فرض مراقبة عدد 3 - كامل ومرمم

لكل سؤال إجابة واحدة صحيحة حددها:

أ	ب	ج	السؤال
$$b$$	$$b - 2a$$	$$a$$	لنا $$a \in \mathbb{Q}_{-}$$ و $$b \in \mathbb{Q}_{+}$$ إذن العبارة $$\|a - b\| - \|a\|$$ تساوي:

الإصلاح:
بما أن $$a \le 0$$ و $$b \ge 0$$ فإن $$(a-b) \le 0$$.
بالتالي: $$|a-b| = -(a-b) = -a + b$$.
وبما أن $$a$$ سالب، فإن $$|a| = -a$$.
العبارة تصبح: $$(-a + b) - (-a) = -a + b + a = b$$.
الإجابة الصحيحة هي: $$b$$.

لتكن المجموعة:

A = \left\{ \frac{-7}{4} , -\frac{33}{55} , \frac{4}{-3} , \frac{-5}{-7} , 0 , 2.05 , 1 , \frac{3}{2} \right\}

حدد المجموعات التالية:

A \cap \mathbb{Q}_{+}^{*} \quad ; \quad A \cap \mathbb{D} \quad ; \quad A \cap \mathbb{Z}_{-} \quad ; \quad A \cap \mathbb{Q}

الإصلاح:
1. **$$A \cap \mathbb{Q}_{+}^{*}$$** (الأعداد الكسرية الموجبة تماماً): $$\left\{ \frac{-5}{-7} , 2.05 , 1 , \frac{3}{2} \right\}$$.
2. **$$A \cap \mathbb{D}$$** (الأعداد العشرية):
$$\frac{-7}{4} = -1.75 \in \mathbb{D}$$ | $$-\frac{33}{55} = -0.6 \in \mathbb{D}$$ | $$0 \in \mathbb{D}$$ | $$2.05 \in \mathbb{D}$$ | $$1 \in \mathbb{D}$$ | $$\frac{3}{2} = 1.5 \in \mathbb{D}$$.
المجموعة هي: $$\left\{ \frac{-7}{4} , -\frac{33}{55} , 0 , 2.05 , 1 , \frac{3}{2} \right\}$$. (استثنينا $$\frac{4}{-3}$$ و $$\frac{-5}{-7}$$ لأنها ليست عشرية).
3. **$$A \cap \mathbb{Z}_{-}$$** (الأعداد الصحيحة النسبية السالبة أو المعدومة): $$\{ 0 \}$$.
4. **$$A \cap \mathbb{Q}$$** (الأعداد الكسرية): بما أن كل عناصر $$A$$ كسرية، فإن النتيجة هي $$A$$.

ب) احسب $$E$$ إذا علمت أن $$x - y = \frac{3}{4}$$

ج) أوجد العدد $$x$$ إذا علمت أن $$E$$ و $$F$$ متقابلان

د) أوجد $$y$$ إذا علمت أن $$|F| = \frac{1}{2}$$

ذ) أوجد العدد $$x$$ في كل حالة من الحالات التالية:

(1) \quad \frac{3}{2} - (\frac{7}{2} - x) = \frac{3}{4}

(2) \quad \frac{7}{2} + |x| = \frac{3}{-4}

الإصلاح:
* **ب) حساب $$E$$**: نعلم أن $$E = y - x - \frac{7}{5}$$.
إذا كان $$x - y = \frac{3}{4}$$ فإن $$y - x = -\frac{3}{4}$$.
$$E = -\frac{3}{4} - \frac{7}{5} = \frac{-15 - 28}{20} = -\frac{43}{20}$$.

* **ج) $$E$$ و $$F$$ متقابلان**: يعني $$E + F = 0$$.
$$(y - x - \frac{7}{5}) + (-y - \frac{3}{4}) = 0 \Rightarrow -x - \frac{7}{5} - \frac{3}{4} = 0$$.
$$-x = \frac{7}{5} + \frac{3}{4} = \frac{28 + 15}{20} = \frac{43}{20} \Rightarrow x = -\frac{43}{20}$$.

* **د) $$|F| = \frac{1}{2}$$**: نعلم أن $$F = -y - \frac{3}{4}$$.
$$|-y - \frac{3}{4}| = \frac{1}{2} \Rightarrow |y + \frac{3}{4}| = \frac{1}{2}$$.
- إما $$y + \frac{3}{4} = \frac{1}{2} \Rightarrow y = \frac{2-3}{4} = -\frac{1}{4}$$.
- أو $$y + \frac{3}{4} = -\frac{1}{2} \Rightarrow y = \frac{-2-3}{4} = -\frac{5}{4}$$.

