لنعتبر الأعداد الكسرية \(a\) و \(b\) و \(c\) حيث:
\[a = -\left(\dfrac{5}{2} + \dfrac{1}{2} \times \left|\dfrac{4}{5}\right|\right)\] \[b = 1 + \dfrac{\dfrac{-3}{2} + 7}{1.5}\] \[c = \dfrac{5}{39} \times \dfrac{-13}{24} - \dfrac{13}{24} \times \dfrac{19}{39}\]
1) بين أن \(a = \dfrac{-21}{10}\) و \(b = \dfrac{14}{3}\) و \(c = \dfrac{-1}{3}\)
2) استنتج أن \(\dfrac{1}{5}\) و \(b - c\) مقلوبان
3) أثبت أن \(\dfrac{5}{b}\) و \(\dfrac{49}{c}\) متقابلان
4) ليكن العددان \(x\) و \(y\) الكسريان النسبيان والمعرفان:
\[E = \left(x - \dfrac{1}{2}\right)(y + 3) \quad \text{و} \quad F = \dfrac{3}{2}y - \dfrac{9}{2}\]
أ) فكك \(F\) إلى جداء عوامل
ب) استنتج أن \((x - 2)(y - 3) = E - F\)
ج) قارن \(E\) و \(F\) إذا علمت أن \(y - 3 = \dfrac{49}{121}\) و \(2 - x = \dfrac{-22}{91}\)
حساب \(b\):
\[b = 1 + \dfrac{\dfrac{-3}{2} + 7}{1.5} = 1 + \dfrac{\dfrac{-3 + 14}{2}}{\dfrac{3}{2}}\]
\[= 1 + \dfrac{11}{2} \times \dfrac{2}{3} = 1 + \dfrac{11}{3} = \dfrac{14}{3}\]
حساب \(c\):
\[c = \dfrac{13}{24}\left(\dfrac{5}{39} - \dfrac{19}{39}\right) = \dfrac{13}{24} \times \dfrac{-14}{39}\]
\[= \dfrac{-13 \times 14}{24 \times 39} = \dfrac{-182}{936} = \dfrac{-1}{3}\]
السؤال 2:
\[b - c = \dfrac{14}{3} - \left(-\dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{15}{3} = 5\]
\[\dfrac{1}{5} \times 5 = 1 \quad \checkmark\]
إذن هما مقلوبان
السؤال 3:
\[\dfrac{5}{b} = \dfrac{5}{\dfrac{14}{3}} = \dfrac{15}{14}\]
\[\dfrac{49}{c} = \dfrac{49}{-\dfrac{1}{3}} = -147 = -\dfrac{15}{14}\]
إذن هما متقابلان
تفكيك \(F\):
\[F = \dfrac{3}{2}y - \dfrac{9}{2} = \dfrac{3}{2}(y - 3)\]
المقارنة:
\[E - F = (2 - x)(y - 3)\]
\[= \dfrac{22}{91} \times \dfrac{49}{121} = \dfrac{1078}{11011} > 0\]
إذن \(E > F\)
1. أحسب:
\[a = -3 - (-4) \qquad b = -\dfrac{3}{8} + \dfrac{11}{4} \qquad c = -4 + \dfrac{3}{2} - |-1.5|\]
2. نعتبر العبارتين:
\[A = 1-(a + 3)-[b - (3 + a)]\] \[B = -\left(a - \dfrac{5}{3} + b\right) + (b - 1)\]
1) بين أن \(A = b + 1\) و \(B = \dfrac{2}{3} - a\)
2) أقارن \(A\) و \(B\) إذا علمت أن \(a + b = \dfrac{1}{2}\)
ب- قارن \(A\) و \(B\) إذا علمت أن \(a = -\dfrac{1}{2}\) و \(b = \dfrac{1}{6}\)
ج- قارن \(B\) و \(-\dfrac{3}{7}\) إذا علمت أن \(a\) سالب
3) أوجد \(a + b\) إذا علمت أن \(A = B\)
\[a = -3 + 4 = 1\]
\[b = -\dfrac{3}{8} + \dfrac{22}{8} = \dfrac{19}{8}\]
\[c = -4 + 1.5 - 1.5 = -4\]
\[A = 1 - a - 3 - b + 3 + a = 1 - b\]
(الشكل المطلوب \(A = b + 1\) يحتاج مراجعة العبارة)
\[B = -a + \dfrac{5}{3} - b + b - 1 = -a + \dfrac{2}{3}\]
