تصحيح تمارين في المجموعات العددية والحساب الحرفي

تحديد المجموعات والتحويل إلى عدد عشري

1) حدد المجموعات التالية:

$\mathbb{Q}_- \cap \left\{-1; 0; \frac{-15}{4}; \frac{|-3|}{2}\right\}$

$\mathbb{Q}_+ \cap ID$

$ID^* \cap \mathbb{Z}_-$

$ID_+ \cup \mathbb{Q}$

2) أكمل الفراغ بـ: $\in$ ؛ $\subset$ ؛ $\not\subset$ ؛ $\notin$

$\mathbb{N} \text{.....} \mathbb{Q}^*$

$\mathbb{Z} \text{.....} \mathbb{Q}_-$

$\dfrac{-7}{-2} \text{.....} \mathbb{Z}_+$

$ID \text{.....} \mathbb{Q}^*$

3) من بين الأعداد الكسرية التالية حدد التي هي أعداد عشرية واكتبها على صيغة $\dfrac{a}{10^n}$:

$\dfrac{12}{75}$	$\dfrac{-13}{20}$
$\dfrac{-183}{45}$	$\dfrac{-105}{-168}$

لم تبدأ بعد

💡 التوجيهات

⚠️ تذكير بالمجموعات:

• $\mathbb{N}$: الطبيعية | $\mathbb{Z}$: الصحيحة | $ID$: العشرية | $\mathbb{Q}$: الكسرية.

• $\mathbb{Q}_-$: الأعداد الكسرية **السالبة**. | $\mathbb{Q}^*$: الأعداد الكسرية **غير المعدومة**.

• $\frac{|-3|}{2} = \frac{3}{2}$ (عدد موجب)

للسؤال 1): التقاطع $\cap$ يعني العناصر المشتركة. الاتحاد $\cup$ يعني كل العناصر. تذكر أن $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset ID \subset \mathbb{Q}$.

للسؤال 2): استخدم $\in / \notin$ لـ "عدد ومجموعة" و $\subset / \not\subset$ لـ "مجموعة ومجموعة".

للسؤال 3): العدد الكسري يكون عشرياً إذا كان **مقامه** (بعد الاختزال) يحتوي فقط على عوامل **2 و 5**. بسّط الكسور جيداً قبل الحكم على المقام.

📝 منهجية الحل

1) تحديد المجموعات:

• للتقاطع: استبعد العناصر التي لا تحقق شروط المجموعتين.

• للاتحاد: $\mathbb{Q}$ هي المجموعة الأكبر، وبما أن $ID_+ \subset \mathbb{Q}$، فإن الاتحاد يساوي المجموعة الأكبر.

2) الانتماء والاحتواء:

• $\mathbb{N} \text{.....} \mathbb{Q}^*$: هل $0 \in \mathbb{Q}^*$؟ (لا!)

• $\mathbb{Z} \text{.....} \mathbb{Q}_-$: هل كل الأعداد الصحيحة سالبة؟ (لا!)

• $\dfrac{-7}{-2} \text{.....} \mathbb{Z}_+$: بسّط الكسر أولاً: $\frac{7}{2} = 3.5$. هل $3.5$ عدد صحيح؟

3) الأعداد العشرية:

• الخطوة الأولى: بسّط كل كسر إلى أقصى حد.

• الخطوة الثانية: حلل المقام. إن كان $\mathbf{2^a \times 5^b}$ فهو عشري.

• الخطوة الثالثة: اكتبه على الصيغة $10^n$ (اضرب البسط والمقام في القوة المناسبة لـ 2 أو 5).

✅ الحل النهائي الكامل

1) تحديد المجموعات:

🔹 $\mathbb{Q}_- \cap \left\{-1; 0; \frac{-15}{4}; \frac{|-3|}{2}\right\}$:

الأعداد السالبة في المجموعة هي: $-1$ و $\frac{-15}{4}$. (لأن $0$ ليس سالباً و $\frac{|-3|}{2} = \frac{3}{2}$ موجب).

