80 سؤال

خاصية الإبدال في الجمع: a + b = b + a
لأي عددين صحيحين نسبيين a و b

5 + (-3) = 2
(-3) + 5 = 2
إذن 5 + (-3) = (-3) + 5 ✓

الطرف الأيسر: (-7) + 12 = 5
الطرف الأيمن: 12 + (-7) = 5
نعم، المساواة صحيحة حسب خاصية الإبدال

حسب خاصية الإبدال في الجمع:
b + a = a + b = 15

مثال: (-8) + (-5) = (-5) + (-8)
كلا الطرفين = -13

نعم، 0 + a = a + 0 = a
لأي عدد صحيح نسبي a

الطرف الأيسر: (-15) + 0 = -15
الطرف الأيمن: 0 + (-15) = -15
المساواة صحيحة ✓

تسمح بتغيير ترتيب الأعداد في الجمع دون تغيير النتيجة، مما يسهل الحسابات الذهنية والكتابية

حسب خاصية الإبدال:
(-20) + x = x + (-20) = 5

الطرف الأيسر: 100 + (-50) = 50
الطرف الأيمن: (-50) + 100 = 50
إذن المساواة صحيحة حسب خاصية الإبدال

خاصية التجميع في الجمع: (a + b) + c = a + (b + c)
لأي ثلاثة أعداد صحيحة نسبية a و b و c

الطرف الأيسر: (3 + 5) + 7 = 8 + 7 = 15
الطرف الأيمن: 3 + (5 + 7) = 3 + 12 = 15
المساواة صحيحة ✓

[(-4) + 6] + (-2) = 2 + (-2) = 0
(-4) + [6 + (-2)] = (-4) + 4 = 0
النتيجتان متساويتان ✓

تسمح بتغيير طريقة تجميع الأعداد لتسهيل الحساب، مثل تجميع الأعداد التي تعطي مجموعاً سهلاً

(-8) + 12 + 8 = (-8) + (12 + 8) = (-8) + 20 = 12
أو: (-8) + 12 + 8 = [(-8) + 8] + 12 = 0 + 12 = 12

الطرف الأيسر: ((-5) + (-3)) + 10 = (-8) + 10 = 2
الطرف الأيمن: (-5) + ((-3) + 10) = (-5) + 7 = 2
المساواة صحيحة حسب خاصية التجميع ✓

الطريقة الأولى: (15 + (-10)) + (-5) = 5 + (-5) = 0
الطريقة الثانية: 15 + ((-10) + (-5)) = 15 + (-15) = 0

نعم، يمكن تطبيقها على أي عدد من الأعداد:
(a + b + c) + d = a + (b + c + d) = (a + b) + (c + d)

25 + (-15) + 75 + (-25) = [25 + (-25)] + [(-15) + 75] = 0 + 60 = 60

الطرف الأيسر: 0 + (a + b) = a + b
الطرف الأيمن: (0 + a) + b = a + b
المساواة صحيحة ✓

العنصر المحايد في الجمع هو الصفر (0)
لأن: a + 0 = 0 + a = a لأي عدد a

(-25) + 0 = -25
هذا يؤكد أن 0 هو العنصر المحايد

العكس الجمعي للعدد a هو -a
لأن: a + (-a) = (-a) + a = 0

العكس الجمعي لـ (-7) هو -(-7) = +7
التحقق: (-7) + 7 = 0 ✓

العكس الجمعي للصفر هو الصفر نفسه: -0 = 0
لأن: 0 + 0 = 0

15 + (-15) = 0 ✓
هذا يؤكد أن -15 هو العكس الجمعي لـ 15

لا، الصفر هو العنصر المحايد الوحيد في الجمع
لأنه العدد الوحيد الذي يحقق: a + e = a لكل a

إذا كان a + b = 0، فإن b = -a
أي أن a و b عكسان جمعيان لبعضهما

-(-12) = 12
العكس الجمعي لـ 12 هو -12

n + 0 = n
الصفر هو العنصر المحايد في الجمع

لا، الطرح ليس عملية تبديلية
مثال: 8 - 3 = 5 ولكن 3 - 8 = -5
إذن 8 - 3 ≠ 3 - 8

الطرف الأيسر: (-5) - 2 = -7
الطرف الأيمن: 2 - (-5) = 2 + 5 = 7
-7 ≠ 7 ✓

لا، الطرح ليس عملية تجميعية
مثال: (10 - 6) - 2 = 4 - 2 = 2
ولكن: 10 - (6 - 2) = 10 - 4 = 6
إذن 2 ≠ 6

[(-3) - 5] - 2 = (-8) - 2 = -10
(-3) - [5 - 2] = (-3) - 3 = -6
النتيجتان مختلفتان: -10 ≠ -6

a - b = b - a عندما a = b
في هذه الحالة: a - a = a - a = 0

a - b = -(b - a)
أي أن a - b و b - a متقابلان (نقيضان)

لأن الطرح ليس عملية تجميعية، فترتيب العمليات يؤثر على النتيجة
(a - b) - c ≠ a - (b - c) في العموم

