تصحيح تمارين في العمليات على الأعداد الكسرية والقيمة المطلقة

حساب المجاميع و حل المعادلات بالقيمة المطلقة

1) أحسب المجاميع التالية:

$$A = \left(\frac{-5}{6}\right) + (-0,75) + \frac{10}{3} + \frac{3}{4} + \left(\frac{-35}{14}\right)$$ $$B = \left|\frac{-5}{4}\right| + \left|\frac{1}{3} - 2\right| + \left|\frac{-2}{3}\right| + \frac{-1}{3}$$

2) جد العدد الكسري $x$ في الحالتين التاليتين:

$$\frac{3}{4} + |x| = \frac{13}{2}$$ $$\frac{7}{3} + \left|x + \left(\frac{-7}{3}\right)\right| = \frac{5}{2}$$

لم تبدأ بعد

💡 التوجيهات

للسؤال 1-A):

• حوّل الأعداد العشرية إلى كسور: $-0,75 = \frac{-75}{100} = \frac{-3}{4}$.

• اختزل الكسور: $\frac{-35}{14} = \frac{-5 \times 7}{2 \times 7} = \frac{-5}{2}$.

• اجمع الكسور ذات المقامات المشتركة أولاً لتسهيل العملية: اجمع التي مقامها 4، ثم التي مقامها 6 و 3 و 2.

للسؤال 1-B):

• أزل رمز القيمة المطلقة: $|X| = X$ إذا كان $X \geq 0$ و $|X| = -X$ إذا كان $X < 0$.

• $\left|\frac{1}{3} - 2\right| = \left|\frac{1}{3} - \frac{6}{3}\right| = \left|\frac{-5}{3}\right|$.

للسؤال 2):

• اعزل القيمة المطلقة $|X|$ في طرف لوحدها: $|X| = k$ حيث $k$ عدد موجب.

• إذا كان $|X| = k$ و $k > 0$، فإن **$X = k$ أو $X = -k$**.

• إذا كان $|X| = 0$، فإن $X = 0$ (حل وحيد).

• إذا كان $|X| = k$ و $k < 0$، فلا يوجد حل (لأن القيمة المطلقة دائماً موجبة أو صفر).

📝 منهجية الحل

1) حساب المجاميع:

أ- لـ $A$: اكتب كل الحدود بكسور موحدة المقام (المقام المشترك الأصغر لـ 6, 4, 3, 2 هو 12):

$$A = \frac{-10}{12} + \frac{-9}{12} + \frac{40}{12} + \frac{9}{12} + \frac{-30}{12}$$

ثم اجمع البسط.

ب- لـ $B$: بسّط ما داخل القيمة المطلقة أولاً، ثم أزل القيمة المطلقة. ثم اجمع الكسور المتبقية.

2) حل المعادلات:

أ- $\frac{3}{4} + |x| = \frac{13}{2}$:

• $|x| = \frac{13}{2} - \frac{3}{4}$ (وحد المقامات أولاً).

• بما أن $|x|$ موجب، يوجد حلان: $x = |x|$ و $x = -|x|$.

ب- $\frac{7}{3} + \left|x - \frac{7}{3}\right| = \frac{5}{2}$:

• $\left|x - \frac{7}{3}\right| = \frac{5}{2} - \frac{7}{3}$ (وحد المقامات أولاً).

• تحقق من إشارة الطرف الأيمن ($k$). إذا كان $k < 0$، فالمعادلة ليس لها حل.