* **ذ) إيجاد $$x$$**:
**(1)** $$\frac{3}{2} - \frac{7}{2} + x = \frac{3}{4} \Rightarrow -2 + x = \frac{3}{4} \Rightarrow x = \frac{3}{4} + 2 = \frac{3+8}{4} = \frac{11}{4}$$.
**(2)** $$\frac{7}{2} + |x| = -\frac{3}{4} \Rightarrow |x| = -\frac{3}{4} - \frac{14}{4} = -\frac{17}{4}$$.
بما أن القيمة المطلقة دائماً موجبة، فإن هذه المعادلة **ليس لها حل** في $$\mathbb{Q}$$.

$$ABC$$ مثلث بحيث $$AB = AC$$. لتكن $$M$$ نقطة من $$[AB]$$ و $$N$$ نقطة من $$[AC]$$ بحيث $$AM = AN$$.

1) أ) قارن المثلثين $$ABN$$ و $$ACM$$.

ب) استنتج أن $$A\widehat{M}C = A\widehat{N}B$$.

2) لتكن $$I$$ نقطة تقاطع المستقيمين $$(BN)$$ و $$(CM)$$. بيّن أن $$M\widehat{B}C = N\widehat{C}B$$ و $$I\widehat{M}B = I\widehat{N}C$$.

3) قارن المثلثين $$IBM$$ و $$ICN$$. استنتج أن $$IM = IN$$.

4) استنتج أن $$(AI)$$ هو الموسط العمودي للقطعة $$[BC]$$.

الإصلاح المفصل:

1) أ) مقارنة المثلثين $$ABN$$ و $$ACM$$:
لدينا في هذين المثلثين:
* $$AB = AC$$ (معطى، لأن المثلث $$ABC$$ متقايس الضلعين في $$A$$).
* $$AN = AM$$ (معطى).
* الزاوية $$\widehat{A}$$ زاوية مشتركة بين المثلثين.
إذن يتطابق المثلثان $$ABN$$ و $$ACM$$ حسب الحالة الثانية لتطابق المثلثات (ضلعان والزاوية المحصورة بينهما).

1) ب) الاستنتاج:
بما أن المثلثين $$ABN$$ و $$ACM$$ متطابقان، فإن جميع عناصرهما النظيرة متقايسة، ومنه:

A\widehat{M}C = A\widehat{N}B

2) تبيان الزوايا:
* بما أن المثلث $$ABC$$ متقايس الضلعين قمة رأسه $$A$$، فإن زوايا القاعدة متقايسة، أي: $$M\widehat{B}C = N\widehat{C}B$$.
* لدينا النقاط $$A, M, B$$ على استقامة واحدة و $$A, N, C$$ على استقامة واحدة. الزوايا $$I\widehat{M}B$$ و $$A\widehat{M}C$$ متكاملتان، وكذلك $$I\widehat{N}C$$ و $$A\widehat{N}B$$ متكاملتان.
وبما أن $$A\widehat{M}C = A\widehat{N}B$$، فإن مكملاتهما متساوية، أي: $$I\widehat{M}B = I\widehat{N}C$$.

3) مقارنة المثلثين $$IBM$$ و $$ICN$$:
لدينا في هذين المثلثين:
* $$MB = AB - AM$$ و $$NC = AC - AN$$. بما أن $$AB = AC$$ و $$AM = AN$$، فإن $$MB = NC$$.
* $$I\widehat{M}B = I\widehat{N}C$$ (مما سبق).
* الزاويتان $$M\widehat{B}I$$ و $$N\widehat{C}I$$ متقايستان (لأنهما ناتجتان عن طرح زوايا متقايسة من زوايا القاعدة المتساوية).
إذن يتطابق المثلثان $$IBM$$ و $$ICN$$ ومنه نستنتج أن الضلعين النظيرين متقايسان: **$$IM = IN$$** و كذلك **$$IB = IC$$**.

4) تبيان أن $$(AI)$$ هو الموسط العمودي لـ $$[BC]$$:
* لدينا $$AB = AC$$، إذن النقطة $$A$$ تبعد نفس المسافة عن طرفي القطعة $$[BC]$$، فهي تنتمي للموسط العمودي لـ $$[BC]$$.
* لدينا من التطابق السابق $$IB = IC$$، إذن النقطة $$I$$ تبعد نفس المسافة عن طرفي القطعة $$[BC]$$، فهي تنتمي أيضاً للموسط العمودي لـ $$[BC]$$.
* المستقيم المار من نقطتين كل منهما تبعد نفس المسافة عن طرفي قطعة مستقيم هو الموسط العمودي لها.
إذن: **$$(AI)$$ هو الموسط العمودي للقطعة $$[BC]$$**.

إصلاح فرض المراقبة عدد 3 - 8 أساسي