إذا كان x - y = 10
فإن y - x = -(x - y) = -10

(15 - 10) - 3 = 5 - 3 = 2
15 - (10 - 3) = 15 - 7 = 8
2 ≠ 8 ✓

مثال: (-8) - (-3) = (-8) + 3 = -5
ولكن: (-3) - (-8) = (-3) + 8 = 5
إذن -5 ≠ 5

القاعدة: a - b = a + (-b)
أي أن طرح عدد يساوي جمع نقيضه

7 - 3 = 7 + (-3)

(-5) - 8 = (-5) + (-8)

6 - (-4) = 6 + (-(-4)) = 6 + 4

(-9) - (-2) = (-9) + (-(-2)) = (-9) + 2

لأن الجمع له خصائص مفيدة (الإبدال والتجميع) مما يسهل الحسابات

12 - 15 = 12 + (-15) = -3

(-10) - (-7) = (-10) + 7 = -3

a - b + c - d = a + (-b) + c + (-d)

20 - (-15) - 8 = 20 + 15 + (-8) = 35 + (-8) = 27

موجب + موجب = موجب
نجمع القيمتين المطلقتين والنتيجة موجبة

سالب + سالب = سالب
نجمع القيمتين المطلقتين والنتيجة سالبة

نطرح القيمة المطلقة الأصغر من الأكبر
إشارة النتيجة = إشارة العدد ذي القيمة المطلقة الأكبر

موجب - موجب = موجب + سالب
النتيجة تعتمد على القيم المطلقة

سالب - سالب = سالب + موجب
النتيجة تعتمد على القيم المطلقة

موجب - سالب = موجب + موجب = موجب
مثال: 5 - (-3) = 5 + 3 = 8

سالب - موجب = سالب + سالب = سالب
مثال: (-4) - 3 = (-4) + (-3) = -7

عندما نجمع عدداً مع نقيضه: a + (-a) = 0
أو عندما مجموع الأعداد الموجبة = مجموع القيم المطلقة للأعداد السالبة

سالب + موجب: |12| > |8|
النتيجة = 12 - 8 = +4 (موجب)

سالب + سالب = سالب
النتيجة = -(15 + 9) = -24

إذا كان a و b عددين صحيحين نسبيين، فإن a + b أيضاً عدد صحيح نسبي
أي أن ℤ مغلقة تحت عملية الجمع

نعم، إذا كان a و b عددين صحيحين نسبيين، فإن a - b أيضاً عدد صحيح نسبي

مثال: (-7) + 12 = 5
-7 ∈ ℤ, 12 ∈ ℤ, 5 ∈ ℤ

مثال: 3 - 8 = -5
3 ∈ ℤ, 8 ∈ ℤ, -5 ∈ ℤ

لا، مثال: 3 - 5 = -2
3, 5 ∈ ℕ ولكن -2 ∉ ℕ

تضمن أن نتيجة العملية تبقى في نفس المجموعة، مما يجعل المجموعة "مكتملة" تحت هذه العملية

(-100) + 50 = -50
-100 ∈ ℤ, 50 ∈ ℤ, -50 ∈ ℤ ✓

25 - (-75) = 25 + 75 = 100
25 ∈ ℤ, -75 ∈ ℤ, 100 ∈ ℤ ✓

نعم، مجموع عددين زوجيين هو عدد زوجي
مثال: 6 + 8 = 14 (زوجي)

لا، مجموع عددين فرديين هو عدد زوجي
مثال: 3 + 5 = 8 (زوجي ∉ الأعداد الفردية)

باستخدام الإبدال والتجميع:
[(-25) + 25] + [17 + (-17)] = 0 + 0 = 0

a + (b + c) + (-a) = [a + (-a)] + (b + c) = 0 + (b + c) = b + c

إذا كان a + b + c = 0
فإن a + b = -c

(a + b) + [(-a) + (-b)] = [a + (-a)] + [b + (-b)] = 0 + 0 = 0
إذن (-a) + (-b) هو نقيض (a + b)
أي -(a + b) = (-a) + (-b) ✓

-(a - b) = -(a + (-b)) = (-a) + (-(-b)) = (-a) + b ✓

(a - b) + (b - c) + (c - a) = a - b + b - c + c - a = 0

نعم، حسب خاصيتي الإبدال والتجميع:
(a + b) + c = a + (b + c) = a + (c + b)

x + [(-15) + 15] = 20
x + 0 = 20
x = 20

a - b = c
a + (-b) = c
-b = c - a
b = a - c

خصائص الجمع:
1. الإبدال: a + b = b + a
2. التجميع: (a + b) + c = a + (b + c)
3. العنصر المحايد: a + 0 = a
4. العكس الجمعي: a + (-a) = 0
5. الانغلاق: a, b ∈ ℤ ⟹ a + b ∈ ℤ
خصائص الطرح:
1. عدم الإبدال: a - b ≠ b - a
2. عدم التجميع: (a - b) - c ≠ a - (b - c)
3. التحويل: a - b = a + (-b)
4. الانغلاق: a, b ∈ ℤ ⟹ a - b ∈ ℤ