50 سؤال في المقارنة

مقارنة الأعداد الصحيحة النسبية ℤ

تعلم فن مقارنة الأعداد الصحيحة النسبية بطريقتين أساسيتين: المقارنة المباشرة واستخدام إشارة الفرق بين العددين. هذه المهارات ضرورية لفهم ترتيب الأعداد على المستقيم المدرج وحل المتراجحات.
50
سؤال متنوع
2
طريقة مقارنة
25
سؤال لكل طريقة

≷
المقارنة المباشرة للأعداد النسبية

تعلم مقارنة الأعداد الصحيحة النسبية مباشرة باستخدام قواعد الإشارات والقيم المطلقة. سنتعامل مع جميع أنواع المقارنات: موجب مع موجب، سالب مع سالب، موجب مع سالب، والمقارنة مع الصفر.
السؤال 1
قارن بين العددين $$a = +7$$ و $$b = +12$$
$$+7 \quad \square \quad +12$$
واكتب النتيجة على الشكل: $$a \,\square\, b$$ حيث $$\square \in \{<, =, >\}$$
السؤال 2
قارن بين العددين $$x = -5$$ و $$y = -9$$
$$(-5) \quad \square \quad (-9)$$
أكمل: $$x \,\square\, y$$ واذكر القاعدة المستخدمة
السؤال 3
قارن بين العددين $$m = +4$$ و $$n = -6$$
$$\forall a \in \mathbb{Z}^+, \forall b \in \mathbb{Z}^- : a \,\square\, b$$
استنتج: $$(+4) \,\square\, (-6)$$
السؤال 4
قارن بين العددين $$p = -3$$ و $$q = 0$$
$$(-3) \quad \square \quad 0$$
اكتب باستخدام رموز المجموعات: $$p \in \mathbb{Z}^-$$ و $$q \in \{0\}$$
السؤال 5
قارن بين العددين $$r = 0$$ و $$s = +8$$
$$0 \quad \square \quad (+8)$$
أثبت أن: $$\forall t \in \mathbb{Z}^+ : 0 < t$$
السؤال 6
رتب المجموعة $$E = \{-2, +5, -7, 0, +1\}$$ تصاعدياً
$$E = \{-2, +5, -7, 0, +1\} \subset \mathbb{Z}$$
اكتب: $$a_1 < a_2 < a_3 < a_4 < a_5$$ حيث $$\{a_1, a_2, a_3, a_4, a_5\} = E$$
السؤال 7
قارن بين العددين $$u = -15$$ و $$v = -20$$
$$(-15) \quad \square \quad (-20)$$
لتطبيق القاعدة: إذا كان $$a, b \in \mathbb{Z}^-$$ فإن $$|a| < |b| \Leftrightarrow a > b$$
السؤال 8
قارن بين العددين $$\alpha = +11$$ و $$\beta = +9$$
$$\alpha = 11 \quad \text{و} \quad \beta = 9 \quad \text{حيث} \quad \alpha, \beta \in \mathbb{N}^*$$
استنتج: $$(+11) \,\square\, (+9)$$
السؤال 9
حدد أكبر عدد من المجموعة $$F = \{-1, -100\}$$
$$\max(F) = \max\{-1, -100\} = \,?$$
بررأجابتك باستخدام خاصية: $$\forall a, b \in \mathbb{Z}^- : |a| < |b| \Rightarrow a > b$$
السؤال 10
قارن بين العددين $$\gamma = +25$$ و $$\delta = -50$$
$$\gamma \in \mathbb{Z}^+ \quad \text{و} \quad \delta \in \mathbb{Z}^-$$
طبق المبدأ: $$\mathbb{Z}^+ \cap \mathbb{Z}^- = \emptyset$$ و $$\forall x \in \mathbb{Z}^+, \forall y \in \mathbb{Z}^- : x > y$$
السؤال 11
رتب المجموعة $$G = \{+3, -4, +10, -1, 0\}$$ تنازلياً
$$G \subset \mathbb{Z} \quad \text{حيث} \quad |G| = 5$$
