200 سؤال وجواب

القيمة المطلقة للعدد $$a$$ ترمز بـ $$|a|$$ وتُعرّف كالتالي:
$$|a| = \begin{cases} a & \text{إذا كان } a \geq 0 \\ -a & \text{إذا كان } a < 0 \end{cases}$$
هي المسافة بين العدد والصفر على المستقيم المدرج

$$|+7| = 7$$
لأن $$+7 \geq 0$$، فالقيمة المطلقة تساوي العدد نفسه

$$|-12| = -(-12) = 12$$
لأن $$-12 < 0$$، فالقيمة المطلقة تساوي $$-(-12) = 12$$

$$|0| = 0$$
لأن $$0 \geq 0$$، فالقيمة المطلقة تساوي الصفر نفسه

$$|-(-8)| = |8| = 8$$
أولاً: $$-(-8) = 8$$
ثم: $$|8| = 8$$

أصغر قيمة ممكنة للقيمة المطلقة هي $$0$$
لأن $$|a| \geq 0$$ لكل عدد صحيح نسبي $$a$$
و $$|a| = 0$$ فقط عندما $$a = 0$$

$$|+15| + |-9| = 15 + 9 = 24$$

$$|-20| - |+13| = 20 - 13 = 7$$

$$|-6| \times |+4| = 6 \times 4 = 24$$

$$\frac{|-18|}{|+3|} = \frac{18}{3} = 6$$

$$|a| = a$$ عندما $$a \geq 0$$
أي عندما يكون العدد موجباً أو يساوي الصفر

$$|a| = -a$$ عندما $$a < 0$$
أي عندما يكون العدد سالباً

$$|+25| + |-25| = 25 + 25 = 50$$

$$||+7| - |-3|| = |7 - 3| = |4| = 4$$

$$||-12| + |+5|| = |12 + 5| = |17| = 17$$

$$|a|$$ تمثل هندسياً المسافة بين النقطة $$a$$ والنقطة $$0$$ (الأصل) على المستقيم المدرج

$$(-1) \times |-7| = (-1) \times 7 = -7$$

$$|+8| - |-8| = 8 - 8 = 0$$

$$|-(-(-5))| = |-5| = 5$$
أولاً: $$-(-(-5)) = -5$$
ثم: $$|-5| = 5$$

القيم المطلقة: $$|-8| = 8, |+3| = 3, |-1| = 1, |+10| = 10, |-5| = 5$$
الترتيب حسب القيم المطلقة: $$-1, +3, -5, -8, +10$$

لا، القيمة المطلقة لا يمكن أن تكون سالبة أبداً
$$|a| \geq 0$$ لكل عدد صحيح نسبي $$a$$
لأنها تمثل مسافة، والمسافة دائماً موجبة أو تساوي الصفر

$$2 \times |-6| + 3 \times |+4| = 2 \times 6 + 3 \times 4 = 12 + 12 = 24$$

$$|-15| \div |+5| - |-2| = 15 \div 5 - 2 = 3 - 2 = 1$$

إذا كان $$a = -100$$
فإن $$|a| = |-100| = 100$$

$$\frac{|-24| + |+36|}{|-12|} = \frac{24 + 36}{12} = \frac{60}{12} = 5$$

خاصية القيمة المطلقة للجداء:
$$|a \times b| = |a| \times |b|$$
لأي عددين صحيحين نسبيين $$a$$ و $$b$$

الطرف الأيسر: $$|(-3) \times (+5)| = |-15| = 15$$
الطرف الأيمن: $$|-3| \times |+5| = 3 \times 5 = 15$$
إذن الخاصية صحيحة: $$15 = 15$$ ✓

خاصية القيمة المطلقة للقسمة:
$$\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}$$ حيث $$b \neq 0$$
لأي عددين صحيحين نسبيين $$a$$ و $$b$$ بشرط $$b \neq 0$$

الطرف الأيسر: $$\left|\frac{-12}{+4}\right| = |-3| = 3$$
الطرف الأيمن: $$\frac{|-12|}{|+4|} = \frac{12}{4} = 3$$
إذن الخاصية صحيحة: $$3 = 3$$ ✓

$$|a| = |-a|$$ لكل عدد صحيح نسبي $$a$$
لأن المسافة من $$a$$ إلى الأصل تساوي المسافة من $$-a$$ إلى الأصل

$$|+9| = 9$$
$$|-9| = 9$$
إذن $$|+9| = |-9| = 9$$ ✓

$$|a^n| = |a|^n$$ لكل عدد صحيح نسبي $$a$$ وعدد طبيعي $$n$$
خاصة: $$|a^2| = |a|^2 = a^2$$

