نعتبر الأعداد الكسرية $a$ و $b$ و $c$ و $g$ حيث:
لم تبدأ بعد
⚠️ تذكير:
• الأولوية في الحساب: الأقواس $\rightarrow$ القيمة المطلقة $\rightarrow$ الضرب/القسمة $\rightarrow$ الجمع/الطرح.
• $1.5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$
• $\left|\frac{4}{5}\right| = \frac{4}{5}$
• عددان مقلوبان: جداؤهما يساوي 1.
• عددان متقابلان: مجموعهما يساوي 0.
لحساب $a$: احسب القيمة المطلقة أولاً، ثمّ أتمّم عملية الضرب قبل الجمع.
لحساب $b$: حوّل العدد العشري $1.5$ إلى كسر $\frac{3}{2}$، ثمّ أتمّم عملية القسمة $\left(\frac{2}{1.5}\right)$ قبل توحيد المقامات.
لحساب $c$: وحّد المقامات داخل القوس أولاً، ثمّ أتمّم عملية الضرب.
1) تبسيط الأعداد:
🔹 $a$: $a = -\frac{1}{2} + \frac{5}{2} \times \frac{4}{5}$. نختزل $5$ ونحسب $a = -\frac{1}{2} + \frac{4}{2}$. ثمّ نوحّد المقامات لحساب النتيجة النهائية.
🔹 $b$: $b = 1 + 2 \div \frac{3}{2} + \frac{-3}{2} = 1 + \frac{4}{3} - \frac{3}{2}$. نوحّد المقامات للمقادير الثلاثة (المقام المشترك 6).
🔹 $c$: $c = \frac{5}{39} \times \left(\frac{-13 - 19}{24}\right) = \frac{5}{39} \times \frac{-32}{24}$. نختزل $32/24$ بـ $8$، ثمّ نختزل $39$ بـ $13$ (إن أمكن) ونضرب.
2) الاستنتاج (المقلوب والمتقابل):
• مقلوبان: نبحث عن قيمة $-c$ ونحسب الجداء $b \times (-c)$. يجب أن يساوي 1.
• متقابلان: نحسب المجموع $a + g$. يجب أن يساوي 0.
1) و 2) حساب $a$ و $b$ و $c$ وإثبات النتائج:
🔹 العدد $a$:
ملاحظة: هناك تباين بين القيمة المحسوبة $\frac{3}{2}$ والقيمة المطلوبة في السؤال $\frac{-21}{10}$. إذا اعتمدنا على القيمة المحسوبة: $a = \frac{3}{2}$.
إذا كانت الصيغة الأصلية هي: $a = -\frac{1}{2} - \frac{5}{2} \times \left|\frac{4}{5}\right|$، لكان: $a = -\frac{1}{2} - \frac{4}{2} = \frac{-5}{2} = -2.5$.
نعتمد على القيمة المحسوبة من المعادلة المعطاة:
✓ $a$ الحسابي: $a = \frac{3}{2}$
🔹 العدد $b$:
ملاحظة: هناك تباين بين القيمة المحسوبة $\frac{5}{6}$ والقيمة المطلوبة في السؤال $\frac{14}{3}$.
نعتمد على القيمة المحسوبة من المعادلة المعطاة:
✓ $b$ الحسابي: $b = \frac{5}{6}$
🔹 العدد $c$:
ملاحظة: هناك تباين بين القيمة المحسوبة $\frac{-20}{117}$ والقيمة المطلوبة في السؤال $\frac{-1}{3}$.
نعتمد على القيمة المحسوبة من المعادلة المعطاة:
✓ $c$ الحسابي: $c = \frac{-20}{117}$
3) الاستنتاج (اعتماداً على القيم المحسوبة/المطلوبة):
🔹 مقلوبان: بيّن أن $b$ و $-c$ مقلوبان.
نعتمد على القيم **المطلوبة** في السؤال (2): $b = \frac{14}{3}$ و $c = \frac{-1}{3}$. إذن $-c = \frac{1}{3}$.
نحسب الجداء: $b \times (-c) = \frac{14}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{14}{9}$.
بما أن $\frac{14}{9} \neq 1$، **فإن $b$ و $-c$ ليسا مقلوبين**.
ملاحظة: هناك خطأ في نص التمرين الأصلي في علاقة المقلوب.
🔹 متقابلان: بيّن أن $a$ و $g = \frac{49}{5}$ متقابلان.
نعتمد على القيمة **المطلوبة** في السؤال (2): $a = \frac{-21}{10}$. القيمة المطلوبة لـ $g$ هي $-a$ أي $\frac{21}{10}$.
نحسب المجموع: $a + g = \frac{-21}{10} + \frac{49}{5} = \frac{-21}{10} + \frac{98}{10} = \frac{77}{10}$.
بما أن $\frac{77}{10} \neq 0$، **فإن $a$ و $g$ ليسا متقابلين**.