✅ الحل النهائي الكامل

1) حساب المجاميع:

🔹 حساب $A$:

نعوض الكسور والأعداد العشرية: $A = \frac{-5}{6} + \frac{-3}{4} + \frac{10}{3} + \frac{3}{4} + \frac{-5}{2}$

المقام المشترك الأصغر هو 12.

$$A = \frac{-5 \times 2}{12} + \frac{-3 \times 3}{12} + \frac{10 \times 4}{12} + \frac{3 \times 3}{12} + \frac{-5 \times 6}{12}$$ $$A = \frac{-10}{12} + \frac{-9}{12} + \frac{40}{12} + \frac{9}{12} + \frac{-30}{12}$$ $$A = \frac{-10 - 9 + 40 + 9 - 30}{12}$$ $$A = \frac{(-10 - 9 - 30) + (40 + 9)}{12}$$ $$A = \frac{-49 + 49}{12} = \frac{0}{12}$$ $$\mathbf{A = 0}$$

✓ الجواب: $\mathbf{A = 0}$

🔹 حساب $B$:

نحسب القيمة المطلقة أولاً:

• $\left|\frac{-5}{4}\right| = \frac{5}{4}$

• $\left|\frac{1}{3} - 2\right| = \left|\frac{1}{3} - \frac{6}{3}\right| = \left|\frac{-5}{3}\right| = \frac{5}{3}$

• $\left|\frac{-2}{3}\right| = \frac{2}{3}$

نعوّض في $B$:

$$B = \frac{5}{4} + \frac{5}{3} + \frac{2}{3} + \frac{-1}{3}$$ $$B = \frac{5}{4} + \left(\frac{5}{3} + \frac{2}{3} + \frac{-1}{3}\right)$$ $$B = \frac{5}{4} + \left(\frac{5 + 2 - 1}{3}\right)$$ $$B = \frac{5}{4} + \frac{6}{3}$$ $$B = \frac{5}{4} + 2$$ $$B = \frac{5}{4} + \frac{8}{4}$$ $$\mathbf{B = \frac{13}{4}}$$

✓ الجواب: $\mathbf{B = \frac{13}{4}}$

---

2) حل المعادلات:

🔹 المعادلة الأولى: $\frac{3}{4} + |x| = \frac{13}{2}$

نعزل $|x|$:

$$|x| = \frac{13}{2} - \frac{3}{4}$$ $$|x| = \frac{26}{4} - \frac{3}{4}$$ $$|x| = \frac{23}{4}$$

بما أن $\frac{23}{4} > 0$، يوجد حلان:

الحل الأول: $x = \frac{23}{4}$

الحل الثاني: $x = -\frac{23}{4}$

✓ الجواب: $\mathbf{x \in \left\{\frac{23}{4}; \frac{-23}{4}\right\}}$

🔹 المعادلة الثانية: $\frac{7}{3} + \left|x + \left(\frac{-7}{3}\right)\right| = \frac{5}{2}$

المعادلة هي $\frac{7}{3} + \left|x - \frac{7}{3}\right| = \frac{5}{2}$. نعزل القيمة المطلقة:

$$\left|x - \frac{7}{3}\right| = \frac{5}{2} - \frac{7}{3}$$ $$\left|x - \frac{7}{3}\right| = \frac{5 \times 3}{6} - \frac{7 \times 2}{6}$$ $$\left|x - \frac{7}{3}\right| = \frac{15}{6} - \frac{14}{6}$$ $$\left|x - \frac{7}{3}\right| = \frac{1}{6}$$

بما أن $\frac{1}{6} > 0$، يوجد حلان:

الحالة 1: $x - \frac{7}{3} = \frac{1}{6}$

$$x = \frac{1}{6} + \frac{7}{3} = \frac{1}{6} + \frac{14}{6} = \frac{15}{6} = \mathbf{\frac{5}{2}}$$

الحالة 2: $x - \frac{7}{3} = -\frac{1}{6}$

$$x = -\frac{1}{6} + \frac{7}{3} = -\frac{1}{6} + \frac{14}{6} = \frac{13}{6}$$

✓ الجواب: $\mathbf{x \in \left\{\frac{5}{2}; \frac{13}{6}\right\}}$

📐 التمرين رقم 3 📐

💡 التوجيهات

📝 منهجية الحل

✅ الحل النهائي الكامل