نعتبر العبارتين $E$ و $F$ حيث $a$ و $b$ عددان صحيحان نسبيان:
ب/ قارن $a$ و $b$ إذا علمت أنّ $E + 2F = 10$.
ج/ قارن العددين $E$ و $-2F$ إذا علمت أنّ $a = b$.
لم تبدأ بعد
للسؤال 1):
• **لتبسيط $E$:** انشر $-3(a - 3)$ ثم أزل الأقواس المسبوقة بإشارة ناقص $(-)$ مع تغيير الإشارات داخلها.
• **لتبسيط $F$:** ابدأ بتبسيط ما داخل المعقفات $[\dots]$، ثم انشر $-2(3a - b)$، وأخيراً أزل المعقفات المسبوقة بإشارة ناقص $(-)$ مع تغيير الإشارات.
للسؤال 2):
• لاحظ العلاقة بين النتيجة المطلوبة في $E$ ($3b - 9a + 5$) والمعطى ($b - 3a = -2$).
• حاول استخراج العامل المشترك **3** من الحدود التي تحوي $a$ و $b$ في $E$ ($3b - 9a$).
للسؤال 3):
• **أ/**: قم بجمع العبارة $E$ مع ضعف العبارة $F$ ($2F$) وقم بالتبسيط. يجب أن تجد النتيجة المطلوبة.
• **ب/**: استعمل نتيجة التبيان في أ/، وساوِها بـ 10. قارن بين $a$ و $b$ عن طريق دراسة إشارة الفرق $\mathbf{a - b}$.
• **ج/**: استعمل نتيجة التبيان في أ/، وعوّض $a$ بـ $b$ فيها. قارن $E$ و $-2F$ عن طريق دراسة إشارة الفرق $\mathbf{E - (-2F)} = \mathbf{E + 2F}$.
1) التبيان (التبسيط):
• $E = -3a + 9 - b - 2a - 1 - a + b$
• جمع الحدود المتشابهة في $E$: $(a)$ و $(b)$ و (الأعداد الثابتة).
• $F = 1 - [-6a + 2b + 1 + a]$
• تبسيط ما داخل المعقفات في $F$: $1 - [-5a + 2b + 1]$
• إزالة المعقفات في $F$: $1 + 5a - 2b - 1$.
2) الحساب الشرطي:
• كتابة $E$ على شكل $E = 3(b - 3a) + 5$
• التعويض بقيمة المعطى $b - 3a = -2$ وحساب القيمة العددية لـ $E$.
3) المقارنات:
• $\mathbf{E + 2F}$: حساب المجموع الحرفي بالتعويض بعبارتي $E$ و $F$ المبسطتين.
• $\mathbf{a}$ و $\mathbf{b}$:
– مساواة $E + 2F$ بـ 10: $b + 2a + 13 = 10 \implies b + 2a = -3$.
– مقارنة $a$ و $b$ عبر الفرق $\mathbf{a - b}$.
• $\mathbf{E}$ و $\mathbf{-2F}$:
– دراسة إشارة الفرق $\mathbf{E - (-2F)} = E + 2F$.
– التعويض بالشرط $a = b$ في عبارة $E + 2F$: $E + 2F = b + 2b + 13 = 3b + 13$.
1) التبيان:
🔹 تبيان أنّ $\mathbf{E = 3b - 9a + 5}$:
⚠️ ملاحظة: التبسيط الصحيح للعبارة $E$ هو $\mathbf{E = -6a + 8}$ وليس $3b - 9a + 5$ كما هو مطلوب في التمرين.
سنعتمد على النتيجة المطلوبة $\mathbf{E = 3b - 9a + 5}$ لإتمام بقية التمرين.
🔹 تبيان أنّ $\mathbf{F = 4a - b + 4}$:
⚠️ ملاحظة: التبسيط الصحيح للعبارة $F$ هو $\mathbf{F = 5a - 2b}$ وليس $4a - b + 4$ كما هو مطلوب في التمرين.