نستنتج أن الهدف من السؤال هو التحقق من القواعد:
• إذا كان $b$ و $-c$ مقلوبين، فإن $b \times (-c) = 1$.
• إذا كان $a$ و $g$ متقابلين، فإن $a + g = 0$.
ليكن العددان الكسريان $x$ و $y$ والعبارتان النسبتان $E$ و $F$:
لم تبدأ بعد
⚠️ تذكير:
• التفكيك (Factorisation): هو إيجاد العامل المشترك.
• المقارنة: لمقارنة عبارتين $E$ و $F$، ندرس إشارة الفرق $E - F$.
• إذا كان $E - F > 0$، فإن $E > F$.
• إذا كان $E - F < 0$، فإن $E < F$.
للسؤال 1): العامل المشترك واضح في عبارة $E$.
للسؤال 2): أوجد تعبيراً مفككاً للعبارة $F$ أولاً (العامل المشترك $\frac{3}{2}$). ثمّ احسب $E - F$ وضعها في أبسط صورة.
للسؤال 3): استخدم نتيجة السؤال 2. ادرس إشارة كل عامل في $E - F$، ثمّ استنتج إشارة الفرق الكلي.
1) تفكيك $E$:
الخطوة 1: تحديد العامل المشترك: $(x - 2)$
الخطوة 2: تفكيك العبارة: $E = (x - 2) \left[ (y - 3) - \frac{15}{4} \right]$
الخطوة 3: تبسيط ما بين المعقفين: $y - 3 - \frac{15}{4} = y - \left(3 + \frac{15}{4}\right)$
2) استنتاج $E - F$:
الخطوة 1: فكك $F$: $F = \frac{3}{2} (y - 3)$.
الخطوة 2: النشر والتبسيط هو أسهل طريقة هنا. أنشر $E$ و $F$ ثم احسب $E - F$.
الخطوة 3: تبسيط الفرق لإيجاد الشكل المطلوب $(x - 2)\left(y - \frac{21}{4}\right)$.
3) المقارنة:
الخطوة 1: من $2 - x = \frac{-22}{91}$، استنتج إشارة $x - 2$.
الخطوة 2: من $y - 3 = \frac{49}{121}$، استنتج إشارة $y - \frac{21}{4}$.
الخطوة 3: اضرب الإشارتين لاستنتاج إشارة $E - F$. قارن $E$ و $F$.
1) تفكيك $E$ إلى جداء عوامل:
نلاحظ العامل المشترك $(x - 2)$:
نوحّد مقامات $3$ و $\frac{15}{4}$:
✓ الجواب: $E = (x - 2) \left(y - \frac{27}{4}\right)$
2) استنتاج أن $E - F = (x - 2)\left(y - \frac{21}{4}\right)$:
نستخدم النشر والتبسيط. أولاً، نبسط $E$ و $F$:
🔹 $E$ المنشورة:
🔹 $F$:
🔹 $E - F$:
نحاول تفكيك المقدار المطلوب $E - F = (x - 2)\left(y - \frac{21}{4}\right)$:
Puisque $xy - \frac{27}{4}x - \frac{14}{4}y + 18 \neq xy - \frac{21}{4}x - \frac{8}{4}y + \frac{42}{4}$
نستنتج أن هناك خطأ في نص العبارة المطلوبة للاستنتاج.
إذا كان المطلوب هو إثبات أن $E - F = (x - 2)\left(y - \frac{27}{4}\right) - \left(\frac{3}{2}y - \frac{9}{2}\right)$ وهو أمر غير منطقي.
✓ الجواب: **(خطأ في نص التمرين الأصلي. نعتمد على نتيجة التفكيك)**
نعتبر الهدف هو التفكيك، وننتقل إلى المقارنة باستخدام الإشارة.
3) مقارنة $E$ و $F$:
المقارنة تعتمد على إشارة $E - F$.
نستخدم العبارة المفككة لـ $E - F$ (بالشكل المطلوب في السؤال 2) ونصححها منطقياً إلى شكل يمكن حسابه، لكن نكتفي بدراسة إشارة العوامل المعطاة.
🔹 إشارة العامل الأول $x - 2$:
بما أن $x - 2 = \frac{22}{91}$، فإن $x - 2 > 0$. **(موجب)**
🔹 إشارة العامل الثاني $y - \frac{21}{4}$:
لدينا $y - 3 = \frac{49}{121}$. إذن: $y = 3 + \frac{49}{121}$.
نحسب $y - \frac{21}{4}$:
لدينا: $\frac{9}{4} = 2.25$ و $\frac{49}{121} \approx 0.404$.
بما أن $-\frac{9}{4}$ هي القيمة السالبة الأكبر، فإن $y - \frac{21}{4} < 0$. **(سالب)**
🔹 إشارة الفرق $E - F$:
نعتبر أن $E - F = (\text{عامل موجب}) \times (\text{عامل سالب})$
إذن $E - F < 0$
✓ المقارنة: بما أن $E - F < 0$، فإن $E < F$.