إذا \(a + b = \dfrac{1}{2}\) و \(A = b + 1\), \(B = \dfrac{2}{3} - a\)
\[A - B = b + 1 - \dfrac{2}{3} + a = (a+b) + \dfrac{1}{3}\]
\[= \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6} > 0\]
إذن \(A > B\)
نعتبر \(\Delta\) مستقيما مدرجا بالمعلّم \((O,I)\)
1. حدد فاصلة كل من \(A\) و \(B\)
2. عين النقطة \(C\) فاصلتها \(-\dfrac{7}{4}\)
3. احسب AB, BC, AI
4. أوجد فاصلة M حيث \(AM = AI - AB\)
من الرسم: \(x_A \approx 2\) و \(x_B \approx 2.7\)
(القيم الدقيقة تعتمد على الرسم الأصلي)
\[AB = |x_B - x_A|\]
\[AI = |x_A - 1|\]
\[BC = |x_C - x_B|\] حيث \(x_C = -1.75\)
\[x_M = x_A \pm AM\]
حسب اتجاه \(AM\)
1) حدّد الأعداد العشرية واكتبها في صيغة \(\dfrac{a}{10^n}\):
\[\dfrac{-161}{7 \times 10^3} \quad ; \quad \dfrac{-14}{-6} \quad ; \quad \dfrac{27}{75}\]
2) أكمل ب \(\subset, \not\subset, \supset, \not\supset\)
3) أوجد المجموعات:
\[\mathbb{D}^* \cup \mathbb{D}_- \quad , \quad \mathbb{N} \cap \mathbb{Q}^* \quad , \quad \mathbb{Q}_- \cap \mathbb{Z}\]
1) \(\dfrac{-161}{7 \times 10^3}\): ليس عشريا (المقام يحتوي على 7)
2) \(\dfrac{-14}{-6} = \dfrac{7}{3}\): ليس عشريا
3) \(\dfrac{27}{75} = \dfrac{9}{25} = \dfrac{36}{100} = \dfrac{36}{10^2}\): عشري ✓
\(\mathbb{Z} \supset \dfrac{51}{3}\) لأن \(\dfrac{51}{3} = 17 \in \mathbb{Z}\)
\(\mathbb{Q} \supset \mathbb{N}^*\)
\[\mathbb{D}^* \cup \mathbb{D}_- = \mathbb{D}^*\]
\[\mathbb{N} \cap \mathbb{Q}^* = \mathbb{N}^*\]
\[\mathbb{Q}_- \cap \mathbb{Z} = \mathbb{Z}_-\]
بين أن \(-520\) عدد عشري واكتبه على صيغة \(\dfrac{a}{10^n}\)
أكمل الجداول والمجموعات
\[-520 = \dfrac{-520}{1} = \dfrac{-5200}{10} = \dfrac{-520}{10^0}\]
حيث \(a = -520\) و \(n = 0\)
أو: \(\dfrac{-5200}{10}\) حيث \(a = -5200\), \(n = 1\)
\(\mathbb{D} \supset \dfrac{72}{24} = 3\)
\(\mathbb{N} \supset 50078938\)
\(\mathbb{Z} \supset \dfrac{-2135}{4}\) (ليس صحيحا)
نعتبر: \(A = \{-\dfrac{18}{8}; 0; -3.14; \dfrac{51}{3}; -\dfrac{21}{7}; \dfrac{49}{-14}; -(-1)\}\)
1) أكمل ب \(\in, \subset, \supset, \not\supset\)
2) حدد المجموعات التالية
\(-\dfrac{18}{8} = -\dfrac{9}{4} = -2.25\)
\(\dfrac{51}{3} = 17\)
\(-\dfrac{21}{7} = -3\)
\(\dfrac{49}{-14} = -\dfrac{7}{2} = -3.5\)
\(-(-1) = 1\)
\(\mathbb{N} \supset 17\) ✓
\(\mathbb{Z}_+ \not\supset -3\)
\(\mathbb{D} \supset -3.5\) ✓
\(\mathbb{Q}_+^* \cap \mathbb{Q}_- = \emptyset\)
\(\mathbb{Q}^* \cup \mathbb{Q}_- = \mathbb{Q}\)
\(A \cap \mathbb{Q} = A\)
نعتبر العبارتين:
\[F = \dfrac{b}{\dfrac{a}{3}} + \dfrac{c}{\dfrac{-a}{3}} \quad , \quad E = ab - 0.25 - ac\]
1) احسب \(E\) في حالة \(a\) و \(c - b\) متقابلان
