السؤال 66
▼
أوجد $$A \cap B$$ إذا كان $$A = \{-2, -1, 0, +1\}$$ و $$B = \{0, +1, +2, +3\}$$
A ∩ B = {0, +1}
السؤال 67
▼
أوجد $$A \cup B$$ إذا كان $$A = \{-2, -1, 0, +1\}$$ و $$B = \{0, +1, +2, +3\}$$
A ∪ B = {-2, -1, 0, +1, +2, +3}
السؤال 68
▼
أوجد $$\mathbb{Z}^+ \cap \{-1, 0, +1, +2\}$$
ℤ⁺ ∩ {-1, 0, +1, +2} = {+1, +2}
السؤال 69
▼
أوجد $$\mathbb{Z}^- \cup \{0, +1\}$$
ℤ⁻ ∪ {0, +1} = {..., -3, -2, -1, 0, +1}
السؤال 70
▼
أوجد $$C \cap D$$ إذا كان $$C = \{x \in \mathbb{Z} : |x| \leq 2\}$$ و $$D = \{x \in \mathbb{Z} : x > 0\}$$
C = {-2, -1, 0, +1, +2}, D = ℤ⁺
C ∩ D = {+1, +2}
السؤال 71
▼
أوجد $$E \cup F$$ إذا كان $$E = \{-1, 0, +1\}$$ و $$F = \{+1, +2, +3\}$$
E ∪ F = {-1, 0, +1, +2, +3}
السؤال 72
▼
هل $$\mathbb{Z}^+ \cap \mathbb{Z}^- = \emptyset$$؟
نعم، ℤ⁺ ∩ ℤ⁻ = ∅ لأن لا يوجد عدد موجب وسالب في نفس الوقت
السؤال 73
▼
أوجد $$G \cap H$$ إذا كان $$G = \{x \in \mathbb{Z} : -3 \leq x \leq +1\}$$ و $$H = \{x \in \mathbb{Z} : -1 \leq x \leq +3\}$$
G = {-3, -2, -1, 0, +1}, H = {-1, 0, +1, +2, +3}
G ∩ H = {-1, 0, +1}
السؤال 74
▼
أوجد $$\{-2, +2\} \cap \{x \in \mathbb{Z} : |x| = 2\}$$
{x ∈ ℤ : |x| = 2} = {-2, +2}
{-2, +2} ∩ {-2, +2} = {-2, +2}
السؤال 75
▼
أوجد عدد عناصر المجموعة $$\{x \in \mathbb{Z} : -2 \leq x \leq +2\} \cup \{x \in \mathbb{Z} : |x| = 3\}$$
المجموعة الأولى = {-2, -1, 0, +1, +2}
المجموعة الثانية = {-3, +3}
الوحدة = {-3, -2, -1, 0, +1, +2, +3}
عدد العناصر = 7
السؤال 76
▼
أوجد $$I \cap J$$ إذا كان $$I = \{x \in \mathbb{Z} : x^2 \leq 4\}$$ و $$J = \mathbb{Z}^+$$
I = {x ∈ ℤ : |x| ≤ 2} = {-2, -1, 0, +1, +2}
I ∩ J = {-2, -1, 0, +1, +2} ∩ ℤ⁺ = {+1, +2}
السؤال 77
▼
أوجد $$K \cup L$$ إذا كان $$K = \{-1, +1\}$$ و $$L = \{0\}$$
K ∪ L = {-1, 0, +1}
السؤال 78
▼
إذا كان $$M \cap N = \{0, +1\}$$ و $$M = \{-1, 0, +1, +2\}$$، أوجد أصغر مجموعة ممكنة لـ $$N$$
أصغر مجموعة ممكنة لـ N هي {0, +1}
السؤال 79
▼
أوجد $$P \cap Q$$ إذا كان $$P = \{x \in \mathbb{Z} : x \text{ زوجي}\}$$ و $$Q = \{-3, -2, -1, 0, +1, +2, +3\}$$
P ∩ Q = {-2, 0, +2} (الأعداد الزوجية في Q)
السؤال 80
▼
أوجد $$R \cup S$$ إذا كان $$R = \{x \in \mathbb{Z} : x < 0\}$$ و $$S = \{0, +1, +2\}$$
R ∪ S = {..., -3, -2, -1, 0, +1, +2}
السؤال 81
▼
تحقق من صحة: $$\mathbb{Z} = \mathbb{Z}^+ \cup \{0\} \cup \mathbb{Z}^-$$
صحيح، لأن أي عدد صحيح نسبي إما موجب أو سالب أو يساوي الصفر
السؤال 82
▼
أوجد $$T \cap U$$ إذا كان $$T = \{x \in \mathbb{Z} : |x| \leq 1\}$$ و $$U = \{x \in \mathbb{Z} : x^2 \leq 1\}$$
T = {-1, 0, +1}, U = {-1, 0, +1}
T ∩ U = {-1, 0, +1}
