تمارين في العمليات على الأعداد الكسرية والأعداد الحقيقية

(أ) إصلاح العبارة $A$ $$A = \frac{18}{12} - \left(\frac{4}{3} + \frac{1}{6}\right)$$ $$A = \frac{3}{2} - \left(\frac{4 \times 2}{3 \times 2} + \frac{1}{6}\right) \quad \text{(1. تبسيط } \frac{18}{12} \text{ وتوحيد المقامات داخل القوس)}$$ $$A = \frac{3}{2} - \left(\frac{8}{6} + \frac{1}{6}\right) \quad \text{(2. جمع الكسرين داخل القوس)}$$ $$A = \frac{3}{2} - \frac{9}{6} \quad \text{(3. تبسيط } \frac{9}{6} \text{ إلى } \frac{3}{2})$$ $$A = \frac{3}{2} - \frac{3}{2}$$ $$A = 0$$

(ب) إصلاح العبارة $B$ $$B = -2 - \left[ \frac{1}{4} - \left(\frac{3}{2} - \frac{1}{4}\right) \right]$$ $$B = -2 - \left[ \frac{1}{4} - \frac{3}{2} + \frac{1}{4} \right] \quad \text{(1. حذف القوسين الداخليين وتغيير العلامات)}$$ $$B = -2 - \left[ \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right) - \frac{3}{2} \right] \quad \text{(2. تجميع الحدود المتشابهة)}$$ $$B = -2 - \left[ \frac{2}{4} - \frac{3}{2} \right] \quad \text{(3. تبسيط } \frac{2}{4} \text{ وتوحيد المقام)}$$ $$B = -2 - \left[ \frac{1}{2} - \frac{3}{2} \right]$$ $$B = -2 - \left[ \frac{1-3}{2} \right] = -2 - \left[ \frac{-2}{2} \right] \quad \text{(4. إجراء عملية الطرح داخل المعقوفتين)}$$ $$B = -2 - (-1) = -2 + 1$$ $$B = -1$$

(ج) إصلاح العبارة $C$ $$C = - \left[ \frac{3}{5} - \left(\frac{1}{3} - \frac{4}{5} \right) \right] - \left( \frac{2}{3} + \frac{1}{5} \right)$$ $$C = - \left[ \frac{3}{5} - \frac{1}{3} + \frac{4}{5} \right] - \frac{2}{3} - \frac{1}{5} \quad \text{(1. حذف القوسين الداخليين والقوسين الخارجيين)}$$ $$C = - \frac{3}{5} + \frac{1}{3} - \frac{4}{5} - \frac{2}{3} - \frac{1}{5} \quad \text{(2. حذف المعقوفتين وتغيير العلامات)}$$ $$C = \left(-\frac{3}{5} - \frac{4}{5} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{2}{3}\right) \quad \text{(3. تجميع الكسور ذات المقام المشترك)}$$ $$C = \frac{-3-4-1}{5} + \frac{1-2}{3}$$ $$C = \frac{-8}{5} + \frac{-1}{3} \quad \text{(4. توحيد المقامات على 15)}$$ $$C = \frac{-8 \times 3}{5 \times 3} + \frac{-1 \times 5}{3 \times 5}$$ $$C = \frac{-24}{15} + \frac{-5}{15}$$ $$C = \frac{-24 - 5}{15} = \frac{-29}{15}$$

(أ) إصلاح العبارة $D$ $$D = -\left(\frac{1}{2} - \frac{5}{3}\right) - \left[ \frac{3}{2} - \left( \frac{7}{4} - \frac{1}{3} \right) \right]$$ $$D = -\frac{1}{2} + \frac{5}{3} - \left[ \frac{3}{2} - \frac{7}{4} + \frac{1}{3} \right] \quad \text{(1. حذف الأقواس الداخلية وتغيير العلامات)}$$ $$D = -\frac{1}{2} + \frac{5}{3} - \frac{3}{2} + \frac{7}{4} - \frac{1}{3} \quad \text{(2. حذف المعقوفتين وتغيير العلامات)}$$ $$D = \left(-\frac{1}{2} - \frac{3}{2}\right) + \left(\frac{5}{3} - \frac{1}{3}\right) + \frac{7}{4} \quad \text{(3. تجميع الكسور ذات المقام المشترك)}$$ $$D = \frac{-4}{2} + \frac{4}{3} + \frac{7}{4}$$ $$D = -2 + \frac{4}{3} + \frac{7}{4} \quad \text{(4. توحيد المقامات على 12)}$$ $$D = \frac{-2 \times 12}{12} + \frac{4 \times 4}{12} + \frac{7 \times 3}{12} = \frac{-24 + 16 + 21}{12}$$ $$D = \frac{-24 + 37}{12} = \frac{13}{12}$$