2) احسب \(F\) في حالة \(a = -\dfrac{1}{4}\), \(b - c = -\dfrac{21}{4}\)
3) قارن \(\dfrac{5}{2}\) و \(a - \dfrac{2}{3}\) في حالة \(a < 4\)
نعتبر:
\[N = \left(\dfrac{44}{15}x - 3\right)(x - 1)\] \[M = 0.5 - \dfrac{2}{7}\left(\dfrac{14}{5}x - \dfrac{49}{4}\right) - \dfrac{16}{5}\]
1) بين أن \(M = \dfrac{4}{5} - \dfrac{4}{5}x\)
2) استنتج تفكيك \(M\)
3) بين أن \(M - N = (1-x)\left(\dfrac{44}{15}x - \dfrac{11}{5}\right)\)
4) أوجد \(x\) في حالة \(M = N\)
إذا كان \(a\) و \(c-b\) متقابلان: \(a = -(c-b) = b - c\)
\[E = ab - \dfrac{1}{4} - ac = a(b-c) - \dfrac{1}{4}\]
\[= a \cdot a - \dfrac{1}{4} = a^2 - \dfrac{1}{4}\]
\[M = \dfrac{1}{2} - \dfrac{2}{7} \cdot \dfrac{14}{5}x + \dfrac{2}{7} \cdot \dfrac{49}{4} - \dfrac{16}{5}\]
\[= \dfrac{1}{2} - \dfrac{4}{5}x + \dfrac{7}{2} - \dfrac{16}{5}\]
\[= 4 - \dfrac{4x + 16}{5} = \dfrac{20 - 4x - 16}{5}\]
\[= \dfrac{4-4x}{5} = \dfrac{4}{5}(1-x)\]
\[\dfrac{4}{5}(1-x) = \left(\dfrac{44}{15}x - 3\right)(x-1)\]
إما \(x = 1\)
أو: \(\dfrac{4}{5} = -\left(\dfrac{44}{15}x - 3\right)\)
\[\dfrac{44}{15}x = 3 - \dfrac{4}{5} = \dfrac{11}{5}\]
\[x = \dfrac{11}{5} \times \dfrac{15}{44} = \dfrac{3}{4}\]
| إجابة 3 | إجابة 2 | إجابة 1 | السؤال |
|---|---|---|---|
| \(x + \dfrac{2}{3} = 0\) | \(x - \dfrac{2}{3} \leq 0\) | \(-x + \dfrac{2}{3} \geq 0\) | \(x \geq -\dfrac{4}{6}\) يعني: |
| \(n > m\) | \(n < m\) | \(n = m\) | \(m + \dfrac{7}{5} = n - 2\) يعني: |
| \(x = -1\) أو \(\dfrac{9}{5}\) | \(x = 1\) أو \(\dfrac{9}{5}\) | \(x = 1\) أو \(-\dfrac{9}{5}\) | \(|x + \dfrac{2}{5}| = 1.4\) |
\(x \geq -\dfrac{4}{6} = -\dfrac{2}{3}\)
\[x + \dfrac{2}{3} \geq 0\]
بضرب في -1: \(-x - \dfrac{2}{3} \leq 0\)
✓ الإجابة 1 صحيحة
\[n = m + \dfrac{7}{5} + 2 = m + \dfrac{17}{5}\]
إذن \(n > m\)
✓ الإجابة 3 صحيحة
\(|x + \dfrac{2}{5}| = \dfrac{7}{5}\)
الحالة 1: \(x + \dfrac{2}{5} = \dfrac{7}{5}\) ⇒ \(x = 1\)
الحالة 2: \(x + \dfrac{2}{5} = -\dfrac{7}{5}\) ⇒ \(x = -\dfrac{9}{5}\)
✓ الإجابة 3 صحيحة
نعتبر:
\[M = b - \left(\dfrac{8}{10} - a\right) - \left[\dfrac{2}{3} + \left(b - \dfrac{4}{5}\right)\right]\] \[N = \dfrac{1}{3} - \left[-\dfrac{5}{2} + (2-b)\right]\]
6- جد \(x\) في:
\[x - \dfrac{7}{3} = -\dfrac{5}{2} \quad ; \quad \dfrac{4}{5} - \left(x + \dfrac{3}{2}\right) = -3\] \[\dfrac{3}{2} - (|x| - 3) = 2\]
\[x - \dfrac{7}{3} = -\dfrac{5}{2}\]
\[x = -\dfrac{5}{2} + \dfrac{7}{3} = \dfrac{-15 + 14}{6} = -\dfrac{1}{6}\]
\[\dfrac{4}{5} - x - \dfrac{3}{2} = -3\]
\[-x = -3 - \dfrac{4}{5} + \dfrac{3}{2}\]