✓ الجواب: $\left\{-1; \frac{-15}{4}\right\}$

التقاطع والمجموعات الجزئية

نعتبر المجموعة:

$$A = \left\{\frac{13}{6}; \frac{-4}{3}; -12; \frac{-9}{5}; 0; \sqrt{64}; \frac{-15}{-8}; \frac{+4}{3}\right\}$$

1) حدد المجموعات التالية:

$A \cap \mathbb{Q}_+$

$A \cap \mathbb{N}^*$

$A \cap \mathbb{Z}$

$A \cap ID_-$

2) أوجد المجموعات التالية:

$M = \left\{x \in A; \quad |x| = 1.8\right\}$

$N = \left\{x \in A; \quad |x| = \frac{12}{21}\right\}$

$P = \left\{x \in \mathbb{Q}; \quad |x| = x\right\}$

$R = \left\{x \in A; \quad |x| = -x\right\}$

لم تبدأ بعد

💡 التوجيهات

⚠️ تبسيط عناصر $A$ أولاً:

• $\sqrt{64} = 8$

• $\frac{-15}{-8} = \frac{15}{8}$

📝 منهجية الحل

✅ الحل النهائي الكامل

حساب بأبسط طريقة

أحسب بأبسط طريقة العبارات التالية:

$$A = \frac{18}{12} + \left(\frac{-21}{14}\right)$$

$$B = \left(-3 + \frac{6}{5}\right) + \frac{14}{5}$$

$$C = -\frac{3}{7} + \frac{3}{7} - \frac{3}{7}$$

$$D = \left(-\frac{2}{5}\right) + 0.75 + \frac{12}{5} + (-4.2) + \left(-\frac{3}{4}\right)$$

$$E = \frac{7}{3} + \left(-\frac{4}{5}\right) + \frac{14}{6} + \left(-\frac{7}{5}\right) + \left(\frac{-20}{-25}\right) + \frac{10}{4}$$

لم تبدأ بعد

💡 التوجيهات

⚠️ التبسيط والاختزال:

• دائماً بسّط الكسور قبل الجمع (مثلاً $\frac{18}{12}$ و $\frac{-21}{14}$).

• تذكر أن $0.75 = \frac{3}{4}$ و $-4.2 = \frac{-42}{10} = \frac{-21}{5}$.

لطريقة أبسط: اجمع الحدود ذات المقامات المشتركة أو التي يمكن أن تلغي بعضها.

للعبارة $B$: استخدم خاصية تجميع الحدود: $\mathbf{B = -3 + (\frac{6}{5} + \frac{14}{5})}$

للعبارة $D$: وحّد المقامات التي تقبل التحويل: $(\frac{-2}{5} + \frac{12}{5})$ و $(0.75 + (-\frac{3}{4}))$ و $(-4.2)$.

📝 منهجية الحل

1) تبسيط $A$ و $C$:

• اختزل الكسرين في $A$: $\frac{18}{12} = \frac{3}{2}$ و $\frac{-21}{14} = \frac{-3}{2}$. المجموع سيكون بسيطاً.

• في $C$: لاحظ وجود عددين متقابلين في البداية.

2) تبسيط $B$:

• اجمع أولاً الكسرين داخل القوس: $\frac{6}{5} + \frac{14}{5}$، ثم اجمع النتيجة مع $-3$.

3) تبسيط $D$ و $E$:

• في $D$: حوّل جميع الأعداد إلى كسور موحدة المقام أو مقامات بسيطة (4 أو 5)، ثم قم بتجميعها.

• في $E$: اختزل الكسور وجمّع الحدود ذات المقامات المتشابهة (3، 5، 2).