(ب) إصلاح العبارة $E$ $$E = - \left[ - \left( \frac{1}{4} - \frac{3}{2} \right) - \frac{1}{3} \right] - \left( \frac{1}{4} - \frac{5}{6} \right)$$ $$E = - \left[ - \frac{1}{4} + \frac{3}{2} - \frac{1}{3} \right] - \frac{1}{4} + \frac{5}{6} \quad \text{(1. حذف الأقواس الداخلية والخارجية)}$$ $$E = \frac{1}{4} - \frac{3}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{5}{6} \quad \text{(2. حذف المعقوفتين وتغيير العلامات)}$$ $$E = \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{4}\right) + \left(-\frac{3}{2} + \frac{5}{6}\right) + \frac{1}{3} \quad \text{(3. تجميع الحدود المتشابهة)}$$ $$E = 0 + \left(-\frac{9}{6} + \frac{5}{6}\right) + \frac{2}{6} \quad \text{(4. توحيد المقامات والمواصلة)}$$ $$E = \frac{-4}{6} + \frac{2}{6} = \frac{-2}{6}$$ $$E = -\frac{1}{3} \quad \text{(5. تبسيط الكسر)}$$

(ج) إصلاح العبارة $F$ $$F = \frac{1}{2} - \left[ \frac{3}{5} - \left( 1 - \frac{2}{3} \right) \right] + \left( - \frac{1}{2} - \frac{2}{5} \right)$$ $$F = \frac{1}{2} - \left[ \frac{3}{5} - 1 + \frac{2}{3} \right] - \frac{1}{2} - \frac{2}{5} \quad \text{(1. حذف الأقواس الداخلية والخارجية)}$$ $$F = \frac{1}{2} - \frac{3}{5} + 1 - \frac{2}{3} - \frac{1}{2} - \frac{2}{5} \quad \text{(2. حذف المعقوفتين وتغيير العلامات)}$$ $$F = \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\right) + \left(-\frac{3}{5} - \frac{2}{5}\right) + 1 - \frac{2}{3} \quad \text{(3. تجميع الحدود المتشابهة)}$$ $$F = 0 + \frac{-5}{5} + 1 - \frac{2}{3}$$ $$F = -1 + 1 - \frac{2}{3}$$ $$F = -\frac{2}{3}$$

(أ) إصلاح العبارة $X$ $$X = \left(\frac{4}{5} - 3 - \frac{2}{3} + 5\right) + \left(\frac{3}{4} - \frac{7}{8} + 4\right) - \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{8}\right)$$ $$X = \frac{4}{5} - 3 - \frac{2}{3} + 5 + \frac{3}{4} - \frac{7}{8} + 4 - \frac{1}{5} - \frac{1}{8} \quad \text{(1. حذف جميع الأقواس)}$$ $$X = \left(\frac{4}{5} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{3}{4} - \frac{7}{8} - \frac{1}{8}\right) - \frac{2}{3} + (-3 + 5 + 4) \quad \text{(2. تجميع الحدود المتشابهة)}$$ $$X = \frac{3}{5} + \left(\frac{6}{8} - \frac{7}{8} - \frac{1}{8}\right) - \frac{2}{3} + 6 \quad \text{(3. توحيد مقام الجزء 4 و جمع الأعداد الصحيحة)}$$ $$X = \frac{3}{5} + \frac{6-7-1}{8} - \frac{2}{3} + 6$$ $$X = \frac{3}{5} + \frac{-2}{8} - \frac{2}{3} + 6$$ $$X = \frac{3}{5} - \frac{1}{4} - \frac{2}{3} + 6 \quad \text{(4. توحيد المقامات على 60)}$$ $$X = \frac{3 \times 12}{60} - \frac{1 \times 15}{60} - \frac{2 \times 20}{60} + \frac{6 \times 60}{60}$$ $$X = \frac{36 - 15 - 40 + 360}{60} = \frac{396 - 55}{60}$$ $$X = \frac{341}{60}$$

(ب) إصلاح العبارة $Y$ $$Y = \frac{1}{2} - \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{5} \right) + \left[ - \frac{1}{2} - \left(\frac{3}{5} - \frac{5}{4} \right) \right]$$ $$Y = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \left[ - \frac{1}{2} - \frac{3}{5} + \frac{5}{4} \right] \quad \text{(1. حذف الأقواس الداخلية)}$$ $$Y = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{5} - \frac{1}{2} - \frac{3}{5} + \frac{5}{4} \quad \text{(2. حذف المعقوفتين)}$$ $$Y = \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\right) + \left(-\frac{1}{4} + \frac{5}{4}\right) + \left(-\frac{1}{5} - \frac{3}{5}\right) \quad \text{(3. تجميع الحدود المتشابهة)}$$ $$Y = 0 + \frac{4}{4} + \frac{-4}{5}$$ $$Y = 1 - \frac{4}{5}$$ $$Y = \frac{5}{5} - \frac{4}{5}$$ $$Y = \frac{1}{5}$$

