1) أكمل بـ $$\in$$ أو $$\notin$$:
أ) $$\dfrac{21}{3}\ldots\mathbb{N}\;;\qquad\dfrac{41}{3}\ldots\mathbb{N}\;;\qquad\dfrac{41}{3}\ldots\mathbb{Q}$$
ب) $$\dfrac{21}{3}\ldots\mathfrak{D}\;;\qquad -\dfrac{40}{12}\ldots\mathbb{Q}\;;\qquad\dfrac{125}{375}\ldots\mathbb{Q}^{+}$$
ج) $$-\dfrac{365}{73}\ldots\mathbb{Z}\;;\qquad\dfrac{121}{11}\ldots\mathbb{Q}\;;\qquad\dfrac{42}{6}\ldots\mathbb{D}$$
2) أكمل بـ $$\subset$$ أو $$\not\subset$$:
$$\mathbb{N}\ldots\mathbb{Q}\;;\qquad \mathbb{Z}\ldots\mathbb{N}\;;\qquad\mathfrak{D}\ldots\mathbb{Q}\;;\qquad\mathbb{Q}\ldots\mathbb{D}$$
تذكر تعريف المجموعات: $$\mathbb{N}$$ (طبيعية)، $$\mathbb{Z}$$ (صحيحة نسبية)، $$\mathfrak{D}$$ (عشرية)، $$\mathbb{Q}$$ (كسرية). قم بتبسيط كل كسر لتحديد المجموعة التي ينتمي إليها. $$\in$$ تستخدم للعناصر، و $$\subset$$ للمجموعات.
1) قم بحساب أو تبسيط كل كسر:
$$\dfrac{21}{3} = 7$$. العدد 7 طبيعي وعشري وكسري.
$$\dfrac{41}{3}$$ لا يمكن تبسيطه إلى عدد صحيح أو عشري.
$$-\dfrac{365}{73} = -5$$. العدد -5 صحيح نسبي وكسري.
2) تذكر تراتبية المجموعات: $$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathfrak{D} \subset \mathbb{Q}$$.
1) أ) $$\dfrac{21}{3} \in \mathbb{N}\;;\qquad\dfrac{41}{3} \notin \mathbb{N}\;;\qquad\dfrac{41}{3} \in \mathbb{Q}$$
ب) $$\dfrac{21}{3} \in \mathfrak{D}\;;\qquad -\dfrac{40}{12} \in \mathbb{Q}\;;\qquad\dfrac{125}{375} \in \mathbb{Q}^{+}$$
ج) $$-\dfrac{365}{73} \in \mathbb{Z}\;;\qquad\dfrac{121}{11} \in \mathbb{Q}\;;\qquad\dfrac{42}{6} \in \mathbb{D}$$
2) $$\mathbb{N} \subset \mathbb{Q}\;;\qquad \mathbb{Z} \not\subset \mathbb{N}\;;\qquad\mathfrak{D} \subset \mathbb{Q}\;;\qquad\mathbb{Q} \not\subset \mathbb{D}$$
1) احسب $$PGCD\;(504\;;\ 492)$$ و $$PGCD\;(888\;;\ 777)$$ ثم اختزل الكسرين: $$A=\dfrac{504}{492}$$ و $$B=-\dfrac{888}{777}$$
2) في كل حالة، حدد $$PPCM\;(a\;,\ b)$$ و $$PGCD\;(a\;,\ b)$$:
الحالة الأولى: $$a=504\;;\quad b=492$$
الحالة الثانية: $$a=121\;;\quad b=210$$
3) بين أن 1029 من مضاعفات 147. استنتج $$PGCD\;(1029\;;\ 147)$$ و $$PPCM\;(1029\;;\ 147)$$.
استخدم خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية) لإيجاد القاسم المشترك الأكبر. لاختزال كسر، اقسم البسط والمقام على PGCD. تذكر العلاقة: $$a \times b = PGCD(a,b) \times PPCM(a,b)$$. إذا كان عدد مضاعفاً لآخر، فإن PGCD هو الأصغر و PPCM هو الأكبر.