السؤال 83
▼
أوجد $$V \setminus W$$ (الفرق) إذا كان $$V = \{-2, -1, 0, +1, +2\}$$ و $$W = \{0, +1, +2\}$$
V \ W = {-2, -1} (عناصر V التي لا تنتمي إلى W)
السؤال 84
▼
أوجد $$(X \cup Y) \cap Z$$ إذا كان $$X = \{-1, 0\}$$، $$Y = \{0, +1\}$$، و $$Z = \{0, +1, +2\}$$
X ∪ Y = {-1, 0, +1}
(X ∪ Y) ∩ Z = {-1, 0, +1} ∩ {0, +1, +2} = {0, +1}
السؤال 85
▼
هل $$A \cap B = B \cap A$$ دائماً؟
نعم، تقاطع المجموعات عملية تبديلية: A ∩ B = B ∩ A
السؤال 86
▼
هل $$A \cup B = B \cup A$$ دائماً؟
نعم، وحدة المجموعات عملية تبديلية: A ∪ B = B ∪ A
السؤال 87
▼
أوجد $$\mathbb{Z} \cap \mathbb{N}$$
ℤ ∩ ℕ = ℕ = {0, 1, 2, 3, ...}
السؤال 88
▼
متى يكون $$A \cap B = A$$؟
A ∩ B = A عندما A ⊆ B (A جزئية من B)
السؤال 89
▼
متى يكون $$A \cup B = B$$؟
A ∪ B = B عندما A ⊆ B (A جزئية من B)
السؤال 90
▼
أوجد عدد عناصر $$\{x \in \mathbb{Z} : |x| < 3\} \cap \{x \in \mathbb{Z} : x \geq 0\}$$
المجموعة الأولى = {-2, -1, 0, +1, +2}
المجموعة الثانية = {0, +1, +2, +3, ...}
التقاطع = {0, +1, +2}
عدد العناصر = 3
السؤال 91
▼
أوجد $$\{x \in \mathbb{Z} : x^2 = 4\} \cup \{x \in \mathbb{Z} : x^2 = 9\}$$
المجموعة الأولى = {-2, +2}
المجموعة الثانية = {-3, +3}
الوحدة = {-3, -2, +2, +3}
السؤال 92
▼
أوجد $$\{x \in \mathbb{Z} : x \leq 2\} \cap \{x \in \mathbb{Z} : x \geq -1\}$$
المجموعة الأولى = {..., -1, 0, +1, +2}
المجموعة الثانية = {-1, 0, +1, +2, +3, ...}
التقاطع = {-1, 0, +1, +2}
السؤال 93
▼
هل يمكن أن يكون $$A \cap B$$ أكبر من $$A$$؟
لا، دائماً A ∩ B ⊆ A لأن التقاطع يحتوي فقط على العناصر المشتركة
السؤال 94
▼
أوجد $$\emptyset \cup A$$ حيث $$A = \{-1, 0, +1\}$$
∅ ∪ A = A = {-1, 0, +1}
السؤال 95
▼
أوجد $$\emptyset \cap A$$ حيث $$A = \{-1, 0, +1\}$$
∅ ∩ A = ∅
السؤال 96
▼
تحقق من صحة: $$(A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)$$
هذه هي قانون التوزيع في الجبر البولياني، وهي صحيحة دائماً
السؤال 97
▼
أوجد $$A \cup A$$ و $$A \cap A$$ حيث $$A = \{-2, 0, +2\}$$
A ∪ A = A = {-2, 0, +2}
A ∩ A = A = {-2, 0, +2}
السؤال 98
▼
أوجد عدد المجموعات الجزئية للمجموعة $$\{-1, 0, +1\}$$
عدد المجموعات الجزئية = 2³ = 8 مجموعات
السؤال 99
▼
اكتب جميع المجموعات الجزئية للمجموعة $$\{0, +1\}$$
المجموعات الجزئية هي: ∅, {0}, {+1}, {0, +1}
السؤال 100
▼
خلاصة: اذكر الخصائص الأساسية لعمليتي التقاطع والوحدة في ℤ
الخصائص الأساسية:
1) التبديل: A ∩ B = B ∩ A, A ∪ B = B ∪ A
2) التجميع: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
3) التوزيع: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
4) العنصر المحايد: A ∪ ∅ = A, A ∩ ℤ = A
5) الامتصاص: A ∩ ∅ = ∅, A ∪ ℤ = ℤ