اكتب الترتيب: $$b_1 > b_2 > b_3 > b_4 > b_5$$ مع $$\{b_i\}_{i=1}^5 = G$$
السؤال 12
قارن بين القيمتين المطلقتين $$|-8|$$ و $$|+5|$$
$$|-8| \quad \square \quad |+5|$$
حيث $$|-8| = 8$$ و $$|+5| = 5$$ في $$\mathbb{N}$$
السؤال 13
أكمل بالرمز المناسب $$\{<, =, >\}$$:
$$(-6) \quad \square \quad (-3)$$
استخدم القاعدة: $$\forall a, b \in \mathbb{Z}^-, |a| > |b| \Leftrightarrow a < b$$
السؤال 14
قارن بين العددين المتقابلين $$+7$$ و $$-7$$
$$\forall a \in \mathbb{Z}^* : a \quad \square \quad (-a)$$
طبق على $$a = 7$$: $$(+7) \,\square\, (-7)$$
السؤال 15
حدد أصغر عدد من المجموعة $$H = \{-2, +1\}$$
$$\min(H) = \min\{-2, +1\} = \,?$$
استخدم: $$-2 \in \mathbb{Z}^-$$ و $$+1 \in \mathbb{Z}^+$$
السؤال 16
قارن بين العددين $$\varepsilon = -12$$ و $$\zeta = -8$$
$$|\varepsilon| = 12 \quad \text{و} \quad |\zeta| = 8$$
استنتج علاقة الترتيب بين $$\varepsilon$$ و $$\zeta$$
السؤال 17
رتب العناصر حسب قيمها المطلقة تصاعدياً:
$$I = \{-4, +2, -6, +3\} \rightarrow \{|a_i|\}_{i=1}^4$$
حيث $$|a_1| \leq |a_2| \leq |a_3| \leq |a_4|$$
السؤال 18
قارن بين $$+0$$ و $$-0$$
$$+0 \quad \square \quad -0 \quad \text{حيث} \quad +0, -0 \in \{0\}$$
اشرح لماذا: $$+0 = -0 = 0$$
السؤال 19
أكمل القانون العام:
$$\forall a \in \mathbb{Z}^+, \forall b \in \mathbb{Z}^- : a \,\square\, b$$
طبق على أي مثال من اختيارك
السؤال 20
قارن بين العددين $$\eta = -50$$ و $$\theta = +1$$
$$\eta \in \mathbb{Z}^- \quad \text{و} \quad \theta \in \mathbb{Z}^+$$
طبق المبدأ الأساسي للترتيب في $$\mathbb{Z}$$
السؤال 21
أوجد العنصر الأعظمي للمجموعة $$J = \{-10, -5, -15, -2\}$$
$$\max(J) = \max\{-10, -5, -15, -2\} \subset \mathbb{Z}^-$$
استخدم خاصية الترتيب في $$\mathbb{Z}^-$$
السؤال 22
قارن بين العددين $$\iota = +13$$ و $$\kappa = +17$$
$$13 \quad \square \quad 17 \quad \text{في} \quad \mathbb{N}^*$$
استنتج: $$(+13) \,\square\, (+17)$$ في $$\mathbb{Z}^+$$
السؤال 23
رتب مجموعة $$K = \{-100, +50, -25, +75, 0\}$$ تصاعدياً
$$K = \mathbb{Z}^- \cap K \cup \{0\} \cup \mathbb{Z}^+ \cap K$$
حيث $$\mathbb{Z}^- \cap K = \{-100, -25\}$$ و $$\mathbb{Z}^+ \cap K = \{+50, +75\}$$
السؤال 24
قارن بين $$|-9|$$ و $$9$$
$$|-9| \quad \square \quad 9 \quad \text{في} \quad \mathbb{N}$$
حيث $$|-9| = 9$$ بتعريف القيمة المطلقة
السؤال 25
حدد أقرب عدد إلى الصفر من المجموعة $$L = \{-3, +5\}$$
$$d(0, -3) = |-3 - 0| = 3$$
$$d(0, +5) = |+5 - 0| = 5$$
قارن المسافتين واستنتج الجواب