1) $$504 = 492 \times 1 + 12$$. $$492 = 12 \times 41 + 0$$. إذن $$PGCD(504, 492) = 12$$. لاختزال A، اقسم 504 و 492 على 12.
2) لقد حسبت PGCD في السؤال 1. استخدم العلاقة $$PPCM(a,b) = (a \times b) / PGCD(a,b)$$ لحساب PPCM.
3) اقسم 1029 على 147. إذا كان الباقي صفرًا، فهو مضاعف. في هذه الحالة، $$PGCD(1029, 147) = 147$$ و $$PPCM(1029, 147) = 1029$$.
1) $$PGCD(504, 492) = 12$$. $$A=\dfrac{504 \div 12}{492 \div 12} = \dfrac{42}{41}$$.
$$PGCD(888, 777) = 111$$. $$B=-\dfrac{888 \div 111}{777 \div 111} = -\dfrac{8}{7}$$.
2) الحالة الأولى: $$PGCD(504, 492)=12$$, $$PPCM(504, 492) = (504 \times 492) / 12 = 20664$$.
الحالة الثانية: $$PGCD(121, 210)=1$$, $$PPCM(121, 210) = 121 \times 210 = 25410$$.
3) $$1029 = 147 \times 7$$. نعم، هو مضاعف. إذن: $$PGCD(1029, 147) = 147$$ و $$PPCM(1029, 147) = 1029$$.
1) احسب المجاميع ثم اختزل: $$A=\dfrac{3}{4}+\dfrac{5}{-3}\;;\quad B=\left(-\dfrac{2}{7}\right)+\left(-\dfrac{3}{2}\right)$$
2) احسب الفروق ثم اختزل: $$A=\dfrac{3}{4}-\dfrac{2}{3}\;;\quad B=3-\left(-\dfrac{3}{2}\right)$$
3) احسب الجداءات ثم اختزل: $$A=\dfrac{4}{3}\times -\dfrac{9}{12}\;;\quad B=\dfrac{125}{14}\times\dfrac{49}{-50}$$
4) احسب خوارج القسمة ثم اختزل: $$A=-\dfrac{\dfrac{2}{3}}{-\dfrac{4}{5}}\;;\quad D=-\dfrac{4}{15}\div +\dfrac{14}{25}$$
5) احسب القوى ثم اختزل: $$A=\left(+\dfrac{2}{5}\right)^{5}\;;\quad C=\left(+\dfrac{1}{2}\right)^{-5}$$
للجمع والطرح، وحّد المقامات. للضرب، اضرب البسط في البسط والمقام في المقام. للقسمة، اضرب في مقلوب الكسر الثاني. للقوة السالبة، اقلب الكسر وغير إشارة دليل القوة.
1) $$A=\dfrac{3}{4}-\dfrac{5}{3} = \dfrac{3\times3 - 5\times4}{12}$$
2) $$B=3+\dfrac{3}{2} = \dfrac{3\times2+3}{2}$$
3) $$A=\dfrac{4 \times (-9)}{3 \times 12}$$. اختزل قبل الضرب.
4) $$A = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{5}{4}$$. $$D = -\dfrac{4}{15} \times \dfrac{25}{14}$$.
5) $$C = \left(\dfrac{2}{1}\right)^{5} = 2^5$$.
