+
−
×
ℤ
=
<
>
±
|

🎯 الأعداد الصحيحة النسبية

500 تمرين حول المجموعة $\mathbb{Z}$ مع حلول مفصّلة

ℤ
مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية

السؤال 1
ما هي المجموعة $\mathbb{Z}$ ؟
$\mathbb{Z}$ هي مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية، أي مجموعة كل الأعداد الصحيحة الموجبة والسالبة والصفر.
$\mathbb{Z} = \{..., -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, ...\}$
وهي تشمل الأعداد الطبيعية $\mathbb{N}$ وأضدادها.
السؤال 2
أعط ثلاثة أمثلة لأعداد صحيحة نسبية موجبة.
تُمثَّل الأعداد الصحيحة النسبية الموجبة بعلامة $+$ (والتي يمكن حذفها) وهي أكبر من الصفر.
أمثلة : $+5$ (أو ببساطة $5$)، $+12$، $+100$
السؤال 3
أعط ثلاثة أمثلة لأعداد صحيحة نسبية سالبة.
تُمثَّل الأعداد الصحيحة النسبية السالبة دائماً بعلامة $-$ وهي أصغر من الصفر.
أمثلة : $-3$، $-7$، $-25$
السؤال 4
هل العدد $0$ موجب أم سالب؟
العدد صفر هو حالة خاصة في مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية.
العدد $0$ ليس موجباً ولا سالباً. إنه محايد.
ويفصل الأعداد الموجبة عن الأعداد السالبة على المستقيم المدرج.
السؤال 5
ما هو ضدّ العدد $+7$ ؟
ضدّ العدد $a$ هو العدد $-a$ بحيث يكون مجموعهما يساوي $0$ : $a + (-a) = 0$.
ضدّ العدد $+7$ هو $-7$
تحقق : $(+7) + (-7) = 0$
السؤال 6
ما هو ضدّ العدد $-12$ ؟
ضدّ العدد $-12$ يُكتب $-(-12)$.
ضدّ العدد $-12$ هو $+12$ (أو ببساطة $12$)
لأن $-(-12) = +12$ و $(-12) + (+12) = 0$
السؤال 7
احسب $|+8|$
القيمة المطلقة لعدد موجب هي العدد نفسه.
$|+8| = 8$
تمثل القيمة المطلقة المسافة إلى الصفر على المستقيم المدرج.
السؤال 8
احسب $|-15|$
القيمة المطلقة لعدد سالب هي ضدّ هذا العدد.
$|-15| = 15$
لأن $-15$ يبعد $15$ وحدة عن الصفر.
السؤال 9
احسب $|0|$
القيمة المطلقة للصفر هي صفر، لأنه يبعد مسافة صفر عن نفسه.
$|0| = 0$
السؤال 10
عين العدد $+3$ على مستقيم مدرج.
على مستقيم مدرج، يمثل الأصل $0$. توجد الأعداد الموجبة على يمين الأصل.
تقع النقطة $+3$ على بعد 3 وحدات على يمين الأصل.
←────●────●────●────●────●────●────●────→
    -2   -1    0   +1   +2   +3   +4
السؤال 20
ماذا يساوي $-(+11)$ ؟
ضدّ العدد الموجب هو عدد سالب.
$-(+11) = -11$
السؤال 25
هل يوجد عدد صحيح نسبي قيمته المطلقة هي $-4$ ؟
القيمة المطلقة لعدد ما تكون دائماً موجبة أو تساوي الصفر.
لا، لا يوجد أي عدد قيمته المطلقة سالبة.
حسب التعريف، $|a| \geq 0$ لأي عدد حقيقي $a$.

