📐 تمارين في المجموعات العددية والحساب 📐

📚 الأعداد الكسرية والعمليات 🎯 السنة 9 أساسي
1
المجموعات العددية والعدد العشري

في مأوى للسيارات خمس سيارات بيضاء وثلثها سوداء. العدد الكسري الذي يمثل بقية السيارات هو:

$$\frac{2}{20}$$ $$\frac{2}{15}$$ $$\frac{5}{8}$$

1) أكمل ما يلي:
$$\mathbb{Q} \cap \mathbb{D} =$$ $$\mathbb{Z} \cap \mathbb{D}_- =$$
$$E = \left\{x \in \mathbb{Z}; \left|x\right| = \frac{2}{7}\right\}$$ $$E = \emptyset$$ $$E = \left\{\frac{2}{7}; \frac{-2}{7}\right\}$$
التوجيهات
المنهجية
الحل النهائي
💡 التوجيهات

1) بالنسبة لسؤال السيارات: يجب مراجعة صياغة المسألة، لأن $\frac{2}{15}$ لا يمكن الوصول إليه مباشرة. الأرجح أن السؤال يتعلق بتبسيط الكسور المعروضة كخيارات أو أننا نفترض أن عدد السيارات الإجمالي $N$ غير معلوم وأن العدد الكسري $X$ يمثل $5$ سيارات. نركز على أسئلة المجموعات العددية.

2) بالنسبة للتقاطعات:

  • تذكّر أن \(\mathbb{D} \subset \mathbb{Q}\) (الأعداد العشرية مجموعة جزئية من الكسرية).
  • تذكّر أن \(\mathbb{Z} \subset \mathbb{D}\) (الأعداد الصحيحة هي أعداد عشرية).
  • \(\mathbb{D}_-\) هي الأعداد العشرية السالبة.

3) بالنسبة للمعادلة: حل المعادلة \(\left|x\right| = \frac{2}{7}\) في \(\mathbb{Q}\) ثمّ تحقق من انتماء الحلول إلى \(\mathbb{Z}\).

📝 المنهجية

1) تقاطع المجموعات:

  • التقاطع بين مجموعة ومجموعة جزئية منها يساوي المجموعة الجزئية: \(\mathbb{Q} \cap \mathbb{D} = \mathbb{D}\).
  • التقاطع بين \(\mathbb{Z}\) و \(\mathbb{D}_-\) هو الأعداد الصحيحة العشرية السالبة، أي \(\mathbb{Z}_-\).

2) حل المعادلة القيمة المطلقة:

المعادلة \(\left|x\right| = \frac{2}{7}\) لها حلان هما $x = \frac{2}{7}$ أو $x = \frac{-2}{7}$. بما أن \(\frac{2}{7} \notin \mathbb{Z}\)، لا يوجد حل في \(\mathbb{Z}\).

✅ الحل النهائي

1) اختيار الإجابة:

بالنظر إلى الخيارات، نختار $$\frac{2}{15}$$ (الأرجح أن هذا هو الخيار المقصود في المسألة الأصلية دون تفاصيل كافية).

2) إكمال التقاطعات:

$$\mathbb{Q} \cap \mathbb{D} = \mathbb{D}$$ $$\mathbb{Z} \cap \mathbb{D}_- = \mathbb{Z}_-$$

3) المجموعة $E$:

$$E = \left\{x \in \mathbb{Z}; \left|x\right| = \frac{2}{7}\right\} = \emptyset$$

2
المجموعات العددية والتمثيل على مستقيم
1) لتكن المجموعة $A$:
$$A = \left\{\frac{-6}{5}; \frac{21}{35}; \frac{4}{3}; \frac{-5}{2}; 0; 2.5; -1.25; 1; \frac{3}{4}\right\}$$
حدد المجموعات التالية:
2) مثل على مستقيم مدرج المعين $(O, I)$ النقاط $M, N, P, Q$ التي فواصلها على التوالي:
$$1.25; \quad 2.5; \quad \frac{3}{3}; \quad \frac{-5}{2}$$
3) ب) أحسب $OM$ و $ON$ ج) عين على \([OI)\) النقطة $S$ بحيث $OS = \frac{1}{2}$. علل جوابك. د) عين على \([OI)\) النقطة $T$ بحيث $NT = \frac{3}{4} + \frac{15}{4}$. علل جوابك.
التوجيهات
المنهجية
الحل النهائي
💡 التوجيهات

1) تحديد المجموعات: ابدأ بتبسيط جميع الكسور في المجموعة $A$ ($\frac{21}{35}$, $\frac{-6}{5}$, $\frac{-5}{2}$) لتحديد انتماء عناصرها إلى \(\mathbb{Z}\) و \(\mathbb{D}\).

2) التمثيل: قم بتحويل الفواصل الكسرية إلى أعداد عشرية ( $\frac{3}{3}=1$ و $\frac{-5}{2}=-2.5$). استخدم مقياس رسم مناسب على المستقيم المدرج لتعيين $M(1.25)$ و $N(2.5)$ و $P(1)$ و $Q(-2.5)$.

3) المسافات: المسافة بين نقطتين $A$ و $B$ فاصلتاهما $x_A$ و $x_B$ هي $AB = |x_B - x_A|$. تذكّر أن فاصلة الأصل $O$ هي $0$.

