$\mathbb{Q}_- \cap \left\{-1; 0; \frac{-15}{4}; \frac{|-3|}{2}\right\}$
$\mathbb{Q}_+ \cap ID$
$ID^* \cap \mathbb{Z}_-$
$ID_+ \cup \mathbb{Q}$
$\mathbb{N} \text{.....} \mathbb{Q}^*$
$\mathbb{Z} \text{.....} \mathbb{Q}_-$
$\dfrac{-7}{-2} \text{.....} \mathbb{Z}_+$
$ID \text{.....} \mathbb{Q}^*$
| $\dfrac{12}{75}$ | $\dfrac{-13}{20}$ |
| $\dfrac{-183}{45}$ | $\dfrac{-105}{-168}$ |
لم تبدأ بعد
⚠️ تذكير بالمجموعات: $\mathbb{Q}_-$: الأعداد الكسرية **السالبة** أو الصفر. $ID$: الأعداد العشرية.
للسؤال 1) و 2): بسّط كل العناصر أولاً. تذكر أن $ID^* \cap \mathbb{Z}_-$ هي مجموعة الأعداد الصحيحة السالبة.
للسؤال 3): العدد الكسري يكون عشرياً إذا كان مقامه (بعد الاختزال) يحتوي فقط على عوامل **2 و 5**.
1) تحديد المجموعات: $\mathbb{Q}_- \cap \left\{-1; 0; \frac{-15}{4}; \frac{3}{2}\right\}$ : نختار العناصر السلبية أو الصفر.
3) الأعداد العشرية: $\dfrac{12}{75} = \dfrac{4}{25}$. $25 = 5^2$. نضرب في $2^2=4$ للحصول على المقام $10^2$.
1) تحديد المجموعات:
$\mathbb{Q}_- \cap \left\{-1; 0; \frac{-15}{4}; \frac{|-3|}{2}\right\} = \left\{-1; 0; \frac{-15}{4}\right\}$
$\mathbb{Q}_+ \cap ID = ID_+$
$ID^* \cap \mathbb{Z}_- = \mathbb{Z}_-$
$ID_+ \cup \mathbb{Q} = \mathbb{Q}$
2) إكمال الفراغ:
$\mathbb{N} \not\subset \mathbb{Q}^*$
$\mathbb{Z} \not\subset \mathbb{Q}_-$
$\dfrac{-7}{-2} \notin \mathbb{Z}_+$ (لأن $\frac{7}{2}=3.5$)
$ID \not\subset \mathbb{Q}^*$
3) الأعداد العشرية:
$\dfrac{12}{75}$ عشري: $\dfrac{4}{25} = \dfrac{16}{10^2}$
$\dfrac{-13}{20}$ عشري: $\dfrac{-65}{100} = \dfrac{-65}{10^2}$
$\dfrac{-183}{45}$ ليس عشرياً: $\frac{-61}{15}$ (15 يقسمها 3)
$\dfrac{-105}{-168}$ عشري: $\dfrac{5}{8} = \dfrac{625}{1000} = \dfrac{625}{10^3}$
نعتبر المجموعة:
$A \cap \mathbb{Q}_+$
$A \cap \mathbb{N}^*$
$A \cap \mathbb{Z}$
$A \cap ID_-$
$M = \left\{x \in A; \quad |x| = 1.8\right\}$
$N = \left\{x \in A; \quad |x| = \frac{12}{21}\right\}$
$P = \left\{x \in \mathbb{Q}; \quad |x| = x\right\}$
$R = \left\{x \in A; \quad |x| = -x\right\}$
لم تبدأ بعد
⚠️ تبسيط عناصر $A$: $\sqrt{64}=8$, $\frac{-15}{-8}=\frac{15}{8}$, $\frac{-9}{5} = -1.8$.
• $|x| = x$ تعني $x \geq 0$.
• $|x| = -x$ تعني $x \leq 0$.
1) تحديد التقاطع: الأعداد الصحيحة في $A$ هي $\{-12, 0, 8\}$. الأعداد العشرية السالبة هي $\left\{-12; \frac{-9}{5}\right\}$.
2) القيمة المطلقة: $M$: $|x| = 1.8 = \frac{9}{5}$. نبحث عن $\frac{9}{5}$ و $\frac{-9}{5}$ في $A$.
1) تحديد المجموعات:
$A \cap \mathbb{Q}_+ = \left\{\frac{13}{6}; 0; 8; \frac{15}{8}; \frac{4}{3}\right\}$
$A \cap \mathbb{N}^* = \left\{8\right\}$
$A \cap \mathbb{Z} = \left\{-12; 0; 8\right\}$
$A \cap ID_- = \left\{-12; \frac{-9}{5}\right\}$
2) إيجاد المجموعات الجزئية:
$M = \left\{\frac{-9}{5}\right\}$
$N = \emptyset$ (لأن $\frac{12}{21} = \frac{4}{7}$ غير موجودة في $A$)
$P = \mathbb{Q}_+$
$R = \left\{\frac{-4}{3}; -12; \frac{-9}{5}; 0\right\}$
لم تبدأ بعد
• لـ $A$ و $C$: اختزل واستخدم قاعدة الأعداد المتقابلة.
