خصائص جمع الأعداد الكسرية في ℚ

🔍 المستوى 1: خاصية الإبدالية في ℚ

هل يتغير الناتج إذا بدّلنا ترتيب الأعداد النسبية؟

🏗️ اكتشف بنفسك مع الأعداد الموجبة والسالبة!

💡 التجربة الأولى: نجمع عددين (موجب + سالب)

احسب: \(\frac{5}{7} + \left(\frac{-2}{7}\right)\)

البسط: / المقام:

🔄 الآن نبدّل الترتيب!

احسب: \(\left(\frac{-2}{7}\right) + \frac{5}{7}\)

البسط: / المقام:

🎯 تجربة ثانية: عددان سالبان

احسب: \(\frac{-3}{4} + \frac{-5}{4}\)

البسط: / المقام:

الآن بدّل الترتيب: \(\frac{-5}{4} + \frac{-3}{4}\)

البسط: / المقام:

🎊 ما الذي اكتشفته في ℚ؟

النتيجة واحدة سواء كانت الأعداد موجبة أو سالبة!

\[\frac{5}{7} + \left(\frac{-2}{7}\right) = \left(\frac{-2}{7}\right) + \frac{5}{7} = \frac{3}{7}\]

\[\frac{-3}{4} + \frac{-5}{4} = \frac{-5}{4} + \frac{-3}{4} = \frac{-8}{4}\]

هذه خاصية الإبدالية في ℚ!

✍️ القانون العام في ℚ

لأي عددين نسبيين \(\frac{a}{b}\) و \(\frac{c}{d}\) في ℚ:

\[\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{c}{d} + \frac{a}{b}\]

ترتيب الجمع لا يغيّر الناتج في ℚ (موجبة أو سالبة)!

🔍 المستوى 2: خاصية التجميعية في ℚ

نعمل مع الأعداد الموجبة والسالبة!

🏗️ اكتشف بنفسك!

💡 الطريقة الأولى: مع أعداد موجبة وسالبة

احسب: \(\left(\frac{-3}{5} + \frac{7}{5}\right) + \frac{-2}{5}\)

خطوة 1: احسب ما داخل القوس: \(\frac{-3}{5} + \frac{7}{5}\)

النتيجة: /

خطوة 2: اجمع النتيجة مع \(\frac{-2}{5}\)

\(\frac{4}{5} + \frac{-2}{5}\)

الناتج النهائي: /

🔄 الطريقة الثانية: نغيّر التجميع

احسب: \(\frac{-3}{5} + \left(\frac{7}{5} + \frac{-2}{5}\right)\)

خطوة 1: احسب ما داخل القوس: \(\frac{7}{5} + \frac{-2}{5}\)

النتيجة: /

خطوة 2: اجمع \(\frac{-3}{5}\) مع النتيجة

\(\frac{-3}{5} + \frac{5}{5}\)

الناتج النهائي: /

🎯 تجربة ثانية: أعداد سالبة فقط!

الطريقة الأولى: \(\left(\frac{-2}{3} + \frac{-4}{3}\right) + \frac{-1}{3}\)

احسب القوس أولاً: \(\frac{-2}{3} + \frac{-4}{3}\)

نتيجة القوس: /

\(\frac{-6}{3} + \frac{-1}{3}\)

الناتج النهائي: /

الطريقة الثانية: \(\frac{-2}{3} + \left(\frac{-4}{3} + \frac{-1}{3}\right)\)

احسب القوس: \(\frac{-4}{3} + \frac{-1}{3}\)

نتيجة القوس: /

\(\frac{-2}{3} + \frac{-5}{3}\)

الناتج النهائي: /

🎊 ما الذي اكتشفته في ℚ؟

النتيجة واحدة مهما كانت طريقة التجميع (مع أعداد موجبة أو سالبة)!

\[\left(\frac{-3}{5} + \frac{7}{5}\right) + \frac{-2}{5} = \frac{-3}{5} + \left(\frac{7}{5} + \frac{-2}{5}\right) = \frac{2}{5}\]

\[\left(\frac{-2}{3} + \frac{-4}{3}\right) + \frac{-1}{3} = \frac{-2}{3} + \left(\frac{-4}{3} + \frac{-1}{3}\right) = \frac{-7}{3}\]

هذه خاصية التجميعية في ℚ!

✍️ القانون العام في ℚ

لأي ثلاثة أعداد نسبية في ℚ:

\[\left(\frac{a}{b} + \frac{c}{d}\right) + \frac{e}{f} = \frac{a}{b} + \left(\frac{c}{d} + \frac{e}{f}\right)\]

طريقة التجميع لا تغيّر الناتج في ℚ!