📝 المنهجية

1) تحديد $A \cap \mathbb{D}$ و $A \cap \mathbb{Z}$:

  • عناصر $A$ هي: $-1.2$، $0.6$، $\frac{4}{3}$، $-2.5$، $0$، $2.5$، $-1.25$، $1$، $0.75$.
  • $\mathbb{Z}$ تشمل: $0$ و $1$.
  • \(\mathbb{D}\) تشمل كل ما سبق ما عدا \(\frac{4}{3}\).

2) حساب $OM$ و $ON$:

$$OM = |1.25 - 0| \quad \text{و} \quad ON = |2.5 - 0|$$

3) تعيين $S$ و $T$:

  • $OS = \frac{1}{2}$ و $S \in [OI)$ $\rightarrow$ $x_S = \frac{1}{2} = 0.5$.
  • نحسب $NT = \frac{3}{4} + \frac{15}{4} = \frac{18}{4} = 4.5$.
  • $NT = |x_T - x_N| = |x_T - 2.5| = 4.5$. نستبعد الحل السالب لأن $T \in [OI)$.
✅ الحل النهائي

1) تحديد المجموعات:

  • $$A \cap \mathbb{Q} = A$$
  • $$A \cap \mathbb{Z} = \{0; 1\}$$
  • $$A \cap \mathbb{D} = \left\{\frac{-6}{5}; \frac{21}{35}; \frac{-5}{2}; 0; 2.5; -1.25; 1; \frac{3}{4}\right\}$$
  • $$A \cap \mathbb{Q}_+ = \left\{\frac{21}{35}; \frac{4}{3}; 0; 2.5; 1; \frac{3}{4}\right\}$$

2) حساب المسافات:

$$OM = |1.25| = 1.25$$

$$ON = |2.5| = 2.5$$

3) تعيين النقطتين $S$ و $T$:

  • $x_S = 0.5$. التعليل: $S$ تنتمي لنصف المستقيم الموجب.
  • $x_T = 7$. التعليل: $|x_T - 2.5| = 4.5$. بما أن $T \in [OI)$، فإن $x_T \geq 0$، ومنه $x_T = 7$.
3
حساب أبسط طريقة
1) أحسب بأيسر طريقة:
$$B = \left(-3 + \frac{5}{6}\right) + \frac{14}{5}$$
$$C = \frac{2}{7} + \frac{7}{2} + \frac{7}{2} - \frac{2}{7}$$
$$D = \left(-\frac{3}{5}\right) + 0.75 + \frac{12}{5} + (-4.2) + \left(-\frac{3}{5}\right)$$
$$E = \frac{7}{3} + \left(-\frac{4}{5}\right) + \frac{14}{7} + \left(-\frac{4}{5}\right) + \left(-\frac{20}{4}\right) + \frac{10}{3}$$
التوجيهات
المنهجية
الحل النهائي
💡 التوجيهات

1) التجميع: استخدم خاصية التجميع (التبديل والجمع) لجمع الحدود المتشابهة أو المتقابلة (مثل \(\frac{2}{7}\) و \(-\frac{2}{7}\)).

2) الكسور العشرية: حوّل الأعداد العشرية والأعداد الصحيحة إلى كسور (مثل $0.75 = \frac{3}{4}$ و $-4.2 = -\frac{21}{5}$).

3) التبسيط: بسّط الكسور أولاً (مثل \(\frac{14}{7}\) و \(\frac{-20}{4}\)) قبل توحيد المقامات.

📝 المنهجية

1) حساب $B$: نوحد المقامات داخل القوس أولاً ثم نجمع الناتج مع الكسر الثاني.

2) حساب $C$: نجمع الحدود المتقابلة مع بعضها ثم نجمع ما تبقى: $$C = \left(\frac{2}{7} - \frac{2}{7}\right) + \left(\frac{7}{2} + \frac{7}{2}\right)$$

3) حساب $D$: نجمع الكسور ذات المقام 5 مع بعضها، ونجمع الكسور الأخرى: $$D = \left(-\frac{3}{5} + \frac{12}{5} - \frac{21}{5}\right) + \left(\frac{3}{4}\right)$$

4) حساب $E$: نجمع الكسور ذات المقام 3 مع بعضها، والمقام 5 مع بعضها، والأعداد الصحيحة مع بعضها: $$E = \left(\frac{7}{3} + \frac{10}{3}\right) + \left(-\frac{4}{5} - \frac{4}{5}\right) + (2 - 5)$$

✅ الحل النهائي

حساب $B$:

$$B = \frac{-13}{6} + \frac{14}{5} = \frac{-65 + 84}{30} = \frac{19}{30}$$

حساب $C$:

$$C = 0 + \frac{14}{2} = 7$$

حساب $D$:

$$D = \frac{6}{5} + \left(\frac{3}{4} - \frac{21}{5}\right)$$ $$D = \frac{6}{5} + \frac{15 - 84}{20} = \frac{24 - 69}{20} = \frac{-45}{20} = \frac{-9}{4}$$

حساب $E$:

$$E = \frac{17}{3} - \frac{8}{5} - 3 = \frac{85 - 24 - 45}{15} = \frac{16}{15}$$