تمارين رياضية

1
المقارنات الجبرية

ليكن \( a - b = -3 \) حيث \( b \in \mathbb{Z} \) و \( a \in \mathbb{Z} \)

قارن بين:

\( b - 7 \) و \( a - 5 \)

ثم قارن بين:

\( a - (2 + b) \) و \( (7 + a) - b \)
الحل التفصيلي
الجزء الأول:

بما أن \( a - b = -3 \) إذن \( a = b - 3 \)

نعوض في \( a - 5 \):

\( a - 5 = (b - 3) - 5 = b - 8 \)

بالمقارنة مع \( b - 7 \):

\( b - 7 > b - 8 \)

إذن: \( b - 7 > a - 5 \)

الجزء الثاني:

حساب \( a - (2 + b) \):

\( a - (2 + b) = (b - 3) - 2 - b = -5 \)

حساب \( (7 + a) - b \):

\( (7 + a) - b = 7 + (b - 3) - b = 4 \)

بالمقارنة: \( -5 < 4 \)

إذن: \( a - (2 + b) < (7 + a) - b \)

2
المجموعات والعناصر

لتكن المجموعة \( E = \{1; -8; -3; -5; 2; 3; 5\} \) وليكن \( x \) عنصر منها

أ) أكتب جميع عناصر المجموعة \( \{x \in E \mid x < 2\} \)

ب) أكتب جميع عناصر المجموعة \( \{x \in E \mid |x| < 3\} \)

الحل التفصيلي
الجزء أ:

عناصر E الأصغر من 2 هي:

\( \{-8, -5, -3, 1\} \)
الجزء ب:

عناصر E التي تحقق \( |x| < 3 \) (أي القيمة المطلقة أقل من 3):

\( \{-3, 1, 2\} \)
3
تبسيط العبارات الجبرية

أنشر ثم اختصر العبارات التالية:

\( A = 2(x - 5) - 3(2x - 7) + 4(6 - x) \)
\( B = (-2)(-21 + x - y) \)
الحل التفصيلي
تبسيط العبارة A:
\( A = 2x - 10 - 6x + 21 + 24 - 4x \)
\( A = (2x - 6x - 4x) + (-10 + 21 + 24) \)
\( A = -8x + 35 \)
تبسيط العبارة B:
\( B = 42 - 2x + 2y \)
4
التحليل إلى عوامل

أكتب في صيغة جداء العوامل:

\( A = 3ab - 2a \)
\( B = 2ab - 6b + 8a \)
الحل التفصيلي
تحليل العبارة A:
\( A = a(3b - 2) \)
تحليل العبارة B:
\( B = 2(ab - 3b + 4a) \)

أو يمكن كتابتها:

\( B = 2b(a - 3) + 8a \)