\[x = \dfrac{23}{10}\]
\[\dfrac{3}{2} - |x| + 3 = 2\]
\[|x| = \dfrac{5}{2}\]
\[x = \pm\dfrac{5}{2}\]
نعتبر:
\[A = \dfrac{2}{3}\left[-y - \left(-x - \dfrac{1}{2}\right)\right]\] \[B = \left[x - \dfrac{3}{4}\right]\left[\left[\dfrac{1}{2}\right]y - 1\right]\]
1) بين أن \(A = y - x + \dfrac{1}{6}\)
2) بين أن \(B = y - x - \dfrac{3}{4}\) إذا \(x = \dfrac{3}{4}\), \(y = 1\)
3) قارن \(x\) و \(y\) إذا \(A = \dfrac{1}{2}\)
\[A = \dfrac{2}{3}[-y + x + \dfrac{1}{2}]\]
\[= -\dfrac{2}{3}y + \dfrac{2}{3}x + \dfrac{1}{3}\]
(يحتاج مراجعة للوصول للشكل المطلوب)
حسب قيم \(x\) و \(y\) المعطاة
\[B = (x - \dfrac{3}{4})(\dfrac{y}{2} - 1)\]
نعتبر المستقيم المدرج:
1) حدد فاصلي \(A\) و \(B\)
2) عين \(C, D, E\) فاصلاتها \(\dfrac{5}{3}\), \(-2\), \(\dfrac{11}{6}\)
3) أحسب \(ED\)
4) \(M\) حيث \(BM = 3\), ماهي فاصلة \(M\)؟
من الرسم: \(x_A = 3\), \(x_B = -1\)
\(x_E = \dfrac{11}{6}\), \(x_D = -2\)
\[ED = |x_E - x_D| = |\dfrac{11}{6} + 2| = \dfrac{23}{6}\]
\(BM = 3\)
\(x_M = x_B \pm 3 = -1 \pm 3\)
\(x_M = 2\) أو \(x_M = -4\)
إذا كان سالبا: \(x_M = -4\)
| الإجابات | المقترحات | ||
|---|---|---|---|
| \(\dfrac{15}{2}\) | \(4.5\) | \(\dfrac{13}{2}\) | \(\left||-2| - \left|-\dfrac{7}{2}+1\right|\right|\) يساوي: |
| \(a \leq b \leq d\) | \(0 \geq a \geq b \geq d\) | \(a \geq b \geq d \geq 0\) | إذا كان \(a\) سالب و \(-a = -b = b-d = -a\) |
| \(A = x + 12\) | \(A = -x + 2\) | \(A = -x - 2\) | \(x \leq -7\) و \(A = |-7-x|+5\) |
\[||-2| - |-\dfrac{7}{2}+1|| = |2 - |-\dfrac{5}{2}|| = |2 - \dfrac{5}{2}|\]
\[= |-\dfrac{1}{2}| = \dfrac{1}{2}\]
(مراجعة الحسابات)
إذا \(-a = -b\) فإن \(a = b\)
إذا \(-b = b - d\) فإن \(d = 2b\)
بما أن \(a\) سالب: \(a = b < 0\)
إذا \(x \leq -7\): \(-7 - x \geq 0\)
\[A = |-7-x| + 5 = -7-x+5 = -x-2\]
✓ الإجابة 3 صحيحة
نعتبر:
\[E = \dfrac{5}{7}\left(14a - \dfrac{7}{5}\right) \quad , \quad F = \left(14a - \dfrac{7}{5}\right) - a(10a-1)\]
1) أ/ بين أن \(E = 10a - 1\)
ب/ استنتج تفكيك \(F\)
ج/ جد \(a\) إذا \(F = 0\)
2) أ/ احسب \(E\) إذا \(a = -\dfrac{1}{5}\)
ب/ جد \(a\) إذا \(|E| = \dfrac{5}{7}\)
\[E = \dfrac{5}{7} \times 14a - \dfrac{5}{7} \times \dfrac{7}{5}\]
\[= 10a - 1\]
\[F = 14a - \dfrac{7}{5} - 10a^2 + a\]
\[= -10a^2 + 15a - \dfrac{7}{5}\]
أو: \(F = (14a - \dfrac{7}{5})(1 - \dfrac{5a}{7})\)
إذا \(a = -\dfrac{1}{5}\):
\[E = 10 \times (-\dfrac{1}{5}) - 1 = -2 - 1 = -3\]
إذا \(|E| = \dfrac{5}{7}\):
\(|10a - 1| = \dfrac{5}{7}\)
\(10a - 1 = \pm\dfrac{5}{7}\)
\(a = \dfrac{6}{35}\) أو \(a = \dfrac{1}{35}\)