تمارين في العمليات على الأعداد الكسرية والأعداد الحقيقية

(1) التخلص من الأقواس الداخلية وتوحيد المقامات: نبدأ بتبسيط التعبيرين داخل القوسين الكبيرين: $$\left(\frac{3}{4} + \frac{1}{3}\right) = \left(\frac{3\times 3}{12} + \frac{1\times 4}{12}\right) = \frac{9+4}{12} = \frac{13}{12}$$ $$\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{6}\right) = \left(\frac{1\times 3}{6} - \frac{1}{6}\right) = \frac{3-1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$ الآن نعوّض في العبارة $A$: $$A = \frac{1}{2} - \left[ \frac{13}{12} - \frac{1}{3} \right]$$

(2) التخلص من المعقوفتين (الأقواس الخارجية): نوحّد المقامات داخل المعقوفتين على 12: $$A = \frac{1}{2} - \left[ \frac{13}{12} - \frac{1 \times 4}{3 \times 4} \right] = \frac{1}{2} - \left[ \frac{13 - 4}{12} \right]$$ $$A = \frac{1}{2} - \frac{9}{12} \quad \text{(نختزل } \frac{9}{12} \text{ إلى } \frac{3}{4} \text{)}$$ $$A = \frac{1}{2} - \frac{3}{4}$$

(3) الحساب النهائي: نوحّد المقامات على 4: $$A = \frac{1 \times 2}{2 \times 2} - \frac{3}{4} = \frac{2}{4} - \frac{3}{4}$$ $$A = \frac{2 - 3}{4}$$ $$A = -\frac{1}{4}$$

(1) حذف الأقواس الداخلية وتبسيطها: $$\frac{5}{6} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6} + \frac{2}{6} = \frac{7}{6}$$ الآن نعوّض في العبارة: $$B = \frac{5}{6} - \left\{ \frac{1}{3} - \left[ \frac{7}{4} - \frac{7}{6} \right] \right\}$$

(2) تبسيط المعقوفتين: نوحّد المقامات داخل المعقوفتين على 12: $$\frac{7}{4} - \frac{7}{6} = \frac{7\times 3}{12} - \frac{7\times 2}{12} = \frac{21 - 14}{12} = \frac{7}{12}$$ الآن نعوّض في العبارة: $$B = \frac{5}{6} - \left\{ \frac{1}{3} - \frac{7}{12} \right\}$$

(3) تبسيط القوسين الكبيرين ({}) والحساب النهائي: نوحّد المقامات داخل القوسين الكبيرين على 12: $$\frac{1}{3} - \frac{7}{12} = \frac{4}{12} - \frac{7}{12} = \frac{-3}{12} = -\frac{1}{4}$$ الآن نعوّض في العبارة $B$: $$B = \frac{5}{6} - \left( -\frac{1}{4} \right) = \frac{5}{6} + \frac{1}{4}$$ نوحّد المقامات النهائية على 12: $$B = \frac{5\times 2}{12} + \frac{1\times 3}{12} = \frac{10 + 3}{12}$$ $$B = \frac{13}{12}$$

(1) تبسيط ما بين القوسين: نوحّد المقامات داخل القوس على 10: $$\frac{2}{5} - \frac{1}{10} = \frac{4}{10} - \frac{1}{10} = \frac{3}{10}$$ تصبح المعادلة: $$x - \frac{3}{10} = \frac{1}{2}$$

(2) فصل المجهول $x$: نضيف $\frac{3}{10}$ إلى طرفي المعادلة: $$x = \frac{1}{2} + \frac{3}{10}$$

(3) الحساب والنتيجة النهائية: نوحّد المقامات على 10: $$x = \frac{5}{10} + \frac{3}{10} = \frac{8}{10}$$ نختزل الكسر: $$x = \frac{4}{5}$$ $$\text{إذن مجموعة الحلول هي } S_{\mathbb{Q}} = \left\{ \frac{4}{5} \right\}$$

(1) حذف الأقواس: نحذف القوسين ونغير علامة ما بداخلهما: $$\frac{3}{2} - \frac{1}{4} + x = -1$$

(2) تجميع الحدود المعلومة في طرف: نوحّد المقامات للحدود المعلومة في الطرف الأيسر (على 4): $$\frac{3}{2} - \frac{1}{4} = \frac{6}{4} - \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$$ تصبح المعادلة: $$\frac{5}{4} + x = -1$$

(3) فصل المجهول $x$ والحساب النهائي: نطرح $\frac{5}{4}$ من طرفي المعادلة: $$x = -1 - \frac{5}{4}$$ نوحّد المقامات: $$x = -\frac{4}{4} - \frac{5}{4} = \frac{-4-5}{4}$$ $$x = -\frac{9}{4}$$ $$\text{إذن مجموعة الحلول هي } S_{\mathbb{Q}} = \left\{ -\frac{9}{4} \right\}$$

(1) حل المتراجحة: $$x + \frac{1}{3} \ge \frac{5}{6}$$ نطرح $\frac{1}{3}$ من طرفي المتراجحة: $$x \ge \frac{5}{6} - \frac{1}{3}$$

(2) تبسيط الطرف الأيمن: نوحّد المقامات على 6: $$x \ge \frac{5}{6} - \frac{1 \times 2}{3 \times 2}$$ $$x \ge \frac{5}{6} - \frac{2}{6}$$ $$x \ge \frac{3}{6}$$ $$x \ge \frac{1}{2}$$ $$\text{إذن مجموعة الحلول هي جميع الأعداد الكسرية الأكبر من أو تساوي } \frac{1}{2}$$

(3) التمثيل البياني لمجموعة الحلول على مستقيم مدرج: التمثيل على مستقيم مدرج يتطلب:

• تعيين النقطة $\frac{1}{2}$.
• تظليل الجزء الذي يمثل الأعداد الأكبر من $\frac{1}{2}$ (الجهة اليمنى).
• المعقف (القوس) موجه نحو الحلول لأن العلامة هي ($\ge$) (تتضمن $\frac{1}{2}$).