متراجحة المثلث:
$$|a + b| \leq |a| + |b|$$
لأي عددين صحيحين نسبيين $$a$$ و $$b$$

$$|a + b| = |(-5) + (+3)| = |-2| = 2$$
$$|a| + |b| = |-5| + |+3| = 5 + 3 = 8$$
$$2 \leq 8$$ ✓
المتراجحة محققة

$$|a + b| = |a| + |b|$$ عندما:
1. $$a \geq 0$$ و $$b \geq 0$$ (كلاهما موجب أو صفر)
2. $$a \leq 0$$ و $$b \leq 0$$ (كلاهما سالب أو صفر)
أي عندما يكون لهما نفس الإشارة

$$||a| - |b|| \leq |a - b|$$
لأي عددين صحيحين نسبيين $$a$$ و $$b$$

$$|k \times a| = |k| \times |a|$$
لأي عددين صحيحين نسبيين $$k$$ و $$a$$

$$|3 \times (-4)| = |3| \times |-4| = 3 \times 4 = 12$$

$$|a|^2 = a^2$$ لكل عدد صحيح نسبي $$a$$
لأن مربع أي عدد دائماً موجب أو يساوي الصفر

$$|-7|^2 = 7^2 = 49$$
$$(-7)^2 = 49$$
إذن $$|-7|^2 = (-7)^2 = 49$$ ✓

إذا كان $$|a| = |b|$$، فإن:
$$a = b$$ أو $$a = -b$$
أي أن $$a$$ و $$b$$ متساويان أو متقابلان

إذا كان $$|x| = 8$$
فإن $$x = 8$$ أو $$x = -8$$
مجموعة الحل: $$\{-8, +8\}$$

$$|a| = \sqrt{a^2}$$ لكل عدد صحيح نسبي $$a$$
لأن الجذر التربيعي دائماً موجب ويساوي القيمة المطلقة

$$|a - b| = |-(b - a)| = |-1| \times |b - a| = 1 \times |b - a| = |b - a|$$
إذن $$|a - b| = |b - a|$$ ✓

$$|a| \times |-a| = |a| \times |a| = |a|^2 = a^2$$

$$|(-2)^3| + |(-2)|^3 = |-8| + |2|^3 = 8 + 2^3 = 8 + 8 = 16$$

لا، ليس دائماً
مثال: $$a = 5, b = -3$$
$$|5 + (-3)| = |2| = 2$$
$$|5| + |-3| = 5 + 3 = 8$$
$$2 \neq 8$$

إذا كان $$a \geq 0$$: فإن $$|a| = a$$، إذن $$-a \leq 0 \leq a$$، أي $$-|a| \leq a = |a|$$
إذا كان $$a < 0$$: فإن $$|a| = -a$$، إذن $$a < 0 < -a$$، أي $$a < |a|$$ و $$a > -|a|$$
في كلتا الحالتين: $$-|a| \leq a \leq |a|$$ ✓

لما كان $$|x| \geq 0$$ لكل $$x$$
فإن أصغر قيمة لـ $$|x|$$ هي $$0$$ عندما $$x = 0$$
إذن أكبر قيمة لـ $$5 - |x|$$ هي $$5 - 0 = 5$$

خصائص القيمة المطلقة الأساسية:
1. $$|a| \geq 0$$ دائماً
2. $$|a| = |-a|$$
3. $$|a \times b| = |a| \times |b|$$
4. $$\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}$$ ($$b \neq 0$$)
5. $$|a + b| \leq |a| + |b|$$ (متراجحة المثلث)
6. $$|a|^2 = a^2$$

$$|x| = 5$$
$$x = 5$$ أو $$x = -5$$
مجموعة الحل: $$\{-5, +5\}$$

$$|x| = 0$$
$$x = 0$$ فقط
مجموعة الحل: $$\{0\}$$

$$|x| = -3$$
لا توجد حلول لأن $$|x| \geq 0$$ دائماً
مجموعة الحل: $$\emptyset$$ (مجموعة فارغة)

$$|x - 3| = 2$$
$$x - 3 = 2$$ أو $$x - 3 = -2$$
$$x = 5$$ أو $$x = 1$$
مجموعة الحل: $$\{1, 5\}$$

$$|x + 4| = 7$$
$$x + 4 = 7$$ أو $$x + 4 = -7$$
$$x = 3$$ أو $$x = -11$$
مجموعة الحل: $$\{-11, 3\}$$

$$|x| < 3$$
$$-3 < x < 3$$
في الأعداد الصحيحة النسبية: $$x \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$$

$$|x| \leq 2$$
$$-2 \leq x \leq 2$$
في الأعداد الصحيحة النسبية: $$x \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$$

$$|x| > 4$$
$$x > 4$$ أو $$x < -4$$
في الأعداد الصحيحة النسبية: $$x \in \{..., -7, -6, -5\} \cup \{5, 6, 7, ...\}$$

$$|x| \geq 1$$
$$x \geq 1$$ أو $$x \leq -1$$
في الأعداد الصحيحة النسبية: $$x \in \{..., -3, -2, -1\} \cup \{1, 2, 3, ...\}$$

$$|x| = |3| = 3$$
$$x = 3$$ أو $$x = -3$$
مجموعة الحل: $$\{-3, 3\}$$

$$|2x - 1| = 5$$
$$2x - 1 = 5$$ أو $$2x - 1 = -5$$
$$2x = 6$$ أو $$2x = -4$$
$$x = 3$$ أو $$x = -2$$
مجموعة الحل: $$\{-2, 3\}$$