+
الجمع في $\mathbb{Z}$

السؤال 101
احسب $(+3) + (+5)$
لجمع عددين لهما نفس العلامة (هنا موجبتين)، نجمع قيمتيهما المطلقتين ونحتفظ بالعلامة المشتركة.
$(+3) + (+5) = +8$
$|+3| + |+5| = 3 + 5 = 8$، والعلامة هي $+$.
السؤال 102
احسب $(-7) + (-4)$
لجمع عددين لهما نفس العلامة (هنا سالبتين)، نجمع قيمتيهما المطلقتين ونحتفظ بالعلامة المشتركة.
$(-7) + (-4) = -11$
$|-7| + |-4| = 7 + 4 = 11$، والعلامة هي $-$.
السؤال 103
احسب $(+8) + (-3)$
لجمع عددين بعلامتين مختلفتين، نطرح القيمة المطلقة الأصغر من القيمة المطلقة الأكبر، ونأخذ علامة العدد الذي له أكبر قيمة مطلقة.
$(+8) + (-3) = +5$
$|+8| - |-3| = 8 - 3 = 5$، والعلامة هي $+$ لأن $|+8| > |-3|$.
السؤال 104
احسب $(-6) + (+9)$
عددان بعلامتين مختلفتين: نطرح القيم المطلقة ونأخذ علامة القيمة المطلقة الأكبر.
$(-6) + (+9) = +3$
$|+9| - |-6| = 9 - 6 = 3$، والعلامة هي $+$ لأن $|+9| > |-6|$.
السؤال 105
احسب $(+5) + (-5)$
عند جمع عدد وضده، فإن النتيجة تكون دائماً صفراً.
$(+5) + (-5) = 0$
لأن $|+5| = |-5| = 5$، إذن الفرق هو صفر.
السؤال 113
ما هو العنصر المحايد لعملية الجمع في $\mathbb{Z}$ ؟
العنصر المحايد لعملية الجمع هو العدد الذي، عند إضافته إلى أي عدد آخر، لا يغير هذا العدد.
العنصر المحايد لعملية الجمع في $\mathbb{Z}$ هو $0$.
لكل $a \in \mathbb{Z}$ : $a + 0 = 0 + a = a$

-
الطرح في $\mathbb{Z}$

السؤال 201
احسب $(+8) - (+3)$
طرح عدد نسبي يعادل إضافة ضده: $a - b = a + (-b)$
$(+8) - (+3) = (+8) + (-3) = +5$
السؤال 207
ما هي قاعدة طرح عدد نسبي؟
القاعدة الأساسية للطرح في $\mathbb{Z}$.
طرح عدد نسبي يعادل إضافة ضده: $a - b = a + (-b)$
هذه القاعدة تحول أي عملية طرح إلى عملية جمع.

≤
المقارنة في $\mathbb{Z}$

السؤال 301
قارن بين $+5$ و $+3$
لمقارنة عددين موجبين، نقارن قيمتيهما.
$+5 > +3$ لأن $5 > 3$
على المستقيم المدرج، العدد $+5$ على يمين العدد $+3$.
السؤال 302
قارن بين $-7$ و $-4$
بالنسبة لعددين سالبين، الأكبر هو العدد الذي له أصغر قيمة مطلقة.
$-7 < -4$ لأن $|-7| = 7 > 4 = |-4|$
على المستقيم المدرج، العدد $-7$ على يسار العدد $-4$.

×
الضرب في $\mathbb{Z}$

السؤال 401
احسب $(+3) \times (+5)$
قاعدة العلامات: $(+) \times (+) = (+)$
$(+3) \times (+5) = +15$
جداء عددين موجبين هو عدد موجب.
السؤال 405
ما هي قاعدة العلامات لعملية الضرب؟
قواعد العلامات لعملية الضرب:
• $(+) \times (+) = (+)$
• $(-) \times (-) = (+)$
• $(+) \times (-) = (-)$
• $(-) \times (+) = (-)$
باختصار: نفس العلامة ← جداء موجب، علامات مختلفة ← جداء سالب.

🎉 تهانينا ! 🎉

لقد استكشفت الأسئلة المتعلقة بالأعداد الصحيحة النسبية !

واصل التمارين لإتقان المجموعة $\mathbb{Z}$