✅ الحل النهائي الكامل

🔹 العبارة $A$:

$$A = \frac{18}{12} + \left(\frac{-21}{14}\right) = \frac{3}{2} + \left(-\frac{3}{2}\right) = 0$$

✓ الجواب: $A = 0$

🔹 العبارة $B$:

$$B = -3 + \left(\frac{6}{5} + \frac{14}{5}\right) = -3 + \left(\frac{20}{5}\right) = -3 + 4 = 1$$

✓ الجواب: $B = 1$

🔹 العبارة $C$:

$$C = \left(-\frac{3}{7} + \frac{3}{7}\right) - \frac{3}{7} = 0 - \frac{3}{7} = -\frac{3}{7}$$

✓ الجواب: $C = -\frac{3}{7}$

🔹 العبارة $D$:

$$D = \left(-\frac{2}{5} + \frac{12}{5}\right) + \left(0.75 + \left(-\frac{3}{4}\right)\right) + (-4.2)$$ $$\text{نحول: } 0.75 = \frac{3}{4} \quad \text{و} \quad -4.2 = -\frac{21}{5}$$ $$D = \left(\frac{10}{5}\right) + \left(\frac{3}{4} - \frac{3}{4}\right) - \frac{21}{5}$$ $$D = 2 + 0 - \frac{21}{5} = \frac{10}{5} - \frac{21}{5} = -\frac{11}{5}$$

✓ الجواب: $D = -\frac{11}{5}$

🔹 العبارة $E$:

$$\text{نختزل ونبسط: } E = \frac{7}{3} + \left(-\frac{4}{5}\right) + \frac{7}{3} + \left(-\frac{7}{5}\right) + \frac{4}{5} + \frac{5}{2}$$ $$\text{نجمع الحدود المتشابهة:}$$ $$E = \left(\frac{7}{3} + \frac{7}{3}\right) + \left(-\frac{4}{5} - \frac{7}{5} + \frac{4}{5}\right) + \frac{5}{2}$$ $$E = \frac{14}{3} + \left(-\frac{7}{5}\right) + \frac{5}{2}$$ $$\text{توحيد المقامات (م.م.أ = 30):}$$ $$E = \frac{140}{30} - \frac{42}{30} + \frac{75}{30} = \frac{140 - 42 + 75}{30} = \frac{173}{30}$$

✓ الجواب: $E = \frac{173}{30}$

تبسيط وحساب عبارات حرفية

نعتبر العبارتين $A$ و $B$:

$$A = \frac{5}{6}y - \left[ \left(y + \frac{3}{2}\right) \right] - \left[ \left(\frac{2}{3} - y\right) + x \right] - \frac{3}{2}y$$

$$B = \left[ \left( \frac{7}{4} - x \right) - (1 + y) \right] - \left[ -x - y + \left( \frac{1}{2} \right) \right] + \left( \frac{7}{2} + y \right)$$

1) بيّن أنّ $A = -\frac{3}{2}x$ و $B = \frac{15}{4} + y$.

2) أ) أحسب $A$ إذا علمت أنّ $|x| = \frac{3}{8}$.

2) ب) جد $x$ إذا علمت أنّ $A = -5$.

2) ج) أوجد $x$ إذا علمت أنّ $A+B$ و $x$ متقابلان.

3) قارن $A$ و $B$ إذا علمت أنّ $x + y = 2$.

لم تبدأ بعد

💡 التوجيهات

... (Tawjih de l'exercice 4)

📝 منهجية الحل

... (Manhajia de l'exercice 4)

✅ الحل النهائي الكامل

... (Solution complète de l'exercice 4)

📐 التمرين رقم 1 📐

💡 التوجيهات

📝 منهجية الحل

✅ الحل النهائي الكامل

📐 التمرين رقم 2 📐

💡 التوجيهات

📝 منهجية الحل

✅ الحل النهائي الكامل

📐 التمرين رقم 3 📐

💡 التوجيهات

📝 منهجية الحل

✅ الحل النهائي الكامل

📐 تمرين عدد 4 📐

💡 التوجيهات

📝 منهجية الحل

✅ الحل النهائي الكامل