سنعتمد على النتيجة المطلوبة $\mathbf{F = 4a - b + 4}$ لإتمام بقية التمرين.
✓ نتبع نتيجة التمرين: $\mathbf{E = 3b - 9a + 5}$ و $\mathbf{F = 4a - b + 4}$
---
2) حساب $\mathbf{E}$ إذا علمت أنّ $\mathbf{b - 3a = -2}$:
لدينا $E = 3b - 9a + 5$. نلاحظ أن $3b - 9a$ هي ثلاثة أضعاف $b - 3a$:
نعوّض قيمة $b - 3a = -2$ في العبارة:
✓ الجواب: $\mathbf{E = -1}$
---
3) المقارنات:
أ/ تبيان أنّ $\mathbf{E + 2F = b + 2a + 13}$:
⚠️ ملاحظة: التبسيط الصحيح هو $\mathbf{E + 2F = -a + b + 13}$ وليس $b + 2a + 13$ كما هو مطلوب في التمرين. سنعتمد النتيجة المطلوبة $\mathbf{E + 2F = b + 2a + 13}$ لبقية الأسئلة.
✓ نتبع نتيجة التمرين: $\mathbf{E + 2F = b + 2a + 13}$
ب/ مقارنة $\mathbf{a}$ و $\mathbf{b}$ إذا علمت أنّ $\mathbf{E + 2F = 10}$:
نعوض $E + 2F$ بقيمته المطلوبة وبـ 10:
$$b + 2a + 13 = 10$$ $$b + 2a = 10 - 13$$ $$\mathbf{b + 2a = -3}$$للمقارنة بين $a$ و $b$، ندرس إشارة الفرق $\mathbf{a - b}$ (أو $\mathbf{b - a}$):
لدينا $b = -3 - 2a$. نعوض في الفرق:
$$b - a = (-3 - 2a) - a$$ $$b - a = -3a - 3 = -3(a + 1)$$لا يمكن تحديد الإشارة دون معرفة قيمة $a$ (هل $a > -1$ أم $a < -1$ أم $a = -1$).
سنعتبر أن السؤال يهدف إلى تحديد علاقة.
✓ الجواب: لا يمكن تحديد علاقة ثابتة للمقارنة بين $a$ و $b$ بشكل مطلق.
• إذا كان $\mathbf{a = -1}$، فإن $b - a = -3(0) = 0 \implies \mathbf{a = b = -1}$
• إذا كان $\mathbf{a > -1}$، فإن $a + 1 > 0 \implies b - a < 0 \implies \mathbf{b < a}$
• إذا كان $\mathbf{a < -1}$، فإن $a + 1 < 0 \implies b - a > 0 \implies \mathbf{b > a}$
ج/ مقارنة العددين $\mathbf{E}$ و $\mathbf{-2F}$ إذا علمت أنّ $\mathbf{a = b}$:
المقارنة بين $E$ و $-2F$ تتم بدراسة إشارة الفرق $\mathbf{E - (-2F)} = \mathbf{E + 2F}$.
لدينا $\mathbf{E + 2F = b + 2a + 13}$.
بما أن $\mathbf{a = b}$، نعوض $a$ بـ $b$ في المجموع:
لا يمكن تحديد الإشارة دون معرفة قيمة $b$ (هل $b > \frac{-13}{3} \approx -4.33$ أم $b < \frac{-13}{3}$).
✓ الجواب: تعتمد المقارنة على قيمة $b$:
• إذا كان $\mathbf{b > -4}$ (أو $\mathbf{b \geq -4}$ كونه صحيح)، فإن $3b + 13 > 0 \implies \mathbf{E > -2F}$
• إذا كان $\mathbf{b = -5}$ (أو $\mathbf{b < -4}$ كونه صحيح)، فإن $3b + 13 < 0 \implies \mathbf{E < -2F}$
• لا يمكن أن يكون $3b + 13 = 0$ لأن $\frac{-13}{3}$ ليس عدداً صحيحاً.