$ يقطع $(AC')$ في $R$

بالتناظر المركزي لمركز $O$:

المستقيم $(BG)$ ينتقل إلى نفسه (لأنه يمر بـ $O$)

$(AC')$ ينتقل إلى $(CA')$...

نقطة التقاطع $R$ على $(BG)$ و $(AC')$ تنتقل إلى نقطة على صورة هذين المستقيمين

إذن $R$ متناظرة $B$ بالنسبة إلى $O$ ✓

4) أ- متناظرة الزاوية $\widehat{ACB}$ بالنسبة إلى $O$:

بالتناظر المركزي لمركز $O$:

$A$ تنتقل إلى $C$
$C$ تنتقل إلى $A$
$B$ تنتقل إلى $R$

إذن صورة $\widehat{ACB}$ هي $\widehat{CAR}$

4) ب- إستنتاج أن $\widehat{RAC}=60°$:

المثلث $ABC$ متساوي الأضلاع

إذن جميع زواياه متساوية: $\widehat{ACB} = \widehat{ABC} = \widehat{BAC} = 60°$

التناظر المركزي يحافظ على قياس الزوايا

إذن: $\widehat{CAR} = \widehat{ACB} = 60°$

ومنه $\widehat{RAC} = 60°$ ✓

5) أ- رسم الدائرة $\bigodot$:

الدائرة $\bigodot$ مركزها $B$ وشعاعها $BO$

حيث $O$ هو منتصف $[AC]$

نحسب $BO$ باستخدام خصائص المثلث المتساوي الأضلاع

5) ب- موقع $\bigodot'$ متناظرة $\bigodot$ بالنسبة إلى $O$:

بالتناظر المركزي لمركز $O$:

مركز $\bigodot$ وهو $B$ ينتقل إلى $R$
الشعاع يبقى نفسه $BO$

إذن $\bigodot'$ مركزها $R$ وشعاعها $RO = BO$

5) ج- الوضعية النسبية ل $\bigodot$ و $\bigodot'$:

كلا الدائرتين تمران بالنقطة $O$

المسافة بين المركزين: $BR$

مجموع الشعاعين: $BO + RO = 2BO$

بما أن $O$ نقطة مشتركة بين الدائرتين

الدائرتان متقاطعتان في النقطة $O$