1) $$A=\dfrac{9-20}{12} = -\dfrac{11}{12}\;;\quad B=\dfrac{-4-21}{14} = -\dfrac{25}{14}$$
2) $$A=\dfrac{9-8}{12} = \dfrac{1}{12}\;;\quad B=\dfrac{6+3}{2} = \dfrac{9}{2}$$
3) $$A=\dfrac{4}{3}\times -\dfrac{3}{4} = -1\;;\quad B=\dfrac{125 \times 49}{14 \times (-50)} = \dfrac{5 \times 7}{2 \times (-2)} = -\dfrac{35}{4}$$
4) $$A=\dfrac{2}{3} \times \dfrac{5}{4} = \dfrac{5}{6}\;;\quad D=-\dfrac{4}{15} \times \dfrac{25}{14} = -\dfrac{2\times2\times5\times5}{3\times5\times2\times7} = -\dfrac{10}{21}$$
5) $$A=\dfrac{2^5}{5^5} = \dfrac{32}{3125}\;;\quad C = \left(\dfrac{2}{1}\right)^5 = 32$$
في قسم من السنة الثالثة، $$\dfrac{2}{3}$$ التلاميذ يرغبون في مواصلة دراستهم في التعليم العام، $$\dfrac{1}{6}$$ يريدون الذهاب إلى التعليم التكنولوجي، والخمسة تلاميذ المتبقين يرغبون في الذهاب إلى التعليم المهني.
1) ما هو الكسر الذي يمثل عدد التلاميذ الذين يريدون الذهاب إلى التعليم المهني؟
2) حدد عدد تلاميذ القسم.
3) حدد عدد التلاميذ الراغبين في مواصلة دراستهم في التعليم العام.
مجموع كل أجزاء القسم (الكسور) يجب أن يساوي 1 (القسم كاملاً). استخدم هذه المعلومة لإيجاد الكسر المتبقي. هذا الكسر يمثل 5 تلاميذ.
1) الكسر المتبقي = $$1 - (\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{6})$$. وحّد المقامات لحساب المجموع.
2) إذا كان الكسر الذي وجدته في (1) يمثل 5 تلاميذ، فما هو العدد الإجمالي للتلاميذ (الذي يمثله الكسر 1)؟
3) اضرب العدد الإجمالي للتلاميذ في الكسر $$\dfrac{2}{3}$$.
1) الكسر المتبقي = $$1 - (\dfrac{4}{6} + \dfrac{1}{6}) = 1 - \dfrac{5}{6} = \dfrac{1}{6}$$.
2) $$\dfrac{1}{6}$$ من التلاميذ يمثل 5 أشخاص. إذن العدد الإجمالي للتلاميذ هو $$5 \times 6 = 30$$ تلميذاً.
3) عدد تلاميذ التعليم العام = $$30 \times \dfrac{2}{3} = 20$$ تلميذاً.
نصف قطر عطارد يساوي $$\dfrac{3}{8}$$ من نصف قطر الأرض. نصف قطر القمر يساوي $$\dfrac{3}{11}$$ من نصف قطر الأرض.
ما هو الكسر الذي يمثل نصف قطر القمر بالنسبة لنصف قطر عطارد؟
لنرمز لنصف قطر الأرض بـ $$R_T$$. إذن نصف قطر عطارد هو $$R_M = \dfrac{3}{8} R_T$$ ونصف قطر القمر هو $$R_L = \dfrac{3}{11} R_T$$. المطلوب هو إيجاد النسبة $$\dfrac{R_L}{R_M}$$.
المطلوب هو حساب $$\dfrac{R_L}{R_M} = \dfrac{\frac{3}{11} R_T}{\frac{3}{8} R_T}$$.
يمكنك تبسيط $$R_T$$ من البسط والمقام. يتبقى لديك قسمة كسرين.
$$\dfrac{\frac{3}{11}}{\frac{3}{8}} = \dfrac{3}{11} \times \dfrac{8}{3}$$.
النسبة المطلوبة هي $$\dfrac{\text{نصف قطر القمر}}{\text{نصف قطر عطارد}} = \dfrac{\frac{3}{11} \times \text{نصف قطر الأرض}}{\frac{3}{8} \times \text{نصف قطر الأرض}}$$
$$= \dfrac{3}{11} \div \dfrac{3}{8} = \dfrac{3}{11} \times \dfrac{8}{3} = \dfrac{8}{11}$$.
إذن، نصف قطر القمر يساوي $$\dfrac{8}{11}$$ من نصف قطر عطارد.