−
المقارنة باستخدام إشارة الفرق

تعلم مقارنة عددين بحساب الفرق بينهما وتحديد إشارته. إذا كان $$a - b > 0$$ فإن $$a > b$$، وإذا كان $$a - b < 0$$ فإن $$a < b$$، وإذا كان $$a - b = 0$$ فإن $$a = b$$.
السؤال 26
احسب الفرق $$(+8) - (+3)$$ واستنتج المقارنة بين العددين
$$\text{الفرق: } \Delta = (+8) - (+3) = 8 - 3 = +5$$
بما أن $$\Delta > 0$$، فإن $$(+8) > (+3)$$
القاعدة: $$\forall a, b \in \mathbb{Z} : a - b > 0 \Leftrightarrow a > b$$
السؤال 27
احسب الفرق $$(-5) - (-2)$$ واستنتج المقارنة بين العددين
$$\Delta = (-5) - (-2) = -5 + 2 = -3$$
بما أن $$\Delta = -3 < 0$$، فإن $$(-5) < (-2)$$
تطبيق: $$a - b < 0 \Rightarrow a < b$$
السؤال 28
احسب الفرق $$(+4) - (-6)$$ واستنتج المقارنة بين العددين
$$\Delta = (+4) - (-6) = 4 + 6 = +10$$
نتيجة: $$\Delta = +10 > 0 \Rightarrow (+4) > (-6)$$
تأكيد: $$\mathbb{Z}^+ > \mathbb{Z}^-$$
السؤال 29
احسب الفرق $$(-7) - (+2)$$ واستنتج المقارنة بين العددين
$$\Delta = (-7) - (+2) = -7 - 2 = -9$$
تحليل: $$\Delta = -9 < 0$$، إذن $$(-7) < (+2)$$
عام: $$\forall x \in \mathbb{Z}^-, \forall y \in \mathbb{Z}^+ : x - y < 0$$
السؤال 30
احسب الفرق $$(0) - (-3)$$ واستنتج المقارنة بين العددين
$$\Delta = 0 - (-3) = 0 + 3 = +3$$
استنتاج: $$\Delta = +3 > 0 \Rightarrow 0 > (-3)$$
قاعدة: $$\forall z \in \mathbb{Z}^- : 0 > z$$
السؤال 31
باستخدام الفرق، قارن بين $$a = -12$$ و $$b = -15$$
$$\Delta = a - b = (-12) - (-15) = -12 + 15 = +3$$
تحليل الإشارة: $$\text{sign}(\Delta) = \text{sign}(+3) = +$$
النتيجة: $$a > b \Leftrightarrow (-12) > (-15)$$
السؤال 32
احسب $$(+10) - (+10)$$ ماذا تستنتج؟
$$\Delta = (+10) - (+10) = 10 - 10 = 0$$
مبرهنة: $$\Delta = 0 \Leftrightarrow a = b$$
تطبيق: $$(+10) = (+10)$$ - علاقة التساوي
السؤال 33
إذا كان $$a - b = +5$$، فما العلاقة بين $$a$$ و $$b$$؟
$$a - b = +5 \Rightarrow a - b > 0 \Rightarrow a > b$$
كما أن: $$a = b + 5$$، أي أن $$a$$ يزيد عن $$b$$ بـ $$5$$ وحدات
السؤال 34
إذا كان $$a - b = -3$$، فما العلاقة بين $$a$$ و $$b$$؟
$$a - b = -3 \Rightarrow a - b < 0 \Rightarrow a < b$$
أيضاً: $$a = b - 3$$، أي أن $$a$$ أصغر من $$b$$ بـ $$3$$ وحدات
السؤال 35
احسب $$(-1) - (-10)$$ وقارن بين العددين
$$\Delta = (-1) - (-10) = -1 + 10 = +9$$
تحليل: $$\Delta = +9 > 0$$
الخلاصة: $$(-1) > (-10)$$ بفارق $$9$$ وحدات
السؤال 36
باستخدام الفرق، تحقق من أن $$(+7) > (-2)$$
$$\text{التحقق: } \Delta = (+7) - (-2) = 7 + 2 = +9$$
بما أن $$\Delta = +9 > 0$$، فالعلاقة $$(+7) > (-2)$$ صحيحة ✓
$$\text{sign}(\Delta) = + \Rightarrow a > b$$
السؤال 37
احسب $$(+3) - (-3)$$ واستنتج المقارنة
$$\Delta = (+3) - (-3) = 3 + 3 = +6$$
تفسير: العددان متقابلان، والفرق بينهما $$= 2|a| = 2 \times 3 = 6$$
النتيجة: $$(+3) > (-3)$$
السؤال 38
إذا كان $$x - 5 > 0$$، فماذا يمكن قوله عن $$x$$؟
$$x - 5 > 0 \Leftrightarrow x > 5$$
تحليل: $$x \in \{6, 7, 8, 9, ...\} \subset \mathbb{Z}$$
أي: $$x \in ]5, +\infty[ \cap \mathbb{Z}$$
السؤال 39
إذا كان $$y - (-2) < 0$$، فماذا يمكن قوله عن $$y$$؟