🔍 المستوى 3: العنصر المحايد في ℚ

ماذا يحدث مع الأعداد الموجبة والسالبة؟

🏗️ اكتشف بنفسك!

💡 التجربة مع عدد موجب

احسب: \(\frac{8}{11} + 0\)

الناتج: /

🔄 التجربة مع عدد سالب

احسب: \(\frac{-6}{7} + 0\)

الناتج: /

احسب: \(0 + \frac{-9}{5}\)

الناتج: /

🎊 ما الذي اكتشفته في ℚ؟

الصفر لا يغيّر قيمة أي عدد نسبي (موجب أو سالب)!

\[\frac{a}{b} + 0 = 0 + \frac{a}{b} = \frac{a}{b}\]

مع الأعداد السالبة:

\[\frac{-6}{7} + 0 = 0 + \frac{-6}{7} = \frac{-6}{7}\]

الصفر هو العنصر المحايد في ℚ!

🔍 المستوى 4: المعاكس الجمعي في ℚ

لكل عدد نسبي معاكسه الخاص!

🏗️ اكتشف بنفسك!

💡 التجربة الأولى: معاكس عدد موجب

ما هو معاكس \(\frac{7}{9}\)؟

احسب: \(\frac{7}{9} + \frac{-7}{9}\)

الناتج:

🔄 التجربة الثانية: معاكس عدد سالب

ما هو معاكس \(\frac{-5}{8}\)؟

احسب: \(\frac{-5}{8} + \frac{5}{8}\)

الناتج:

🎯 معاكس المعاكس!

إذا كان \(\frac{-3}{4}\) معاكساً لـ \(\frac{3}{4}\)

فما هو معاكس \(\frac{-3}{4}\)؟

احسب: \(\frac{-3}{4} + \frac{3}{4}\)

الناتج:

🎊 ما الذي اكتشفته في ℚ؟

لكل عدد نسبي معاكس جمعي:

\[\frac{a}{b} + \left(-\frac{a}{b}\right) = 0\]

معاكس العدد الموجب سالب:

\[\frac{7}{9} + \left(-\frac{7}{9}\right) = 0\]

معاكس العدد السالب موجب:

\[\frac{-5}{8} + \frac{5}{8} = 0\]

معاكس المعاكس = العدد نفسه:

\[\frac{c}{d} = -\left(-\frac{c}{d}\right)\]

كل عدد نسبي في ℚ له معاكس جمعي!

📚 المستوى 5: الاختبار الشامل في ℚ

اختبر معرفتك بجميع الخصائص مع الأعداد الموجبة والسالبة!

🎮 اختبار شامل في ℚ

اختبر فهمك لجميع خصائص ℚ!

النقاط: 0 / 0

📌 ملخص جميع خصائص ℚ

1️⃣ خاصية الإبدالية في ℚ

\[\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{c}{d} + \frac{a}{b}\]

(تعمل مع الأعداد الموجبة والسالبة)

2️⃣ خاصية التجميعية في ℚ

\[\left(\frac{a}{b} + \frac{c}{d}\right) + \frac{e}{f} = \frac{a}{b} + \left(\frac{c}{d} + \frac{e}{f}\right)\]

(تعمل مع الأعداد الموجبة والسالبة)

3️⃣ العنصر المحايد في ℚ

\[\frac{a}{b} + 0 = 0 + \frac{a}{b} = \frac{a}{b}\]

(حتى مع الأعداد السالبة!)

4️⃣ المعاكس الجمعي في ℚ

\[\frac{a}{b} + \left(-\frac{a}{b}\right) = 0\]

\[\frac{c}{d} = -\left(-\frac{c}{d}\right)\]

(معاكس الموجب سالب، معاكس السالب موجب)

🏗️ خصائص جمع الأعداد الكسرية في ℚ

🔍 المستوى 1: خاصية الإبدالية في ℚ

🎊 ما الذي اكتشفته في ℚ؟

🔍 المستوى 2: خاصية التجميعية في ℚ

🎊 ما الذي اكتشفته في ℚ؟

🔍 المستوى 3: العنصر المحايد في ℚ

🎊 ما الذي اكتشفته في ℚ؟

🔍 المستوى 4: المعاكس الجمعي في ℚ

🎊 ما الذي اكتشفته في ℚ؟

📚 المستوى 5: الاختبار الشامل في ℚ

📌 ملخص جميع خصائص ℚ

1️⃣ خاصية الإبدالية في ℚ

2️⃣ خاصية التجميعية في ℚ

3️⃣ العنصر المحايد في ℚ

4️⃣ المعاكس الجمعي في ℚ