📐 حل معادلات القيمة المطلقة للكسور

السنة الثامنة أساسي - معادلات القيمة المطلقة مع الكسور النسبية
💡 قواعد أساسية:
1. القيمة المطلقة لأي عدد دائماً موجبة أو صفر: \(|x| \geq 0\)
2. إذا كان \(|x| = a\) حيث \(a > 0\)، فإن: \(x = a\) أو \(x = -a\)
3. إذا كان \(|x| = a\) حيث \(a < 0\)، فلا يوجد حل
4. \(|-a| = |a| = a\) عندما \(a \geq 0\)
1
\( |x| = \frac{5}{2} - \frac{7}{2} \)
🎯 الحل التفصيلي
1
حساب الطرف الأيمن:
نحسب الفرق بين الكسرين (لهما نفس المقام):
\( \frac{5}{2} - \frac{7}{2} = \frac{5 - 7}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)
2
تحليل المعادلة:
أصبحت المعادلة:
\( |x| = -1 \)
⚠️ ملاحظة هامة:
القيمة المطلقة لأي عدد لا يمكن أن تكون سالبة، لأن \(|x| \geq 0\) دائماً
النتيجة النهائية: لا يوجد حل ∅
2
\( |x| = \left| -\frac{2}{3} \right| \)
🎯 الحل التفصيلي
1
حساب القيمة المطلقة للطرف الأيمن:
القيمة المطلقة لعدد سالب تساوي نظيره الموجب:
\( \left| -\frac{2}{3} \right| = \frac{2}{3} \)
2
المعادلة المبسطة:
\( |x| = \frac{2}{3} \)
3
إيجاد الحلول:
معادلة القيمة المطلقة \(|x| = a\) حيث \(a > 0\) لها حلان:
\( x = \frac{2}{3} \)    أو    \( x = -\frac{2}{3} \)
الحل: \( x = \frac{2}{3} \) أو \( x = -\frac{2}{3} \)
3
\( |x| + \left( -\frac{7}{12} \right) = 0 \)
🎯 الحل التفصيلي
1
عزل القيمة المطلقة:
ننقل \(-\frac{7}{12}\) للطرف الآخر (نجمع \(\frac{7}{12}\) للطرفين):
\( |x| = 0 - \left(-\frac{7}{12}\right) = \frac{7}{12} \)
2
إيجاد الحلول:
معادلة القيمة المطلقة \(|x| = \frac{7}{12}\) لها حلان:
\( x = \frac{7}{12} \)    أو    \( x = -\frac{7}{12} \)
الحل: \( x = \frac{7}{12} \) أو \( x = -\frac{7}{12} \)
4
\( x + \frac{13}{4} = 0 \)
🎯 الحل التفصيلي
📝 ملاحظة:
هذه معادلة بسيطة من الدرجة الأولى (بدون قيمة مطلقة)
1
عزل \(x\):
ننقل \(\frac{13}{4}\) للطرف الآخر (نطرح \(\frac{13}{4}\) من الطرفين):
\( x = 0 - \frac{13}{4} = -\frac{13}{4} \)
2
التحقق:
نتحقق من الحل:
\( -\frac{13}{4} + \frac{13}{4} = 0 \) ✓
الحل: \( x = -\frac{13}{4} \)
5
\( |x| + \left| -\frac{3}{7} \right| = 0 \)
🎯 الحل التفصيلي
1
حساب القيمة المطلقة:
نحسب القيمة المطلقة للعدد \(-\frac{3}{7}\):
\( \left| -\frac{3}{7} \right| = \frac{3}{7} \)
إذاً المعادلة تصبح:
\( |x| + \frac{3}{7} = 0 \)
2
عزل القيمة المطلقة:
ننقل \(\frac{3}{7}\) للطرف الآخر:
\( |x| = 0 - \frac{3}{7} = -\frac{3}{7} \)
⚠️ تحليل النتيجة:
حصلنا على \(|x| = -\frac{3}{7}\)، وهذا مستحيل لأن القيمة المطلقة لا يمكن أن تكون سالبة
النتيجة النهائية: لا يوجد حل ∅
6
\( |x| = \left| -\frac{4}{5} \right| \)
🎯 الحل التفصيلي
1
حساب القيمة المطلقة للطرف الأيمن:
القيمة المطلقة لعدد سالب تساوي نظيره الموجب:
\( \left| -\frac{4}{5} \right| = \frac{4}{5} \)
2
المعادلة المبسطة:
\( |x| = \frac{4}{5} \)
3
إيجاد الحلول:
معادلة القيمة المطلقة \(|x| = a\) حيث \(a > 0\) لها حلان:
\( x = \frac{4}{5} \)    أو    \( x = -\frac{4}{5} \)
✓ التحقق:
• إذا \(x = \frac{4}{5}\): \(|\frac{4}{5}| = \frac{4}{5}\) ✓
• إذا \(x = -\frac{4}{5}\): \(|-\frac{4}{5}| = \frac{4}{5}\) ✓
الحل: \( x = \frac{4}{5} \) أو \( x = -\frac{4}{5} \)