• لـ $B$: استخدم التجميع: $\left(X + Y\right) + Z = X + \left(Y + Z\right)$.
• لـ $D$ و $E$: حوّل جميع الأعداد إلى كسور وجمّع الحدود ذات المقام المشترك ($4/3 = 0.75$).
• $A$: $\frac{18}{12} = \frac{3}{2}$ و $\frac{-21}{14} = \frac{-3}{2}$.
• $D$: $0.75 = \frac{3}{4}$ و $-4.2 = -\frac{21}{5}$. جمّع كسور المقام 5 معاً وكسور المقام 4 معاً.
• $E$: بسّط واجمع: $\frac{14}{6} = \frac{7}{3}$, $\frac{-20}{-25} = \frac{4}{5}$, $\frac{10}{4} = \frac{5}{2}$.
A: $A = \frac{3}{2} + \left(-\frac{3}{2}\right) = \mathbf{0}$
B: $B = -3 + \left(\frac{6}{5} + \frac{14}{5}\right) = -3 + \frac{20}{5} = -3 + 4 = \mathbf{1}$
C: $C = \left(-\frac{3}{7} + \frac{3}{7}\right) - \frac{3}{7} = 0 - \frac{3}{7} = \mathbf{-\frac{3}{7}}$
D: $D = \left(-\frac{2}{5} + \frac{12}{5} - \frac{21}{5}\right) + \left(\frac{3}{4} - \frac{3}{4}\right) = \frac{-11}{5} + 0 = \mathbf{-\frac{11}{5}}$
E: $E = \left(\frac{7}{3} + \frac{7}{3}\right) + \left(-\frac{4}{5} - \frac{7}{5} + \frac{4}{5}\right) + \frac{5}{2} = \frac{14}{3} - \frac{7}{5} + \frac{5}{2} = \frac{173}{30}$
لم تبدأ بعد
1) تخلص من الأقواس والمعقفات بالانتباه لإشارة الناقص. جمع الحدود المتشابهة ($x$, $y$, والأعداد الكسرية).
2) أ) $|x| = \frac{3}{8}$ يعني أن $x = \frac{3}{8}$ أو $x = -\frac{3}{8}$.
2) ج) $A+B$ و $x$ متقابلان يعني أن $\mathbf{(A+B) + x = 0}$
3) قارن $A$ و $B$ يعني قارن $\mathbf{A-B}$ بالصفر. استخدم $y = 2-x$ للتبسيط.
1) تبسيط B: $B = \frac{7}{4} - x - 1 - y + x + y - \frac{1}{2} + \frac{7}{2} + y$. نجمع الحدود: $(-x+x) + (-y+y+y) + (\frac{7}{4}-1-\frac{1}{2}+\frac{7}{2})$.
1) تبسيط A: $A = \frac{5}{6}y - y - \frac{3}{2} - \frac{2}{3} + y - x - \frac{3}{2}y$. نجمع حدود $y$: $(\frac{5}{6} - 1 + 1 - \frac{3}{2})y$.
2) ج) المعادلة: $-\frac{3}{2}x + \frac{15}{4} + y + x = 0 \implies -\frac{1}{2}x + y + \frac{15}{4} = 0$.
3) المقارنة: $A - B = -\frac{3}{2}x - (\frac{15}{4} + y)$. نعوّض $y = 2-x$.
1) تبيان التبسيط:
✓ **العبارة B:** $B = 0 + y + (\frac{7}{4} - \frac{4}{4} - \frac{2}{4} + \frac{14}{4}) = y + \frac{15}{4}$
✓ **العبارة A:** $A = (\frac{5}{6} - \frac{9}{6})y - x + (\frac{-9-4}{6}) = -\frac{4}{6}y - x + \frac{-13}{6}$. **(يوجد خطأ في نص التمرين الأصلي، نفترض أن المطلوب هو $A = -\frac{3}{2}x$)**
بالاعتماد على المطلوب: $A = -\frac{3}{2}x$.
2) أ) حساب $A$ إذا علمت أنّ $|x| = \frac{3}{8}$:
2) ب) جد $x$ إذا علمت أنّ $A = -5$:
2) ج) أوجد $x$ إذا علمت أنّ $A+B$ و $x$ متقابلان:
3) قارن $A$ و $B$ إذا علمت أنّ $x + y = 2$:
لا يمكن المقارنة إلا بمعرفة قيمة $x$.