نعتبر العبارتين $E$ و $F$ حيث $x$ و $y$ عددان صحيحان نسبيان
ب- بيّن أنّ: $F = 2-y$
لم تبدأ بعد
⚠️ تذكر:
• عند تبسيط $E$، عليك أولاً نشر العبارات وتبسيطها: $A(B-C) = AB - AC$.
• عند تبسيط $F$، ابدأ بإزالة الأقواس والمعقفات، وتغيير الإشارات التي تسبقها علامة $(-)$ مع الانتباه لتحويل الأعداد العشرية إلى كسور: $1.2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$.
للسؤال 2): إذا كان $x$ و $y$ متقابلان، فـ $x = -y$ أو $y = -x$ (أي أن $x+y=0$). عوض هذه العلاقة في التعبيرين المُبسطين $E$ و $F$.
للسؤال 3): حل المعادلة بعد تعويض $E$ بقيمتها المُبسطة. تذكر أن $|A| \geq 0$ دائماً.
للسؤال 4): استخدم الشروط المعطاة لتحديد إشارة كل عامل في الجداء: $(-xy)$ و $(E+F+5)$.
• $x \in \mathbb{N}^*$ تعني $x$ عدد طبيعي غير صفر (موجب).
• $y \in \mathbb{Z}_-^*$ تعني $y$ عدد صحيح نسبي سالب غير صفر.
1) التبسيط:
أ- تبسيط $E$:
• انشر العبارات: $E = 2xy - 6x - (2xy - 7x) - 2y$
• أزل الأقواس: $E = 2xy - 6x - 2xy + 7x - 2y$
• اجمع الحدود المتشابهة.
ب- تبسيط $F$:
• حوّل $1.2 = \frac{6}{5}$
• أزل الأقواس الداخلية أولاً (المعقوفتين): $F = \frac{2}{3} - (1.2 - y) - (y - \frac{1}{2}) - [y - \frac{5}{6} - \frac{6}{5}]$
• أزل جميع الأقواس. اختزل الحدود المتشابهة (خاصة تلك التي تحتوي على $y$).
• وحّد المقامات لحساب الأعداد الكسرية: $\frac{2}{3} - \frac{6}{5} + \frac{1}{2} + \frac{5}{6} + \frac{6}{5}$. (المقام المشترك هو 30).
2) المقارنة:
• بما أن $x$ و $y$ متقابلان، فإن $x = -y$.
• عوض في $E$ و $F$ المُبسطتين: $E = (-y) - 7 = -y - 7$ و $F = 2 - y$.
• قارن $E$ و $F$ عن طريق دراسة إشارة الفرق $E - F$ أو $F - E$.
3) حل المعادلة:
• عوّض $E$ في المعادلة: $1.5 + |x-7| = 0.5$
• حوّل الأعداد العشرية إلى كسور: $\frac{3}{2} + |x-7| = \frac{1}{2}$.
• اجعل $|x-7|$ معزولاً في طرف واحد وادرس إشارة الطرف الآخر.
4) تحديد العلامة:
• حدد إشارة $(-xy)$.
• احسب $E+F$ بتعويض العبارات المُبسطة: $(x-7) + (2-y) = x-y-5$.
• حدد إشارة $(E+F+5) = (x-y-5) + 5 = x-y$.
• حدد إشارة الجداء النهائي.
1) التبسيط:
أ- تبسيط $E$:
(ملاحظة: حسب نص التمرين المُعطى في الصورة، المطلوب إثبات أنّ $E = x-7$. هناك خطأ في نص التمرين الأصلي في الصورة، حيث التعبير المعطى لا يُبسط إلى $x-7$. إذا افترضنا أنّه خطأ إملائي وأنّ التعبير كان $E = 2x(y-3) - 2x(y) - 7x$ مثلاً، سنحصل على نتيجة أخرى. سنلتزم بالعبارة المُبسطة **$E=x-2y$** للعمليات اللاحقة، إلا إذا كان هناك خطأ مقصود في العبارة الأصلية يهدف إلى الحصول على $x-7$.)**
ب- تبسيط $F$:
نحوّل $1.2 = \frac{6}{5}$
✓ الجواب: $\mathbf{F = 2 - y}$
---
2) مقارنة $E$ و $F$:
بما أن $x$ و $y$ متقابلان، فإن $\mathbf{x = -y}$.
نعوض هذه العلاقة في العبارتين المُبسطتين (باستخدام **النتيجة المطلوبة** $E = x-7$ التي يفترض أن يقود إليها التمرين):
$$E = x - 7$$
$$F = 2 - y$$
ندرس إشارة الفرق $E - F$:
$$\mathbf{E - F} = (x - 7) - (2 - y) = x - 7 - 2 + y = x + y - 9$$بما أن $x$ و $y$ متقابلان، فإن $\mathbf{x + y = 0}$.
$$\mathbf{E - F} = 0 - 9 = -9$$بما أن $E - F = -9$ و $-9 < 0$، فإن $E < F$.
✓ الجواب: $\mathbf{E < F}$
---
3) إيجاد العدد الصحيح النسبي $x$:
المعادلة هي: $1.5 + |E| = \frac{1}{2}$
نعوض $1.5 = \frac{3}{2}$ ونستخدم القيمة المطلوبة للعبارة $E$: $E = x-7$.
⚠️ ملاحظة: القيمة المطلقة لأي عدد هي دائماً موجبة أو صفر (أي $|x-7| \geq 0$).
بما أن $|x-7| = -1$ وهو قيمة سالبة، فإن المعادلة **لا تقبل حلاً** في مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية $\mathbb{Z}$.
✓ الجواب: لا يوجد عدد صحيح نسبي $x$ يحقق المعادلة (مجموعة الحل $\mathbf{\emptyset}$).
---
4) تحديد علامة الجداء $(-xy)(E+F+5)$:
• إشارة $(-xy)$:
لدينا $x \in \mathbb{N}^*$ إذن $\mathbf{x > 0}$.
لدينا $y \in \mathbb{Z}_-^*$ إذن $\mathbf{y < 0}$.
الجداء $xy$ هو (موجب) $\times$ (سالب) = سالب. أي $xy < 0$.
وبالتالي، $(-xy)$ هو العدد **المقابل** لعدد سالب، إذن $\mathbf{-xy > 0}$ (موجب).
• إشارة $(E+F+5)$:
نحسب المجموع بتعويض العبارات المُبسطة ($E=x-7$ و $F=2-y$):
$$\mathbf{E + F + 5} = (x - 7) + (2 - y) + 5$$ $$\mathbf{E + F + 5} = x - y + (-7 + 2 + 5)$$ $$\mathbf{E + F + 5} = x - y + 0$$ $$\mathbf{E + F + 5} = x - y$$لدينا $x > 0$ و $y < 0$ (أي $-y > 0$).
إشارة الفرق $x - y$ هي (موجب) $-$ (سالب) = (موجب) $+$ (موجب).
إذن $\mathbf{x - y > 0}$ (موجب). وبالتالي $\mathbf{E+F+5 > 0}$ (موجب).
• علامة الجداء:
الجداء هو: $(-xy) \times (E+F+5)$
وهو: (موجب) $\times$ (موجب) = **موجب**.
✓ الجواب: علامة الجداء $\mathbf{(-xy)(E+F+5)}$ هي $\mathbf{+}$ (موجبة).
التعليل: $x$ موجب و $y$ سالب، إذن $-xy$ موجب. $x$ موجب و $-y$ موجب، إذن $x-y$ (أي $E+F+5$) موجب. جداء عددين موجبين هو عدد موجب.