(أ) إصلاح العبارة $Z$ $$Z = - \left[ \frac{6}{5} - \left( 1 - \frac{9}{2} - \frac{3}{2} + \frac{1}{5} \right) \right]$$ $$Z = - \left[ \frac{6}{5} - \left( 1 + \frac{1}{5} - \left(\frac{9}{2} + \frac{3}{2}\right) \right) \right] \quad \text{(1. تجميع الكسور ذات المقام المشترك داخل القوس)}$$ $$Z = - \left[ \frac{6}{5} - \left( 1 + \frac{1}{5} - \frac{12}{2} \right) \right] \quad \text{(2. جمع الكسور)}$$ $$Z = - \left[ \frac{6}{5} - \left( 1 + \frac{1}{5} - 6 \right) \right]$$ $$Z = - \left[ \frac{6}{5} - 1 - \frac{1}{5} + 6 \right] \quad \text{(3. حذف الأقواس الداخلية وتغيير العلامات)}$$ $$Z = - \left[ \left(\frac{6}{5} - \frac{1}{5}\right) + (-1 + 6) \right] \quad \text{(4. تجميع الحدود المتشابهة)}$$ $$Z = - \left[ \frac{5}{5} + 5 \right]$$ $$Z = - \left[ 1 + 5 \right]$$ $$Z = -6$$

(ب) إصلاح العبارة $W$ $$W = \frac{1}{2} - \left[ \frac{3}{4} - \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \right) \right] + \left[ \frac{1}{3} - \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{6} \right) \right]$$ $$W = \frac{1}{2} - \left[ \frac{3}{4} - \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \right] + \left[ \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{6} \right] \quad \text{(1. حذف الأقواس الداخلية)}$$ $$W = \frac{1}{2} - \frac{3}{4} + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{6} \quad \text{(2. حذف المعقوفتين)}$$ $$W = \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\right) + \left(-\frac{3}{4} - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}\right) \quad \text{(3. تجميع الحدود المتشابهة)}$$ $$W = 0 + \frac{-4}{4} + \left(\frac{2}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6}\right) \quad \text{(4. توحيد مقام الجزء 3)}$$ $$W = -1 + \frac{5}{6}$$ $$W = \frac{-6}{6} + \frac{5}{6}$$ $$W = \frac{-1}{6}$$

(1) حل المعادلة $x + \frac{1}{4} = \frac{5}{3}$ $$x + \frac{1}{4} = \frac{5}{3}$$ $$x = \frac{5}{3} - \frac{1}{4} \quad \text{(1. فصل } x \text{ بطرح } \frac{1}{4} \text{ من الطرفين)}$$ $$x = \frac{5 \times 4}{3 \times 4} - \frac{1 \times 3}{4 \times 3} \quad \text{(2. توحيد المقامات على 12)}$$ $$x = \frac{20}{12} - \frac{3}{12}$$ $$x = \frac{17}{12}$$ $$\text{إذن مجموعة الحلول هي } S_{\mathbb{Q}} = \left\{ \frac{17}{12} \right\}$$

(2) حل المعادلة $\frac{7}{2} - x = 2$ $$\frac{7}{2} - x = 2$$ $$x = \frac{7}{2} - 2 \quad \text{(1. فصل } x \text{ بطرح 2 من الطرفين وضرب المعادلة في -1)}$$ $$x = \frac{7}{2} - \frac{4}{2} \quad \text{(2. توحيد المقامات على 2)}$$ $$x = \frac{3}{2}$$ $$\text{إذن مجموعة الحلول هي } S_{\mathbb{Q}} = \left\{ \frac{3}{2} \right\}$$

(3) حل المعادلة $\frac{3}{4} - \left(\frac{1}{2} + x\right) = 1$ $$\frac{3}{4} - \frac{1}{2} - x = 1 \quad \text{(1. حذف الأقواس وتغيير العلامات)}$$ $$\left(\frac{3}{4} - \frac{2}{4}\right) - x = 1 \quad \text{(2. توحيد المقامات داخل القوس)}$$ $$\frac{1}{4} - x = 1$$ $$x = \frac{1}{4} - 1 \quad \text{(3. فصل } x \text{)}$$ $$x = \frac{1}{4} - \frac{4}{4}$$ $$x = -\frac{3}{4}$$ $$\text{إذن مجموعة الحلول هي } S_{\mathbb{Q}} = \left\{ -\frac{3}{4} \right\}$$

(4) حل المعادلة $\frac{11}{5} - \left(x - \frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3}$ $$\frac{11}{5} - x + \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \quad \text{(1. حذف الأقواس وتغيير العلامات)}$$ $$-x = \frac{2}{3} - \frac{11}{5} - \frac{1}{3} \quad \text{(2. فصل } x \text{ بنقل باقي الحدود)}$$ $$-x = \left(\frac{2}{3} - \frac{1}{3}\right) - \frac{11}{5} \quad \text{(3. تجميع الكسور ذات المقام المشترك)}$$ $$-x = \frac{1}{3} - \frac{11}{5}$$ $$-x = \frac{5}{15} - \frac{33}{15} \quad \text{(4. توحيد المقامات على 15)}$$ $$-x = \frac{-28}{15}$$ $$x = \frac{28}{15}$$ $$\text{إذن مجموعة الحلول هي } S_{\mathbb{Q}} = \left\{ \frac{28}{15} \right\}$$