$$y - (-2) < 0 \Leftrightarrow y + 2 < 0 \Leftrightarrow y < -2$$
مجال الحل: $$y \in ]-\infty, -2[ \cap \mathbb{Z}$$
أي: $$y \in \{..., -5, -4, -3\}$$
السؤال 40
احسب $$(-8) - (-5)$$ وحدد أي عدد أكبر
$$\Delta = (-8) - (-5) = -8 + 5 = -3$$
تحليل الإشارة: $$\Delta = -3 < 0$$
الاستنتاج: $$(-8) < (-5)$$، إذن $$(-5)$$ هو الأكبر
السؤال 41
باستخدام الفرق، تحقق من أن $$(-4) > (-9)$$
$$\text{البرهان: } \Delta = (-4) - (-9) = -4 + 9 = +5$$
بما أن $$\Delta = +5 > 0$$، فالعلاقة $$(-4) > (-9)$$ صحيحة ✓
مبدأ: القيمة المطلقة الأصغر تعطي عدداً سالباً أكبر
السؤال 42
احسب $$(+15) - (+12)$$ واستنتج المقارنة
$$\Delta = (+15) - (+12) = 15 - 12 = +3$$
تحليل: $$\Delta = +3 > 0$$
النتيجة: $$(+15) > (+12)$$ بفارق $$3$$ وحدات
السؤال 43
إذا كان $$a - b = 0$$، فما العلاقة بين $$a$$ و $$b$$؟
$$a - b = 0 \Leftrightarrow a = b$$
خاصية: علاقة التساوي في $$\mathbb{Z}$$
تفسير: العددان متطابقان، لا يوجد فرق بينهما
السؤال 44
احسب $$|(-6) - (+2)|$$ وما دلالة هذه القيمة؟
$$\Delta = (-6) - (+2) = -8$$
$$|\Delta| = |-8| = 8$$
دلالة: المسافة بين العددين $$(-6)$$ و $$(+2)$$ على المستقيم المدرج
السؤال 45
باستخدام الفرق، قارن بين $$\alpha = +20$$ و $$\beta = -30$$
$$\Delta = \alpha - \beta = (+20) - (-30) = 20 + 30 = +50$$
تحليل: $$\Delta = +50 > 0 \Rightarrow \alpha > \beta$$
تأكيد القاعدة: كل عدد موجب أكبر من كل عدد سالب
السؤال 46
احسب $$(-11) - (-7)$$ وحدد إشارة الفرق
$$\Delta = (-11) - (-7) = -11 + 7 = -4$$
إشارة الفرق: $$\text{sign}(\Delta) = \text{sign}(-4) = -$$
استنتاج: $$(-11) < (-7)$$
السؤال 47
إذا كان $$m - n > 0$$ و $$n > 0$$، فماذا يمكن قوله عن $$m$$؟
$$\begin{cases} m - n > 0 \Rightarrow m > n \\ n > 0 \end{cases}$$
بخاصية الانتقال: $$m > n > 0 \Rightarrow m > 0$$
النتيجة: $$m \in \mathbb{Z}^+$$ ومضمون أن $$m > n$$
السؤال 48
احسب $$(0) - (+5)$$ واستنتج المقارنة بين العددين
$$\Delta = 0 - (+5) = 0 - 5 = -5$$
تحليل: $$\Delta = -5 < 0 \Rightarrow 0 < (+5)$$
مبدأ عام: $$\forall p \in \mathbb{Z}^+ : 0 < p$$
السؤال 49
باستخدام الفرق، أثبت أن أي عدد موجب أكبر من أي عدد سالب
$$\forall a \in \mathbb{Z}^+, \forall b \in \mathbb{Z}^- : a - b = |a| + |b| > 0$$
البرهان: $$a > 0$$ و $$b < 0$$، فـ $$a - b > 0 - 0 = 0$$
النتيجة: $$a > b$$ لأي $$a \in \mathbb{Z}^+$$ و $$b \in \mathbb{Z}^-$$
السؤال 50
خلاصة: اشرح كيف تستخدم إشارة الفرق في مقارنة عددين نسبيين
$$\forall a, b \in \mathbb{Z} : \begin{cases} a - b > 0 \Leftrightarrow a > b \\ a - b = 0 \Leftrightarrow a = b \\ a - b < 0 \Leftrightarrow a < b \end{cases}$$
الطريقة: احسب $$\Delta = a - b$$، ثم حدد إشارة $$\Delta$$ لتعرف علاقة الترتيب

🎯 إتقان مقارنة الأعداد النسبية

تهانينا! لقد أتممت جميع الأسئلة الـ 50 حول مقارنة الأعداد الصحيحة النسبية. تذكر أن المقارنة الصحيحة للأعداد النسبية دليل القوة فهم الترتيب والمتراجحات في الرياضيات.

الطريقتان الدليل القوةيتان: المقارنة المباشرة باستخدام قواعد الإشارات، والمقارنة بحساب إشارة الفرق بين العددين.