تمارين في العمليات على الأعداد الكسرية والأعداد الحقيقية

(1) تبسيط بسط الكسر الرئيسي: $$\frac{3}{5} + 1 = \frac{3}{5} + \frac{5}{5} = \frac{8}{5}$$

(2) تبسيط مقام الكسر الرئيسي: نوحّد المقامات على 6: $$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$$

(3) حساب قيمة الكسر الرئيسي: $$\frac{\frac{8}{5}}{\frac{1}{6}} = \frac{8}{5} \div \frac{1}{6} = \frac{8}{5} \times \frac{6}{1} = \frac{48}{5}$$

(4) إتمام عملية الضرب النهائي: نعوّض النتيجة في العبارة $A$: $$A = \frac{48}{5} \times \left( - \frac{5}{6} \right)$$ $$A = - \frac{48 \times 5}{5 \times 6}$$ $$A = - \frac{48}{6}$$ $$A = -8$$

(1) فصل القوس $(x + \frac{1}{2})$: نقسم طرفي المعادلة على $\frac{3}{5}$ (أو نضرب في المقلوب $\frac{5}{3}$): $$x + \frac{1}{2} = \frac{9}{10} \div \frac{3}{5}$$ $$x + \frac{1}{2} = \frac{9}{10} \times \frac{5}{3}$$

(2) تبسيط الطرف الأيمن: $$x + \frac{1}{2} = \frac{9 \times 5}{10 \times 3} = \frac{45}{30}$$ نختزل الكسر بقسمة البسط والمقام على 15: $$x + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$$

(3) إيجاد قيمة $x$: نطرح $\frac{1}{2}$ من طرفي المعادلة: $$x = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}$$ $$x = \frac{2}{2}$$ $$x = 1$$ $$\text{إذن مجموعة الحلول هي } S_{\mathbb{Q}} = \left\{ 1 \right\}$$

(1) حساب قيمة $E$: نبدأ بالقوس: $$1 - \frac{3}{4} = \frac{4}{4} - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$$ $$E = \frac{1}{2} \div \frac{1}{4}$$ $$E = \frac{1}{2} \times 4 = \frac{4}{2}$$ $$E = 2$$

(2) حساب قيمة $F$: نبدأ بالضرب: $$\frac{1}{3} \times 9 = \frac{9}{3} = 3$$ $$F = 3 + \frac{1}{2}$$ $$F = \frac{6}{2} + \frac{1}{2}$$ $$F = \frac{7}{2}$$

(3) المقارنة: لدينا $E=2$ و $F = \frac{7}{2} = 3.5$. بما أن $3.5 > 2$: $$F > E$$

(1) فصل الحدود التي تحتوي على $x$ في طرف والأعداد المعلومة في طرف آخر: نطرح $\frac{1}{4}x$ من الطرفين، ونطرح $\frac{3}{4}$ من الطرفين: $$\frac{1}{2}x - \frac{1}{4}x \le - \frac{1}{2} - \frac{3}{4}$$

(2) تبسيط طرفي المتراجحة: الطرف الأيمن: نوحّد المقامات على 4: $$\frac{2}{4}x - \frac{1}{4}x = \frac{1}{4}x$$ الطرف الأيسر: نوحّد المقامات على 4: $$- \frac{1}{2} - \frac{3}{4} = - \frac{2}{4} - \frac{3}{4} = \frac{-2 - 3}{4} = - \frac{5}{4}$$ تصبح المتراجحة: $$\frac{1}{4}x \le - \frac{5}{4}$$

(3) إيجاد قيمة $x$: نضرب طرفي المتراجحة في 4 (عدد موجب، إذن اتجاه المتراجحة لا يتغير): $$x \le - \frac{5}{4} \times 4$$ $$x \le -5$$ $$\text{إذن مجموعة الحلول هي جميع الأعداد الكسرية الأصغر من أو تساوي } -5$$ $$\text{مجموعة الحلول هي } S_{\mathbb{Q}} = \left\{ x \in \mathbb{Q} \mid x \le -5 \right\}$$

(1) تبسيط القوس الداخلي (الطرح): نوحّد المقامات على 10: $$\frac{4}{5} - \frac{1}{10} = \frac{8}{10} - \frac{1}{10} = \frac{7}{10}$$

(2) تبسيط ما داخل المعقوفتين (الضرب): نعوّض النتيجة: $$\frac{1}{2} \left( \frac{7}{10} \right) = \frac{1 \times 7}{2 \times 10} = \frac{7}{20}$$

(3) حساب القوة (التربيع): $$\left[ \frac{7}{20} \right]^2 = \frac{7^2}{20^2} = \frac{49}{400}$$

(4) إتمام عملية الطرح النهائي: نعوّض النتائج في العبارة $D$: $$D = \frac{5}{3} - \frac{49}{400}$$ نوحّد المقامات على المضاعف المشترك الأصغر للـ 3 و 400، وهو 1200: $$D = \frac{5 \times 400}{1200} - \frac{49 \times 3}{1200}$$ $$D = \frac{2000}{1200} - \frac{147}{1200}$$ $$D = \frac{2000 - 147}{1200}$$ $$D = \frac{1853}{1200}$$