$$|x - 1| < 2$$
$$-2 < x - 1 < 2$$
$$-2 + 1 < x < 2 + 1$$
$$-1 < x < 3$$
في الأعداد الصحيحة النسبية: $$x \in \{0, 1, 2\}$$

$$|x + 2| \geq 3$$
$$x + 2 \geq 3$$ أو $$x + 2 \leq -3$$
$$x \geq 1$$ أو $$x \leq -5$$
في الأعداد الصحيحة النسبية: $$x \in \{..., -7, -6, -5\} \cup \{1, 2, 3, ...\}$$

$$|x - 1| = |x + 3|$$
الحالة 1: $$x - 1 = x + 3 \Rightarrow -1 = 3$$ (مستحيل)
الحالة 2: $$x - 1 = -(x + 3) \Rightarrow x - 1 = -x - 3$$
$$2x = -2 \Rightarrow x = -1$$
مجموعة الحل: $$\{-1\}$$

$$|x| + 3 = 8$$
$$|x| = 8 - 3 = 5$$
$$x = 5$$ أو $$x = -5$$
مجموعة الحل: $$\{-5, 5\}$$

$$|x| - 2 < 1$$
$$|x| < 1 + 2 = 3$$
$$-3 < x < 3$$
في الأعداد الصحيحة النسبية: $$x \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$$

$$3|x| = 12$$
$$|x| = \frac{12}{3} = 4$$
$$x = 4$$ أو $$x = -4$$
مجموعة الحل: $$\{-4, 4\}$$

$$|x|^2 = 16$$
$$|x| = \sqrt{16} = 4$$ (نأخذ الجذر الموجب)
$$x = 4$$ أو $$x = -4$$
مجموعة الحل: $$\{-4, 4\}$$

من $$|x| \leq 3$$: $$-3 \leq x \leq 3$$
من $$|x| \geq 1$$: $$x \leq -1$$ أو $$x \geq 1$$
التقاطع: $$[-3, -1] \cup [1, 3]$$
في الأعداد الصحيحة النسبية: $$x \in \{-3, -2, -1, 1, 2, 3\}$$

المطلوب: $$|x - 2| < 3$$
$$-3 < x - 2 < 3$$
$$-3 + 2 < x < 3 + 2$$
$$-1 < x < 5$$
الأعداد الصحيحة النسبية: $$x \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$$

$$||x| - 2| = 1$$
$$|x| - 2 = 1$$ أو $$|x| - 2 = -1$$
$$|x| = 3$$ أو $$|x| = 1$$
من $$|x| = 3$$: $$x = \pm 3$$
من $$|x| = 1$$: $$x = \pm 1$$
مجموعة الحل: $$\{-3, -1, 1, 3\}$$

نحلل حسب الفترات:
إذا $$x < 0$$: $$-x + (4 - x) = 4 \Rightarrow 4 - 2x = 4 \Rightarrow x = 0$$ (تناقض)
إذا $$0 \leq x < 4$$: $$x + (4 - x) = 4 \Rightarrow 4 = 4$$ (صحيح)
إذا $$x \geq 4$$: $$x + (x - 4) = 4 \Rightarrow 2x - 4 = 4 \Rightarrow x = 4$$
مجموعة الحل: $$[0, 4] \cap \mathbb{Z} = \{0, 1, 2, 3, 4\}$$

نحلل حسب الفترات:
إذا $$x \leq -1$$: $$(1 - x) + (-1 - x) = -2x \leq 4 \Rightarrow x \geq -2$$
فالحل في هذه الفترة: $$[-2, -1]$$
إذا $$-1 < x < 1$$: $$(1 - x) + (x + 1) = 2 \leq 4$$ (صحيح دائماً)
فالحل في هذه الفترة: $$(-1, 1)$$
إذا $$x \geq 1$$: $$(x - 1) + (x + 1) = 2x \leq 4 \Rightarrow x \leq 2$$
فالحل في هذه الفترة: $$[1, 2]$$
الحل الكامل: $$[-2, 2] \cap \mathbb{Z} = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$$

$$|x - 2| = x - 2$$
هذا يحدث عندما $$x - 2 \geq 0$$، أي $$x \geq 2$$
في هذه الحالة $$|x - 2| = x - 2$$
إذن كل $$x \geq 2$$ هو حل
عدد الحلول في الأعداد الصحيحة النسبية: لا منته

طرق حل معادلات القيمة المطلقة:
1. $$|A| = k$$ حيث $$k > 0$$: $$A = k$$ أو $$A = -k$$
2. $$|A| = k$$ حيث $$k = 0$$: $$A = 0$$
3. $$|A| = k$$ حيث $$k < 0$$: لا حل
4. $$|A| = |B|$$: $$A = B$$ أو $$A = -B$$
5. للمتراجحات: نحول إلى نظام متراجحات خطية
6. للمعادلات المعقدة: تحليل بالفترات