تمارين في العمليات على الأعداد الكسرية والأعداد الحقيقية

(1) تبسيط القوس الأول (الضرب): $$\frac{2}{3} \times \frac{9}{4} = \frac{2 \times 9}{3 \times 4} = \frac{18}{12}$$ نختزل الكسر بقسمة البسط والمقام على 6: $$\frac{18}{12} = \frac{3}{2}$$

(2) تبسيط القوس الثاني (الجمع): نوحّد المقامات على 6: $$- \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = - \frac{1 \times 3}{2 \times 3} + \frac{1}{6} = - \frac{3}{6} + \frac{1}{6}$$ $$- \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{-3 + 1}{6} = \frac{-2}{6} = - \frac{1}{3}$$

(3) إتمام عملية القسمة: نعوّض النتائج في العبارة $A$: $$A = \frac{3}{2} \div \left( - \frac{1}{3} \right)$$ نحول القسمة إلى ضرب في مقلوب العدد: $$A = \frac{3}{2} \times (-3)$$ $$A = - \frac{9}{2}$$

(1) تبسيط القوس الداخلي (الطرح): نوحّد المقامات: $$\frac{2}{9} - 1 = \frac{2}{9} - \frac{9}{9} = \frac{2 - 9}{9} = - \frac{7}{9}$$

(2) تبسيط المعقوفتين (الضرب): نعوّض في المعقوفتين: $$\frac{3}{4} \times \left( - \frac{7}{9} \right) = - \frac{3 \times 7}{4 \times 9} = - \frac{21}{36}$$ نختزل الكسر بقسمة البسط والمقام على 3: $$- \frac{21}{36} = - \frac{7}{12}$$

(3) إتمام عملية الجمع والطرح: نعوّض النتائج في العبارة $B$: $$B = \frac{1}{5} - \frac{7}{12} - \frac{1}{3}$$ نوحّد المقامات على المضاعف المشترك الأصغر للـ 5 و 12 و 3، وهو 60: $$B = \frac{1 \times 12}{60} - \frac{7 \times 5}{60} - \frac{1 \times 20}{60}$$ $$B = \frac{12 - 35 - 20}{60}$$ $$B = \frac{12 - 55}{60}$$ $$B = - \frac{43}{60}$$

(1) فصل الحد الذي يحتوي على المجهول $x$: نضيف $\frac{2}{3}$ إلى طرفي المعادلة: $$\frac{1}{4}x = \frac{5}{6} + \frac{2}{3}$$

(2) تبسيط الطرف الأيمن: نوحّد المقامات على 6: $$\frac{1}{4}x = \frac{5}{6} + \frac{2 \times 2}{3 \times 2}$$ $$\frac{1}{4}x = \frac{5}{6} + \frac{4}{6} = \frac{9}{6}$$ نختزل الكسر: $\frac{9}{6} = \frac{3}{2}$ $$\frac{1}{4}x = \frac{3}{2}$$

(3) إيجاد قيمة $x$: نضرب طرفي المعادلة في 4: $$x = \frac{3}{2} \times 4$$ $$x = \frac{12}{2}$$ $$x = 6$$ $$\text{إذن مجموعة الحلول هي } S_{\mathbb{Q}} = \left\{ 6 \right\}$$

(1) فصل المجهول $x$ في طرف والأعداد المعلومة في طرف آخر: نطرح $x$ من الطرفين، ونضيف $\frac{1}{5}$ للطرفين: $$3x - x > \frac{2}{3} + \frac{1}{5}$$ $$2x > \frac{2}{3} + \frac{1}{5}$$

(2) تبسيط الطرف الأيمن: نوحّد المقامات على 15: $$2x > \frac{2 \times 5}{15} + \frac{1 \times 3}{15}$$ $$2x > \frac{10 + 3}{15}$$ $$2x > \frac{13}{15}$$

(3) إيجاد قيمة $x$: نقسم طرفي المتراجحة على 2 (عدد موجب، إذن اتجاه المتراجحة لا يتغير): $$x > \frac{13}{15} \div 2$$ $$x > \frac{13}{15} \times \frac{1}{2}$$ $$x > \frac{13}{30}$$ $$\text{إذن مجموعة الحلول هي } S_{\mathbb{Q}} = \left\{ x \in \mathbb{Q} \mid x > \frac{13}{30} \right\}$$

(4) التمثيل البياني لمجموعة الحلول على مستقيم مدرج:

• نعين النقطة $\frac{13}{30}$.
• نظلل الجزء الذي يمثل الأعداد الأكبر من $\frac{13}{30}$ (الجهة اليمنى).
• المعقف (القوس) موجه بعيداً عن الحلول لأن العلامة هي ($>$) (لا تتضمن $\frac{13}{30}$).

(1) حساب القوة الأولى: $$\left( \frac{1}{2} \right)^3 = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1}{8}$$

(2) حساب القوة الثانية: القوة زوجية، إذن النتيجة موجبة: $$\left( -\frac{2}{3} \right)^2 = \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}$$

(3) إتمام عملية الجمع والطرح: نعوّض النتائج في العبارة $C$: $$C = \frac{1}{8} - \frac{4}{9} + 1$$ نوحّد المقامات على المضاعف المشترك الأصغر للـ 8 و 9، وهو 72: $$C = \frac{1 \times 9}{72} - \frac{4 \times 8}{72} + \frac{1 \times 72}{72}$$ $$C = \frac{9}{72} - \frac{32}{72} + \frac{72}{72}$$ $$C = \frac{9 - 32 + 72}{72}$$ $$C = \frac{81 - 32}{72}$$ $$C = \frac{49}{72}$$